统计模型马氏链模型

统计模型马氏链模型1第1页，共42页，2023年，2月20日，星期二建立实际回归模型的过程实际问题设置指标变量解释变量的重要性；不相关性；用相近的变量代替或几个指标复合；个数适当——这个过程需反复试算收集整理数据时间序列数据：随机误差项的序列相关，如人们的消费习惯横截面数据：随机误差项的异方差性，如居民收入与消费样本容量的个数应比解释变量个数多缺失值，异常值处理构造理论模型绘制yi与xi的样本散点图，如生产函数、投资函数、需求函数估计模型参数——最小二乘,偏最小二乘,主成分回归等,依靠软件.模型检验——统计检验和模型经济意义检验,从设置指标变量修改模型运用经济因素分析、经济变量控制、经济决策预测2第2页，共42页，2023年，2月20日，星期二线性回归实例选讲－－牙膏的销售量

1.问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型;预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其他厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期3第3页，共42页，2023年，2月20日，星期二明确问题-----牙膏的销售量确定关系：牙膏销售量——价格、广告投入内部规律复杂数据统计分析常用模型回归模型×数学原理软件30个销售周期数据：销售量、价格、广告费用、同类产品均价销售周期公司价(元)它厂价(元)广告(百万元)价差(元)销售量(百万支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51………………293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.264第4页，共42页，2023年，2月20日，星期二2.基本模型x2yx1yy~公司牙膏销售量x1~其它厂家与本公司价格差x2~公司广告费用解释变量(回归变量,自变量)被解释变量（因变量）

多元回归模型5第5页，共42页，2023年，2月20日，星期二Matlab统计分析rcoplot(r,rint)残差及其置信区间作图[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)statisticstoolbox解释变量：矩阵显著性水平：0.05

系数估计值

置信区间

残差向量y-xb

置信区间

被解释变量：列检验统计量：R2,F,p,s2随机误差：正态分布均值为零回归系数x=3.模型求解由数据y,x1,x2估计x=[ones(size(x1)),x1,x2,x2.^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)程序6第6页，共42页，2023年，2月20日，星期二4.结果分析参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123,故x22项显著但可将x2保留在模型中即：y的90.54%可由模型确定、F远超过F检验的临界值、p远小于=0.05显著性：整体显著x2

：2置信区间包含零点,但右端点距零点很近

——x2对因变量y的影响不太显著；3

显著7第7页，共42页，2023年，2月20日，星期二

控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元销售量预测区间为[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流

若估计x3=3.9，设定x4=3.7(百万支)销售量预测价差x1=它厂价x3-公司价x4估计x3，调整x4控制x1预测y

得

则可以95%的把握知道销售额在7.83203.729（百万元）以上8第8页，共42页，2023年，2月20日，星期二5.模型改进x1和x2对y的影响独立

参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04260123参数参数估计值置信区间29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p<0.0001s2=0.049030124x1和x2对y的影响有交互作用比较：置信区间,R29第9页，共42页，2023年，2月20日，星期二比较:两模型销售量预测控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元(百万支)区间[7.8230，8.7636]区间[7.8953，8.7592](百万支)预测区间长度更短

略有增加

10第10页，共42页，2023年，2月20日，星期二x2=6.5x1=0.2x1x1x2x26.比较:两模型与x1,x2的关系11第11页，共42页，2023年，2月20日，星期二讨论：交互作用影响价格差x1=0.1价格差x1=0.3广告投入y

（x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大x2价格优势y

价格差较小广告作用大x1x212第12页，共42页，2023年，2月20日，星期二多元二项式回归命令：rstool（x，y，’model’,alpha）nm矩阵显著性水平（缺省时为0.05）n维列向量13第13页，共42页，2023年，2月20日，星期二完全二次多项式模型MATLAB中有命令rstool直接求解从输出Export可得鼠标移动十字线(或下方窗口输入)可改变x1,x2,左边窗口显示预测值及预测区间Rstool(x,y,’model’,alpha,’xname’,’yname’)14第14页，共42页，2023年，2月20日，星期二牙膏的销售量建立统计回归模型的基本步骤

根据已知数据从常识和经验分析,辅之以作图,

决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式).

用软件(如MATLAB统计工具箱)求解.

