索洛经济增长模型张利风

索洛经济增长模型张利风1第1页，共109页，2023年，2月20日，星期二本章阅读论文RMSolow

：AcontributiontoTheoryofeconomicgrowth，QuarterlyJournalofEconomics,19562第2页，共109页，2023年，2月20日，星期二1一点数学预备知识3第3页，共109页，2023年，2月20日，星期二1.1预备知识：增长分析中的常用技巧时间的度量离散的和连续的两种导数：4第4页，共109页，2023年，2月20日，星期二1.1预备知识_增长分析中的常用技巧增长速度的表达式离散连续5第5页，共109页，2023年，2月20日，星期二“两边取自然对数并对时间求导”已知K和L的增长速度，求Y的增长速度两边取自然求对数两边对时间求导6第6页，共109页，2023年，2月20日，星期二练习假设z=x/y,求z的增长速度如果z是常数，求证x和y的增长率相等。7第7页，共109页，2023年，2月20日，星期二1.2预备知识_增长分析中的常用技巧平均增长速度离散连续平均增长速度的几何含义等价性8第8页，共109页，2023年，2月20日，星期二1.3预备知识_增长分析中的常用技巧翻一番需要的时间假定你今年年初在银行存了100元，利息是2％，问多少年能够翻一番？10？20？30？40？50？9第9页，共109页，2023年，2月20日，星期二

经济增长：为何如此重要转引自：Barro,《EconomicGrowth》，2004年10第10页，共109页，2023年，2月20日，星期二

经济增长：一个永恒的话题印度政府是否能采取某些行动使印度的经济像印度尼西亚和埃及的经济那样增长？如果能，那么应该采取哪些政策呢？如果不能，那么到底是哪些‘印度的特性’使其无法这么做呢？这些问题中间所包含的人类福利含义本身就是非常重要的：一旦我们开始思考这些问题，我们就发现很难再去思考其他问题。——罗伯特卢卡斯11第11页，共109页，2023年，2月20日，星期二

不同的增长经历（2003年不变价，美元）

国别时期期初人均GDP期末人均GDP增长率（每年）

日本1890～20031280美元28620美元2.79％巴西1900～200366374802.38墨西哥1900～200098789502.16

中国1900～200361049902.06德国1870～20031859274602.05加拿大1870～20032022297402.04

美国1870～20033412375001.82阿根廷1900～20031952109201.69印度1900～200357528801.58

英国1870～20034094276501.45印度尼西亚1900～200375932101.41巴基斯坦1900～200362820601.16孟加拉国1900~200353118701.1612第12页，共109页，2023年，2月20日，星期二

人均实际GDP数据表明各国生活水平差别很大：我国2003年的生活水平与英国1870年的生活水平相当。最后一栏的增长率序列告诉我们，各国增长率存在较大差别，各国生活水平位次不断改变。日本位次一直在上升（6---3），而英国在下降（1---4）。这说明：世界上最富的国家并不能保证其将来是最富的，而世界上最贫穷的国家不是注定永远处于贫穷。解读13第13页，共109页，2023年，2月20日，星期二

落后国家经济增长转引自：林毅夫（2007）14第14页，共109页，2023年，2月20日，星期二

经济增长主要问题为什么国与国之间的收入水平差距如此之大？为什么某些国家的增长率高于其它国家？为什么有些国家能够成功向发达国家收敛（如日本和东亚四小龙），而其它大部分国家却不能（如拉丁美洲、非洲国家等）？发达国家如何维持自身的经济增长？落后国家通过什么政策可以加快经济增长？15第15页，共109页，2023年，2月20日，星期二

经济增长理论：从马尔萨斯到索罗为什么前现代社会（工业革命以前）实际经济增长率如此之低？为什么前现代社会人口规模基本稳定？16第16页，共109页，2023年，2月20日，星期二

