结构的弹性稳定计算

结构的弹性稳定计算第1页，共57页，2023年，2月20日，星期二主要内容1基本概念2临界荷载的确定3等截面直杆的临界荷载4变等截面直杆的临界荷载5偏心受压直杆的稳定6剪力对临界荷载的影响7组合压杆的稳定8刚架的稳定计算第2页，共57页，2023年，2月20日，星期二§14.1引言在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题Fpl图1(1)当时，压杆处于稳定的平衡状态特点：

当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆又恢复直线平衡状态。(2)当时，压杆处于随遇或称中性的平衡状态特点：当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此弯曲状态下保持新的曲线平衡状态。第3页，共57页，2023年，2月20日，星期二(3)当时，压杆处于不稳定平衡状态特点：当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，直至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。

除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问题，如q受均布外压的圆柱壳Fp刚架结构瘦高薄壁构件第4页，共57页，2023年，2月20日，星期二除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题Fp图2(1)

当时，压杆的挠度随着Fp的增大而增加（不一定是线性的）(2)

当时，即使Fp不增大，压杆的挠度可持续增加。此时称压杆丧失了第二类稳定。由上可知，第二类稳定问题的特征为：平衡形式不发生改变，结构失稳是由于丧失了继续承载能力。

不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程中都是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的工作状态，或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破坏。因此，在工程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，对于受压构件或结构还应进行稳定校核。第5页，共57页，2023年，2月20日，星期二

在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类稳定问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临界荷载。§14.2确定临界荷载的能量法

确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是最重要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已讲过，在本节中介绍能量法。

静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，如当微分控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界条件较复杂时，导出的特征行列式是高阶的求解困难等。在这些情况下采用能量法具有较大的优势。第6页，共57页，2023年，2月20日，星期二势能驻值原理

在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中，真实的位移使结构的总势能为驻值，即（14-1）上式中，U为结构应变能，T为外力功（为荷载势能）。

应当注意，所谓的“可能位移”是指满足结构变形协调条件的各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调条件，而且满足结构平衡条件。因此，（14-1）式实际上就是能量形式的平衡条件。即（14-1）式是弹性体系处于平衡的充要条件。

但是在上节提到，平衡又分稳定平衡、中性平衡和不稳定平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说明三种平衡形式的特点。第7页，共57页，2023年，2月20日，星期二如图3所示弹性支承上的刚性杆，顶端水平弹性支承的刚度系数为k，取初始位置为参考状态yFp图3l则体系的总势能为∵∴讨论：（1）当时，若y≠0，则Ep恒大于零。此时称体系是正定的。此时总势能取得驻值必为极小值。体系处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能Ep为极小值。总势能与y的关系如图(a)所示第8页，共57页，2023年，2月20日，星期二yEp(a)（2）当时，若y≠0，则Ep恒小于零。此时称体系是负定的。此时总势能取得驻值必为极大值。总势能与y的关系如图(b)所示，体系处于不稳定的平衡状态。在y=0处有横向干扰力作用，就会迅速倾覆。yEp(b)（3）当时，总势能Ep恒为零。总势能与y的关系如图(c)所示，体系处于中性的平衡状态。称处于这一临界状态的荷载为临界荷载，记。此时，在y=0处有微小的横向干扰力作用，会体系在新的倾斜位置上维持新的平衡。yEp(c)第9页，共57页，2023年，2月20日，星期二

以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度体系或弹性体情况要复杂些，但下面的结论是共性的当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。利用上述结论，可以确定体系的临界荷载由得（14-2）如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定体系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临界荷载为近似值。假如体系的自由度大于1，则满足(14-2）式的Fp值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即第10页，共57页，2023年，2月20日，星期二（14-3）上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导受压直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具体形式。如图5所示弹性直杆Fp图5yx当达到临界状态时，则对于任一可能位移有上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能（压缩变形能在初始状态也存在）。由于处于中性平衡状态，给杆一个微小的弯曲变形，则第11页，共57页，2023年，2月20日，星期二∵∴dsdsdx又∵∴(14-4)第12页，共57页，2023年，2月20日，星期二例1

如图示压杆，用能量法求其临界荷载。Fpl解在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为yx设：弹性失稳曲线为该曲线满足全部的位移和力的边界条件。∵第13页，共57页，2023年，2月20日，星期二∴上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁的挠曲线，即可以求得这个近似解比精确解大约1.3%第14页，共57页，2023年，2月20日，星期二例2

如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。Fpl解在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为yx设：弹性失稳曲线为该曲线满足全部的位移和力的边界条件。∵第15页，共57页，2023年，2月20日，星期二∴上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲线，即可以求得这个近似解比精确解大约0.1%第16页，共57页，2023年，2月20日，星期二