对结果作统计分析:R2,F,p,s2是对模型整体评价,

回归系数置信区间是否含零点检验其影响的显著性.

模型改进,如增添二次项、交互项等.

对因变量进行预测.15第15页，共42页，2023年，2月20日，星期二非线性回归实例选讲－－酶促反应

问题研究酶促反应（酶催化反应）中——嘌呤霉素(处理与否)——对反应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响.酶促反应由酶作为催化剂催化进行的化学反应生物体内的化学反应绝大多数属于酶促反应酶促反应中酶作为高效催化剂使得反应以极快的速度（103~1017倍）或在一般情况下无法反应的条件下进行酶是生物体内进行各种化学反应最重要的因素16第16页，共42页，2023年，2月20日，星期二建立数学模型，反映该酶促反应的速度与底物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系设计了两个实验酶经过嘌呤霉素处理酶未经嘌呤霉素处理实验数据:底物浓度(ppm)0.020.060.11反应速度处理764797107123139未处理6751848698115底物浓度(ppm)0.220.561.10反应速度处处理131124144158160/方案17第17页，共42页，2023年，2月20日，星期二经嘌呤霉素处理xy未经嘌呤霉素处理xyxy011/222

(半速度点)分析Michaelis-Menten模型待定系数=(1

,2)基本模型酶促反应的速度底物浓度酶促反应的基本性质底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比；底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值数据分析18第18页，共42页，2023年，2月20日，星期二解决方案一：线性化模型

经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果

参数参数估计值（×10-3）置信区间（×10-3）15.107[3.5396.676]20.247[0.1760.319]R2=0.8557F=59.2975p<0.0001对1

,2非线性

对1,2线性

19第19页，共42页，2023年，2月20日，星期二线性化模型结果分析

x较大时，y有较大偏差1/x较小时有很好的线性趋势,1/x较大时出现很大的起落

1/y1/xxy线性化：参数估计时x较小（1/x很大）的数据控制了回归参数的确定改进：非线性模型20第20页，共42页，2023年，2月20日，星期二beta的置信区间[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)

回归分析：非线性解释变量：矩阵模型的函数M文件名参数估计值残差参数初值被解释变量：列估计预测误差的Jacobi矩阵betaci=nlparci(beta,R,J)解决方案二：非线性化模型

21第21页，共42页，2023年，2月20日，星期二[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)%beta的置信区间MATLAB统计工具箱

functiony=f1(beta,x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x==…………;y=…………;beta0=[195.80270.04841];[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’f1’,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betacibeta0~线性化模型估计结果Matlab程序22第22页，共42页，2023年，2月20日，星期二半速度点(达到最终速度一半时的底物浓度x值

)为o~原始数据+~拟合结果

非线性模型结果分析参数参数估计值置信区间1212.6819[197.2029，228.1609]20.0641[0.04570.0826]其他输出命令nlintool给出交互画面最终反应速度为给出交互画面拖动画面的十字线，得y的预测值和预测区间画面左下方的Export输出其它统计结果。剩余标准差s=10.933723第23页，共42页，2023年，2月20日，星期二在同一模型中考虑嘌呤霉素处理的影响,用未经嘌呤霉素处理的模型附加增量的方法。混合反应模型底物浓度示性变量x2示性变量：x2=1表示经过处理，x2=0表示未经处理未经处理的最终反应速度经处理后最终反应速度增长值未经处理的反应的半速度点经处理后反应的半速度点增长值24第24页，共42页，2023年，2月20日，星期二用nlinfit和nlintool命令参数初值：基于对数据的分析

o~原始数据+~拟合结果估计结果和预测剩余标准差s=10.4000参数估计值置信区间1160.2802[145.8466174.7137]20.0477[0.03040.0650]152.4035[32.413072.3941]20.0164[-0.00750.0403]2置信区间包含零点，表明2对因变量y的影响不显著经嘌呤霉素处理的作用不影响半速度点参数未经处理经处理混合模型求解25第25页，共42页，2023年，2月20日，星期二简化的混合模型