马尔萨斯陷阱农业社会最重要的生产要素：土地土地的特征？产出增加（经济增长）

人口增加

资源匮乏

战争、瘟疫人口下降

产出降低。

前现代社会人口规模基本稳定，经济增长率低下17第17页，共109页，2023年，2月20日，星期二

工业革命以后的经济增长卡尔多事实（Kaldor，1963）1.经济增长率稳定在2~3%2.人均物质资本持续积累3.资本回报率近乎稳定不变4.物质资本-产出比例近乎稳定不变5.劳动和物质资本在国民收入中所占份额近乎稳定不变6.人均产出增长率在各国间差异巨大18第18页，共109页，2023年，2月20日，星期二索洛模型现有几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。主要思想：资本累计是关键因素关键假设：keyassumptionsinclude•规模报酬不变（Constantreturnstoscale）.•完全竞争Perfectcompetition.•完全信息Completeinformation.•没有外在性Noexternalities.19第19页，共109页，2023年，2月20日，星期二索罗模型的主要结论长期人均产出惟一来源于技术进步；实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。主要缺陷：模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在（如资本产生正的外部性）。20第20页，共109页，2023年，2月20日，星期二以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡结构：家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自主决策。企业雇佣投入品进行生产。家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。21第21页，共109页，2023年，2月20日，星期二二、生产函数1.投入与产出的函数形式其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性22第22页，共109页，2023年，2月20日，星期二2.新古典生产函数（Neoclassicalproductionfunction）的特性假设（1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0这意味着：

a经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）；

b其他因素，如自然资源等不重要。23第23页，共109页，2023年，2月20日，星期二生产函数的密集形式

令c=1/AL,则令有效劳动的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)。这种函数通常称为生产函数的密集形式(intensiveformofproductionfunctions)，或者叫作有效人均生产函数，以表示技术进步的劳动密集型含义。这样，我们便把单位有效劳动的产出表示成为了单位有效劳动的资本存量的函数。24第24页，共109页，2023年，2月20日，星期二（2）边际产品递减我们对密集形式的生产函数提出如下假设：f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品.从F(K,AL)=ALf(k)=ALf(K/AL)可知:有效劳动的边际产品为:25第25页，共109页，2023年，2月20日，星期二（3）稻田条件(Inadacondition)。这是经济学家伊纳达(K.Inada)于1964年提出来的。经济含义？26第26页，共109页，2023年，2月20日，星期二稻田条件条件的意义稻田条件的意义是说，当生产中的资本份额太少时，资本的边际产出将是很大的；而当资本份额很大时，资本的边际产出非常小。伊纳达条件的作用在于保证经济的增长道路不会发散。27第27页，共109页，2023年，2月20日，星期二

新古典生产函数——新古典增长理论第一，每种投入的边际产品为正且递减。第二，规模报酬不变。第三，稻田条件：满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索洛增长模型又被称为新古典增长模型。28第28页，共109页，2023年，2月20日，星期二

通常使用CD生产函数（索洛）：29第29页，共109页，2023年，2月20日，星期二

满足索洛模型的CD函数形式为：

30第30页，共109页，2023年，2月20日，星期二假设的含义根据规模报酬不变假设可以得到生产函数的紧凑形式：y=f(k)y=Y/AL单位有效劳动的产出k=K/AL单位有效劳动的资本稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。其作用在于确保经济的路径不发散。根据假设1得到：kf(k)0新古典生产函数曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的资本边际报酬。f(k)sf(k)f(k)sf(k)c31第31页，共109页，2023年，2月20日，星期二

（一）模型的基本假定资本的增长（投资）：32第32页，共109页，2023年，2月20日，星期二3．生产投入品的变动（生产要素进化）要素进化(evolutionofinputs)是指要素数量随着时间的推移而逐渐发生变化。索洛增长模型的第二类假设是关于要素进化的假设，即对资本、劳动和知识这三类生产要素的投入量如何随时间推移而变动作出假定。33第33页，共109页，2023年，2月20日，星期二所考虑的时间因素用连续时间来表示，即模型中的变量都是定义在各个时点上的变量。用t表示时间变量，K(t)、L(t)和A(t)分别表示时刻t的资本、劳动和知识量。假定经济在起始时刻(即t=0)的资本、劳动和知识的数量既定，即：34第34页，共109页，2023年，2月20日，星期二

资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。瞬时增长率的定义：劳动增长率为n：技术进步率为g：t时劳动力：t时技术存量：产出在消费和投资之间分割，那么储蓄等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。35第35页，共109页，2023年，2月20日，星期二模型：我们的已知和未知只有一种产品，投入为资本、劳动、知识没有政府不考虑就业方面的问题储蓄率固定三种生产要素的生产函数折旧率、技术进步、人口增长率为常数存在的问题：我们不知道k是怎么变化的？？？36第36页，共109页，2023年，2月20日，星期二三、平衡增长路径：k的动态学1．k的动态学（1）k(t)的动态方程：先做变换，两边取自然对数。37第37页，共109页，2023年，2月20日，星期二