前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆临界荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好地反映失稳曲线，此时，可采用级数解答。设：弹性失稳曲线为（14-5）上式中，i(x)为满足给定位移边界条件的已知函数，ai为待定系数。

在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹性失稳曲线也很难找出精确表达式，因此，（14-5）式只能取有限项。设取前n项将其代入临界荷载公式得第17页，共57页，2023年，2月20日，星期二这样就把求临界荷载问题转变为求Fp的极值问题。Fp的极值条件为令：则由于B≠0，A/B=Fp

，则上式可改写为第18页，共57页，2023年，2月20日，星期二因为则Fp的极值条件可改写为（14-6）其中（14-6）式是关于ai(i=1,2…n)的n阶齐次线性方程组，有非零解的条件为第19页，共57页，2023年，2月20日，星期二（14-7）

将上式展开，即得一个关于Fp的n次代数方程，它有n个正实根，最小的一个即为所求的临界荷载Fpcr

第20页，共57页，2023年，2月20日，星期二§14.3等截面直杆的临界荷载

一刚性支承上等截面直杆的临界荷载

常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材料力学中已求出，归纳如下为长度系数Fp=1lFp=2Fp=0.7Fp=0.5Fp=1二弹性支承上等截面直杆的临界荷载

工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。第21页，共57页，2023年，2月20日，星期二如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。Fplkyx由得(a)其中(a)式的解为上式中A、B、为待定常数，由边界条件确定由得(b)由得(c)由得(d)第22页，共57页，2023年，2月20日，星期二由(b)、(c)、(d)组成的关于未知量A

、B、的齐次线性方程组，有非零解的条件为将上式展开整理得或这就是所求的稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如第23页，共57页，2023年，2月20日，星期二FpkFp1kkFp1kFpEA=第24页，共57页，2023年，2月20日，星期二三竖直杆在自重作用下的稳定如图所示结构，在自重作用的稳定性分析已有级数形式（-1/3阶贝塞尔函数）的精确解。qlxya下面采用能量法求其近似解。设：则下面计算外力功，取出微段dx，则该微段因弯曲引起的轴向下降距离为第25页，共57页，2023年，2月20日，星期二dsdsdx于是该微段上部重量所做的功为则全部自重所做的功为由得这个近似解比精确解大约5.9%第26页，共57页，2023年，2月20日，星期二若取级数的前两项可以求得这个近似解仅比精确解大约0.013%，精度显著提高。第27页，共57页，2023年，2月20日，星期二§14.4变截面直杆的临界荷载

下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示阶梯压杆l1l2lEI1EI2xy令上部压杆任一截面的侧移为y1，下部压杆任一截面的侧移为y2。则这两部分压杆的挠曲控制方程为(a)(a)式的解为(b)其中第28页，共57页，2023年，2月20日，星期二上述解共含有A1、B1、A2、B2和五个待定量，它们可由边界条件确定由得(c)由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)由上述5式组成的关于A1、B1、A2、B2和的齐次线性方程组，有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即第29页，共57页，2023年，2月20日，星期二展开得利用l=l1+l2及相应的三角函数公式上式整理可得或这就是所求的稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。对于其它形式的变截面压杆可采用类似的方法处理，也可采用能量法求其近似解。第30页，共57页，2023年，2月20日，星期二结构力学

第14章结构的弹性稳定计算第31页，共57页，2023年，2月20日，星期二主要内容1基本概念2临界荷载的确定3等截面直杆的临界荷载4变等截面直杆的临界荷载5偏心受压直杆的稳定6剪力对临界荷载的影响7组合压杆的稳定8刚架的稳定计算第32页，共57页，2023年，2月20日，星期二§14.5偏心受压直杆的稳定

如图所示等截面直杆，受偏心压力Fp作用。Fpleyx

建立如图所示坐标系则任一截面的弯矩为弹性曲线的近似微分方程为或(a)其中(a)式的解为(b)其中A、B为待定常数，由边界条件确定由得第33页，共57页，2023年，2月20日，星期二由得因此，(c)由上式可知，当nl=时，除了x=0,l截面外，y。此时的荷载即为临界荷载。故与中心受压杆临界荷载相同。对于梁中点的挠度，由(c)式（x=l/2）得yl/2Fp关系曲线如图所示。Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp关系曲线e1e2e2>e1>0第34页，共57页，2023年，2月20日，星期二Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp关系曲线e1e2e2>e1>0由图可知(a)

yl/2Fp关系曲线是非线性的；是yl/2Fp关系曲(b)线的渐进线；(c)e愈大，曲线偏离渐进线愈大。必须指出，上述结论只是理论上的，因为假定变形是线弹性、小变形的与真实情况相差较大。实际情况如下图所示，当时Fp<Fpe，压杆已丧失了稳定。Fpyl/2e=0Fpe真实yl/2Fp关系曲线e1e2e2>e1>0第35页，共57页，2023年，2月20日，星期二§14.6剪力对临界荷载的影响