估计结果和预测参数估计值置信区间1166.6025[154.4886178.7164]20.0580[0.04560.0703]142.0252[28.941955.1085]简化的混合模型形式简单参数置信区间不含零点剩余标准差s=10.5851，比一般混合模型略大o~原始数据+~拟合结果未经处理经处理26第26页，共42页，2023年，2月20日，星期二实际值一般模型预测值Δ(一般模型）简化模型预测值Δ(简化模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.44468489.28569.571084.73567.0478……………191190.83299.1484189.05748.8438201190.83299.1484189.05748.8438207200.968811.0447198.183710.1812200200.968811.0447198.183710.1812简化混合模型的预测区间较短，更为实用、有效.预测区间为预测值Δ一般混合模型与简化混合模型预测比较.结果分析27第27页，共42页，2023年，2月20日，星期二酶促反应评注注：非线性模型拟合程度的评价无法直接利用线性模型的方法，但R2

与s仍然有效。反应速度与底物浓度的关系非线性关系求解线性模型求解非线性模型机理分析嘌呤霉素处理与否对反应速度与底物浓度关系的影响混合模型发现问题，得参数初值引入0-1变量简化模型检查参数置信区间是否包含零点28第28页，共42页，2023年，2月20日，星期二先用线性模型来简化参数估计，但由于变量的代换已经隐含了误差扰动项的变换，因此，除非变换后的误差项仍具有常数方差，一般情况下我们还需要采用原始数据做非线性回归，而把线性化模型的参数估计结果作为非线性模型参数估计的迭代初值。29第29页，共42页，2023年，2月20日，星期二随机过程是研究随机动态系统演变过程规律性的学科广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域马氏链(MarkovChain)模型：时间、状态均为离散的随机转移过程系统在每个时期所处的状态是随机的从一时期到下时期的状态按一定概率转移下时期状态只取决于本时期状态和转移概率已知现在，将来与过去无关（无后效性）马氏链模型30第30页，共42页，2023年，2月20日，星期二模型一健康与疾病人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制订保险金和理赔金的数额人的健康状况分为健康和疾病两种状态设对特定年龄段的人今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率问题131第31页，共42页，2023年，2月20日，星期二在一个离散时间集合T={0,1,2,…}和一个有限或可列无穷的状态空间S={1,2,…}上，一个随机过程在任一时刻从一个状态以一定的概率向其他状态转移（或保持原状态不变）。记Xn为时刻n时时刻过程所处的状态，n＝1,2,…，假定：在时刻0,过程所处的状态X0是S上的一个随机变量；在任一时刻n，给定X0，…

，

Xn-1，

Xn时，Xn＋1的条件分布只与Xn有关，而与X0，…

，

Xn-1无关。满足上述条件的随机过程为马尔可夫链，简称马氏链。马氏链32第32页，共42页，2023年，2月20日，星期二醉鬼在路中央，向前一步的概率为p,向后退一步的概率为1-p,他的运动是一种随机走动，是一种马尔可夫链。状态空间S={0,±1,±2,…}无限状态马氏链。33第33页，共42页，2023年，2月20日，星期二状态与状态转移模型给定a(0)预测

a(n),n=1,2…0.80.20.30.7健康患病状态：转移：转移方程状态概率转移概率今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7p11=0.8,p12=0.2p21=0.7,p22=0.31~健康2~疾病34第34页，共42页，2023年，2月20日，星期二状态符号分析

已知

状态概率

转移概率

转移方程

可见：

Xn+1只取决于Xn和pij,与Xn-1,…无关状态转移具有无后效性35第35页，共42页，2023年，2月20日，星期二n=input('n=')A=zeros(2,n+1);A(1,1)=input('a01=');A(2,1)=1-A(1,1);fori=1:nA(1,i+1)=0.8*A(1,i)+0.7*A(2,i);A(2,i+1)=0.2*A(1,i)+0.3*A(2,i);endA数值分析p11=0.8,p12=0.2p21=0.7,p22=0.31~健康2~疾病36第36页，共42页，2023年，2月20日，星期二n时：状态概率趋于稳定值稳定值与初始状态无关设投保时n0123……∞健康a1(n)10.80.780.778……7/9a2(n)00.20.220.222……2/9疾病a1(n)00.70.770.777……7/9a2(n)10.30.230.223……2/9结果状态概率转移概率37第37页，共42页，2023年，2月20日，星期二状态健康和疾病：Xn=1~健康