这个方程有什么含义？

38第38页，共109页，2023年，2月20日，星期二

模型的动态学每单位有效劳动的实际投资持平投资：为保持k在现有水平所必须进行的投资。k增加k下降k不变39第39页，共109页，2023年，2月20日，星期二（2）稳态均衡定义“稳态”：各种数量都以不变速度增长的状况，即。当时,即实际投资与持平投资相等。定义此时的逐步为k*。那么，经济体会收敛到k*吗？？？。40第40页，共109页，2023年，2月20日，星期二

模型的动态学41第41页，共109页，2023年，2月20日，星期二

模型的动态学k的相图（三维空间在平面的投影）

k*

k42第42页，共109页，2023年，2月20日，星期二

趋势定理在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资本k=k(0)，那么就有。43第43页，共109页，2023年，2月20日，星期二2.平衡增长路径现在的问题是，一旦经济进入单位有效劳动的资本不变阶段，即k(t)=k*，经济如何运行？即索洛模型中的四个变量Y,K,L,A如何变化？其实，我们最关心的是总产出Y如何变化的问题。44第44页，共109页，2023年，2月20日，星期二

模型的动态学k=k*时各变量比例的变动：45第45页，共109页，2023年，2月20日，星期二

证明K的增长率：46第46页，共109页，2023年，2月20日，星期二

Y的增长率

规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：其中是资本的边际生产力，是有效劳动的边际生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率在增长，所以，。，

47第47页，共109页，2023年，2月20日，星期二

Y的增长率从以上可推导：总产出的增长率也是48第48页，共109页，2023年，2月20日，星期二

人均产出增长率人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。注意区分人均产出与人均有效劳动产出。49第49页，共109页，2023年，2月20日，星期二

平衡增长路径

在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。50第50页，共109页，2023年，2月20日，星期二

变量含义平衡增长速度备注证明

K资本存量n+gk=K/AL绝L劳动力n

对A知识或技术g

量AL有效劳动n+g

Y总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)

C总消费n+gC=(1-s)Y

k(K/AL)有效劳动的平均资本0

K/L人均资本g

相y(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/AL对Y/L人均产出g

量c(C/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)

C/L人均消费g

K/Y资本产出比0

51第51页，共109页，2023年，2月20日，星期二四、非均衡动态与收敛考察两个非均衡问题：（1）当经济增长处在非稳态时（k≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？）52第52页，共109页，2023年，2月20日，星期二1．非均衡动态定义k的增长率：53第53页，共109页，2023年，2月20日，星期二

54第54页，共109页，2023年，2月20日，星期二3．收敛的速度考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。关键在考察k以多快的速度趋近k*。

55第55页，共109页，2023年，2月20日，星期二由平衡增长的条件可知：

在k=k*处对作一阶泰勒级数近似，可得：（为什么？）56第56页，共109页，2023年，2月20日，星期二定义：所以：大家思考一下是什么？57第57页，共109页，2023年，2月20日，星期二是资本的产出弹性。

它也是资本收入占总收入的份额（后面还会提到。这是由于在一个没有外部经济的完全竞争市场上，资本是按照其边际生产力的大小来获得报酬的。因此，在平衡增长道路上，资本的总收益正是k*f(k*)。这样，资本的产出弹性正好表示在平衡增长道路上资本的总收益占全部收益的比例，该比例也就叫做收入向资本的分配比例。

58第58页，共109页，2023年，2月20日，星期二

收敛速度因此：上式的解析解意味着k与稳态值k*之间的距离以λ的速度减少。可以证明，在稳态的邻域内，产出和资本具有相同的增长速度。59第59页，共109页，2023年，2月20日，星期二含义：在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。收敛速度与s无关。由此看来，储蓄率的变动不但不会产生多么大的总体影响，而且它产生的效应也不会很快出现。要完全出现效应，则需要一个缓慢的过程，可能需要几十年的工夫。（见下面的例子）60第60页，共109页，2023年，2月20日，星期二举例：现在，让我们做一个实际测定，看一看经济究竟以多快的速度接近平衡增长道路。一般来说，每年的n+g+δ大约为6％左右(人口增长大约1％到2％，人均产出增长1％到2％左右，资本折旧大约3％到4％)，收入向资本的分配比例大约1/3，由此估算出λ大约为4％左右。这表明，k和y每年以4％的幅度(速度)来缩短它们距平衡增长道路的距离。按照此速度，要缩短一半距离，则需要18年。因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。具体计算如下：缩短一半距离，即y(t)-y*=(y(0)－y*)/2，把这些数据带入上式，即可得到e-0.004=0.5，从而t=-ln0.5=0.69÷0.04=18(年)61第61页，共109页，2023年，2月20日，星期二

