第四章复变函数的级数

第四章复变函数的级数第1页，共109页，2023年，2月20日，星期二主要内容

本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.第2页，共109页，2023年，2月20日，星期二1复数列的极限2复数项级数概念§4.1

复数项级数第3页，共109页，2023年，2月20日，星期二1复数列的极限称为复数列,简称为数列,记为定义4.1设是数列，是常数.如果e>0,

存在正整数N,使得当n>N时,不等式成立,则称当n时,收敛于或称是的极限,记作第4页，共109页，2023年，2月20日，星期二复数列收敛与实数列收敛的关系定理一

的充分必要条件是此定理说明:

判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.第5页，共109页，2023年，2月20日，星期二即同理证明如果则存在正整数N,从而有使得当n>N时,第6页，共109页，2023年，2月20日，星期二从而有反之,

如果那么存在正整数N,使得当n>N时,所以第7页，共109页，2023年，2月20日，星期二2复数项级数的概念为无穷级数.称为该级数的部分和.设是复数列,则称第8页，共109页，2023年，2月20日，星期二级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,这时称S为级数的和,并记做如果不收敛，则称级数发散.第9页，共109页，2023年，2月20日，星期二复数项级数与实数项级数收敛的关系定理二级数收敛的充要条件是都收敛,并且说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题

推论如果级数收敛,则第10页，共109页，2023年，2月20日，星期二证明由记于是由定理一知收敛的充要条件是与皆收敛,此时显然有第11页，共109页，2023年，2月20日，星期二解因为级数收敛,所以原复数项级数发散.练习级数是否收敛?发散,而级数第12页，共109页，2023年，2月20日，星期二证明由定理二知，再由实数项级数收敛的级数收敛的充要条件是

都收敛必要条件知第13页，共109页，2023年，2月20日，星期二非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.

定义4.3设是复数项级数,如果正项级数收敛,则称级数绝对收敛.

绝对收敛级数的性质并且

定理三若级数绝对收敛,则也收敛,

收敛第14页，共109页，2023年，2月20日，星期二证明由于而级数收敛,由正项级数收敛的比较判别法,知和收敛.从而和绝对收敛,故收敛.因此级数收敛.因为所以第15页，共109页，2023年，2月20日，星期二补充因为所以综上可得:因此,如果和都绝对收敛时,也绝对收敛.绝对收敛和都绝对收敛.第16页，共109页，2023年，2月20日，星期二例1

下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.第17页，共109页，2023年，2月20日，星期二例2

下列级数是否收敛?是否绝对收敛.第18页，共109页，2023年，2月20日，星期二定理4.4设是收敛数列，则其有界,即存在M>0,使得第19页，共109页，2023年，2月20日，星期二1幂级数的概念2收敛圆与收敛半径3收敛半径的求法§4.2幂级数4幂级数的运算和性质第20页，共109页，2023年，2月20日，星期二为复变函数项级数.

为该级数的部分和.设是定义在区域D上的复变函数列,称1幂级数的概念第21页，共109页，2023年，2月20日，星期二称为该级数在区域D上的和函数.如果对下述极限存在则称级数在点收敛,且是级数和.如果级数在D内处处收敛,则称其在区域D内收敛.此时级数的和是函数第22页，共109页，2023年，2月20日，星期二这类函数项级数称为幂级数.当或时,或的特殊情形函数项级数的形式为第23页，共109页，2023年，2月20日，星期二定理一(Abel定理)若级数在处收敛，则当时,级数绝对收敛;若级数在处发散，则当时,级数发散.第24页，共109页，2023年，2月20日，星期二因而存在正数M,

使得当时,记于是,由正项级数的比较判别法知,收敛,因此证明若级数收敛,则级数绝对收敛.其余的结论用反证法易得.第25页，共109页，2023年，2月20日，星期二2收敛圆与收敛半径

(1)对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2)对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.设时,级数收敛;时,级数发散.如图:由,幂级数收敛情况有三种:第26页，共109页，2023年，2月20日，星期二..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域...第27页，共109页，2023年，2月20日，星期二