如图所示压杆xyFpl设：yM表示弯矩所产生的挠度，yQ表示由于剪力影响所产生的附加挠度。则对上式两边求两次导得(a)由挠曲线近似微分方程得(b)剪力引起的杆轴线附加角位移为由第6章知，（k为截面形状系数）第36页，共57页，2023年，2月20日，星期二则由上式得(c)又∵∴(d)把(b)、(d)代入(a)整理可得(e)其中第37页，共57页，2023年，2月20日，星期二(e)(e)式的解为(f)由得由得最小值为ml=，由此得临界荷载为(g)由上式可解得第38页，共57页，2023年，2月20日，星期二式中无剪力影响时的欧拉临界荷载对于钢材，G=80GPa，欧拉临界应力e=200MPa，则

说明在实体结构中，剪力的影响是很小的，通常可略去不计。第39页，共57页，2023年，2月20日，星期二也可采用能量法来讨论剪力的影响，设弹性曲线为取无弯曲状态势能为零，则∵∴第40页，共57页，2023年，2月20日，星期二外力功为由得即结果相同。第41页，共57页，2023年，2月20日，星期二§14.7组合压杆的稳定问题

常见的组合压杆有缀条式和缀板式两种，如图所示。缀条式缀板式FpFp

缀条式组合压杆缀条是由斜杆和横杆组成，一般采用单个角钢，它们与主要构件（两边槽钢）的连接一般可看作铰接。

缀板式组合压杆一般情况下无斜杆，缀板与主要构件（两边槽钢）的连接一般看作刚接。

关于组合压杆的临界荷载精确解目前还没有，这一问题的近似解是由铁摩辛柯（S.PTimoshenko）提出的。第42页，共57页，2023年，2月20日，星期二一缀条式组合压杆

取出一个节间缀条式组合压杆如图所示。FQ=1FQ=1dbApAq①②③则在单位力FQ=1作用下，缀条变形产生的剪变形为式中11为FQ=1时，沿其方向上所引起的位移。由于各杆铰接。则在缀条式组合压杆中，剪力主要由缀条承担，因此，上式计算时仅考虑缀条的影响。∵轴力：第43页，共57页，2023年，2月20日，星期二∴则在上节中曾推导了剪力对临界荷载的影响，结论为其中为单位剪力作用时所产生的剪变形。用代替，即可得近似的缀条式组合压杆的临界荷载公式为第44页，共57页，2023年，2月20日，星期二式中注意：在计算欧拉临界荷载时，I只需考虑两边主要构件（如槽钢）对形心的惯性矩即可，不必考虑缀条，因缀条承担剪力。二缀板式组合压杆

缀板式组合压杆可视为单跨双层刚架。并近似地认为主要构件的反弯点在节间中间，取出一节如图所示。d/2bIbd/2Id1/21/21/21/2则在单位力FQ=1作用下，缀板变形产生的剪变形为式中11为FQ=1时，沿其方向上所引起的位移。第45页，共57页，2023年，2月20日，星期二图因此与缀条式组合压杆推导相同，可得其中第46页，共57页，2023年，2月20日，星期二从2的表达式可以看出，2随着间距d的减小而增大，当d=0时，2=1与实体结构相同。

在一般情况下，缀板的刚度要比主要构件（如两边的槽钢）大的多，因此，可取EIb=∞，于是临界荷载计算公式可近似地简化为第47页，共57页，2023年，2月20日，星期二§14.8刚架的稳定计算

这里仅考虑刚架在结点处承受集中荷载且结构丧失稳定前各杆只有轴向变形而无弯曲变形的情况。在此条件下，刚架失稳属于第一类稳定问题。如图所示承受结点荷载作用刚架Fp2Fp1当荷载达到临界值时，在微小的干扰力作用下，将产生弯曲变形，当干扰力撤除后，并在新的弯曲变形状态下维持平衡。

确定结构临界荷载，一般而言，采用位移法较为方便。其基本原理与第8章基本相同，所不同之处是在转角位移方程中增加考虑轴力的影响。第48页，共57页，2023年，2月20日，星期二一考虑轴力影响的等截面直杆转角位移方程

FplFpABEI取出受压直杆如图所示FpAB(a)FpFQABFQBAMABMBAxy由得任一截面的弯矩为则弹性曲线的微分方程为(a)令：则(a)式整理得(b)第49页，共57页，2023年，2月20日，星期二(b)式的通解为(c)上式四个待定量C1、C2、MAB和FQ由边界条件确定由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)注意到，利用上述四式可解得第50页，共57页，2023年，2月20日，星期二（14-8）上式中，i为线刚度，、、和为考虑轴向力效应的修正系数。第51页，共57页，2023年，2月20日，星期二容易证明（应用洛毕塔法则），当Fp0，u0时此时为普通情