结论（索洛模型的收敛性）每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。62第62页，共109页，2023年，2月20日，星期二

“转型动态原理”经济体低于稳态越多，将会增长越快；经济体高于稳态越多，将会增长越慢。63第63页，共109页，2023年，2月20日，星期二五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平有效劳动的平均消费c=f(k)-sf(k)令c=c*（处在平衡增长路径上），则：c*=f(k*)-sf(k*)当s=0时，经济中的总产出全部用于消费，这似乎让人们的消费达到了最大。其实不然，因为为在没有储蓄的情况，经济中的资本损耗就得不到补偿，这样，由于资本存量在不断减少，总产出就不断减少，直至为零。所以，从长期来看，一个没有储蓄的经济是一个没有产出的经济，也就没有消费。零储蓄率决定了数量为零的稳态消费。当s=1时，经济中的总产出全部用于投资，而没有用于消费，从而稳态消费也为零。64第64页，共109页，2023年，2月20日，星期二根据数学中函数取最大值的罗尔定理所述的道理，必然有某种储蓄率使得在这一储蓄率下稳态人均消费水平达到最大。人们把这一规律叫做经济增长的黄金律(goldenrule)。这个使稳态人均消费达到最大的储蓄率，也就叫做储蓄的黄金律水平(golden-rulelevelofsaving)，简称为黄金律储蓄率。黄金律储蓄率下的稳态人均资本水平，相应地叫做资本的黄金律水平(golden-rulelevelofcapital)，简称为黄金律(人均)资本。65第65页，共109页，2023年，2月20日，星期二由于sf(k*(t))=(n+g+δ)k*(t)，所以，c*=f(k*(t))－(n+g+δ)k*(t)由于福利取决于消费水平，因此目标为人均消费最大化.因此一阶导0.因此：f’(kgold*)=n+g+δ为最优消费的一阶条件，该kgold*为黄金资本存量水平，最优消费cgold*=f(kgold*)-skgold*，被称为“黄金分割律”。66第66页，共109页，2023年，2月20日，星期二

67第67页，共109页，2023年，2月20日，星期二懂得了经济增长的黄金律，看来储蓄率应该确定在黄金律水平上最好。的确，政府可以通过使用各种政策工具来影响储蓄率，使其达到黄金律水平。比如，政府可以采取预算赤字或预算盈余，可以对储蓄采取减税政策以吸引人们增加储蓄。然而现实中，政府面临着高储蓄与高消费之间的权衡：提高储蓄律意味着减少当前消费，增加未来消费。到底是应该增加当前消费还是应该增加未来消费？68第68页，共109页，2023年，2月20日，星期二这个问题的答案与政府如何权衡当代人的消费和后代人的消费有关。如果政府认为当代人的消费最为重要，那么政府就可能让当前的储蓄更少一些，离黄金律水平更远一些。相反，如果政府提高了后代人消费的重要性，那么政府就可能让当前的储蓄更多一些，离黄金律水平更近一些。有一种观点认为，由于后代人并不能参与当代人的决策和投票选举，政府也就不可能让当代人做出更大的牺牲去为后代谋福利，因此现实中的储蓄率水平往往远低于黄金律水平。69第69页，共109页，2023年，2月20日，星期二

六、储蓄率变动的影响索洛模型包含又四个外生常量：储蓄率、折旧率、劳动增长率、知识增长率。在这四个常量中，最容易受宏观经济政策影响的是储蓄率。政府支出在消费与投资之间的分配、政府收入在税收与公债之间的分配、以及政府关于储蓄与投资的课税政策，都将影响总产出中储蓄起来用于投资的那部分占总产出的比例，这个比例就是索洛模型中的储蓄率。因此，下面考察政策控制变量s的变动的影响，包括：（1）对稳态均衡的影响；两个稳态均衡之间的动态路径；（2）对长期增长的影响程度；对长期增长的影响持续时间。70第70页，共109页，2023年，2月20日，星期二

71第71页，共109页，2023年，2月20日，星期二

储蓄率增加的影响方向分析如果两个国家除了储蓄率外，其他一切都相同，则储蓄率高国家的收入水平会永远高于储蓄率低国家，差距为：72第72页，共109页，2023年，2月20日，星期二