幂级数的收敛范围是因此，事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形,分别规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析.第28页，共109页，2023年，2月20日，星期二解级数收敛,级数发散.绝对收敛,且有在内,级数

例1

求级数的收敛半径与和函数.所以收敛半径第29页，共109页，2023年，2月20日，星期二3收敛半径的求法

(3)当时,收敛半径(1)当时,收敛半径(2)当时,收敛半径定理二(比值法)设级数如果则形式上可以记为第30页，共109页，2023年，2月20日，星期二证明：由于故知当时，收敛。根据上节的定理三，级数在圆内收敛。正项级数达朗贝尔判别法第31页，共109页，2023年，2月20日，星期二当时。假设在圆外有一点z0,使级数收敛。反证法在圆外再取一点z1，使，那么根据Abel定理，级数必收敛。然而所以这与收敛相矛盾。在圆外发散。由z0的任意性知级数第32页，共109页，2023年，2月20日，星期二(3)当时,收敛半径(1)当时,收敛半径(2)当时,收敛半径定理三

(根值法)设级数如果则形式上可以记为第33页，共109页，2023年，2月20日，星期二例2

求下列幂级数的收敛半径（并且讨论在收敛圆周上的情形）；(并讨论z=0,2时的情形)第34页，共109页，2023年，2月20日，星期二由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个定理.

定理

(1)设级数和的收敛半径分别为和则在内,4幂级数的运算和性质第35页，共109页，2023年，2月20日，星期二

例3

设有幂级数与求的收敛半径第36页，共109页，2023年，2月20日，星期二(2)设级数的收敛半径为r.如果在内,函数解析,并且则当时,前面关于级数的性质,如果将换成之后,对于级数当然也成立.说明:

上述运算常应用于将函数展开成幂级数.第37页，共109页，2023年，2月20日，星期二例4

把函数表示成形如的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.代数变形,使其分母中出现凑出

把函数写成如下的形式:第38页，共109页，2023年，2月20日，星期二当即时,所以第39页，共109页，2023年，2月20日，星期二补例

把函数在的范围表示成形如的幂级数。第40页，共109页，2023年，2月20日，星期二定理四设幂级数的收敛半径为R，那么是收敛圆：内的解析函数。在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即1）它的和函数f(z),即第41页，共109页，2023年，2月20日，星期二补例

把函数在的范围表示成形如的幂级数。第42页，共109页，2023年，2月20日，星期二3）f(z)在收敛圆内可以逐项积分，即或第43页，共109页，2023年，2月20日，星期二§4.3泰勒级数第44页，共109页，2023年，2月20日，星期二幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数。

函数是否能够展开成幂级数。解析能第45页，共109页，2023年，2月20日，星期二R为到D边界的最短距离

定理

(Taylor展开定理)

设在区域D内解析,为D内的一点,.R(D是全平面时,R=+),

则在内可展开为幂级数其中系数cn按上述表示的幂级数称为在点的Taylor级数.

第46页，共109页，2023年，2月20日，星期二..C.R证明对内任意一点z,存在r>0,使得并且以z0为圆心,r为半径作正向圆周由第47页，共109页，2023年，2月20日，星期二因为当时,..C.R第48页，共109页，2023年，2月20日，星期二从而实际上积分号下的级数可在C上逐项积分.第49页，共109页，2023年，2月20日，星期二50第50页，共109页，2023年，2月20日，星期二R为到D边界的最短距离

定理

(Taylor展开定理)

设在区域D内解析,为D内的一点,.R(D是全平面时,R=+),

则在内可展开为幂级数其中系数cn按上述表示的幂级数称为在点的Taylor级数.