73第73页，共109页，2023年，2月20日，星期二

储蓄率增加的影响储蓄率的一个永久增加：导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平；在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响；造成Y/L增长率的暂时性增长；储蓄率的变化有水平效应（LevelEffect），但没有增长效应（GrowthEffect）

，在该模型中只有技术进步率有增长效应。74第74页，共109页，2023年，2月20日，星期二储蓄率s变化对消费c*的影响。由平衡增长路径的稳定条件可知：由此两边对s求导，有：

的符号决定于f’(k*(s,n,gδ))与(n+g+δ)的大小。75第75页，共109页，2023年，2月20日，星期二当k*<k*gold时，f’(k*(s,n,gδ))>(n+g+δ)当k*>k*gold时，f’(k*(s,n,gδ))<(n+g+δ)76第76页，共109页，2023年，2月20日，星期二

黄金律和动态无效率

过度储蓄的经济被称为动态无效率，因为降低储蓄率不仅提高了稳态消费，也提高了转移过程中的消费，即原来的人均消费路径在所有时点都位于另一条可行的路径之下。k0(n+g+δ)kf(k)s1f(k)k1*c1*sgf(k)kg*cg*动态无效率区域77第77页，共109页，2023年，2月20日，星期二

78第78页，共109页，2023年，2月20日，星期二储蓄率变化对产出的长期影响考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响（弹性分析）。由k*=k*(s,n,g,δ)可知：әy/әs=f’(k*)әk*(s,n,g,δ)/әs由平衡增长的条件dk(t)/dt=0得到：79第79页，共109页，2023年，2月20日，星期二80第80页，共109页，2023年，2月20日，星期二前面已经定义k*f’(k*)/f(k*)为k=k*处的产出的资本弹性αk(k*)，它也是资本收入占总收入的份额。所以：为产出的储蓄率弹性。81第81页，共109页，2023年，2月20日，星期二举例：设αk(k*)=1/3，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。82第82页，共109页，2023年，2月20日，星期二（五）经济增长的计量分析趋同问题

——鲍莫尔(W.Baumol,1986)投资与人口增长对产出的影响

——曼昆、罗默和韦尔(G.Mankiw,D.Romer,D.N.Weil,1992)83第83页，共109页，2023年，2月20日，星期二鲍莫尔(W.Baumol,1986)

84第84页，共109页，2023年，2月20日，星期二图形表示85第85页，共109页，2023年，2月20日，星期二德朗(J.B.DeLong,1988)86第86页，共109页，2023年，2月20日，星期二图形表示87第87页，共109页，2023年，2月20日，星期二（六）索罗模型与经济增长核心问题物质资本与经济增长88第88页，共109页，2023年，2月20日，星期二（六）增长核算89第89页，共109页，2023年，2月20日，星期二增长核算方法（growthaccouting）的提出索洛（1957）：《技术进步与总量生产函数》。阿布拉莫维茨（M.Abramovitz，1956）：《1870年以来美国的增长源泉与产出趋势》。90第90页，共109页，2023年，2月20日，星期二增长核算方法91第91页，共109页，2023年，2月20日，星期二增长核算方法92第92页，共109页，2023年，2月20日，星期二索洛余量的含义

索洛余量（solow’residual）：TFP（全要素生产率）的增长率，除生产要素量的增加之外的其他因素导致的经济增长率，有时可以简化为技术进步。93第93页，共109页，2023年，2月20日，星期二特例：完全竞争+规模报酬不变经济94第94页，共109页，2023年，2月20日，星期二例子：计算索洛余值95第95页，共109页，2023年，2月20日，星期二计算TFP的结果Solow（1957）：80%Denison（1967）：30%JorgensonandGriliches（1967）：24%96第96页，共109页，2023年，2月20日，星期二案例：亚洲“四小龙”的增长奇迹亚洲“四小龙”：韩国、新加坡、香港、台湾增长率：1966～1990年实际人均收入一直维持7％左右的增长率核算结论：亚洲“四小龙”的增长源于生产要素的投入增加，而不是全要素生产率（技术）的进步。所以，亚洲“四小龙”的增长可能不能持久。97第97页，共109页，2023年，2月20日，星期二关于东亚增长奇迹的争论杨(AlwynYoung)在1994年的一篇论文“数字事实：东亚经济增长的经验统计”中应用增长核算详细分析了东亚经济增长的源泉，指出过去三十多年来，香港、新加坡、韩国和台湾经济的不寻常的增长，几乎完全归因于投资的增长、劳动投入的增加和劳动素质的提高，而技术进步和其他影响索洛留数的因素