第51页，共109页，2023年，2月20日，星期二此定理给出了函数在z0点的邻域内展开成Taylor级数的公式,同时给出了展开式的收敛半径R=|z0-a|,其中a

是离z0最近的f(z)的奇点.第52页，共109页，2023年，2月20日，星期二Taylor展开式的唯一性定理

定理设是D上的解析函数,是D内的点，且在内可展成幂级数则这个幂级数是在点的Taylor级数，即注任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数。第53页，共109页，2023年，2月20日，星期二证明因为在内，绝对收敛.取则由收敛，得于是有界,即存在

使得则其中所以是收敛的正项级数.第54页，共109页，2023年，2月20日，星期二则由,级数在上可以逐项积分.又因为将上式在上逐项积分，利用

以及因此,解析函数在一点展开成幂级数的结果唯一.第55页，共109页，2023年，2月20日，星期二考虑f(z)的任意展开式显然又所以第56页，共109页，2023年，2月20日，星期二显然又所以又第57页，共109页，2023年，2月20日，星期二即第58页，共109页，2023年，2月20日，星期二将函数展开为Taylor级数的方法:

1.直接方法;2.间接方法.1.直接方法由Taylor展开定理计算级数的系数然后将函数f(z)在z0展开成幂级数.第59页，共109页，2023年，2月20日，星期二

例求在的Taylor展开式.所以它在处的Taylor级数为并且收敛半径

因为在复平面上解析，且第60页，共109页，2023年，2月20日，星期二2.间接方法

借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,逐项积分等)和其它的数学技巧(代换等),求函数的Taylor展开式.间接法的优点:

不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.第61页，共109页，2023年，2月20日，星期二例利用并且收敛半径同理本例利用直接方法也很简单以及上节可得第62页，共109页，2023年，2月20日，星期二

例1

求在点邻域内的Taylor级数.解

是的唯一奇点,且

故收敛半径在中，用z替换-z,则逐项求导，得第63页，共109页，2023年，2月20日，星期二

例2

求对数函数的主值在z=0点的Taylor级数.负实轴向左的射线的区域内解析.因为

并且由有

函数在复平面中割去从点-1沿第64页，共109页，2023年，2月20日，星期二所以根据，把上式逐项积分，得第65页，共109页，2023年，2月20日，星期二

例3求幂函数(a为复数)的主值支在z=0点的Taylor展开式.第66页，共109页，2023年，2月20日，星期二

解法一

待定系数法由于可知f(z)满足微分方程设

（※）

（※※

）第67页，共109页，2023年，2月20日，星期二将（※※

）带入（※

）得即比较上式的系数第68页，共109页，2023年，2月20日，星期二第69页，共109页，2023年，2月20日，星期二所以所求得展开式为第70页，共109页，2023年，2月20日，星期二实轴向左的射线的区域内解析.因此在内,可展开为z的幂级数.根据复合函数求导法则,按照直接方法展开如下:

显然,在复平面中割去从点-1沿负

解法二

第71页，共109页，2023年，2月20日，星期二令z=0,有第72页，共109页，2023年，2月20日，星期二于是第73页，共109页，2023年，2月20日，星期二附:常见函数的Taylor展开式第74页，共109页，2023年，2月20日，星期二第75页，共109页，2023年，2月20日，星期二1Laurent级数的概念2函数的Laurent级数展开3典型例题§3.4Laurent级数第76页，共109页，2023年，2月20日，星期二1Laurent级数的概念本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即Laurent级数.它将在后面讨论孤立奇点与留数中起重要作用.问题：解析函数能否在奇点处展开成幂级数？如果能应为何种形式？第77页，共109页，2023年，2月20日，星期二负幂项部分正幂项部分这种双边幂级数的形式为同时收敛Laurent级数收敛主要部分解析部分第78页，共109页，2023年，2月20日，星期二收敛半径R收敛域收敛半径R2收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分第79页，共109页，2023年，2月20日，星期二结论:.常见的特殊圆环域:...第80页，共109页，2023年，2月20日，星期二(1)

幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域内解析.(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.对于Laurent级数，已经知道：

Laurent级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆环域内解析.

问题:在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:?第81页，共109页，2023年，2月20日，星期二2函数的Laurent级数展开定理3.15(Laurent展开定理)设函数f(z)在圆环域内解析,则函数f(z)在此环域内可展开为Laurent级数其中C是圆周的正向.第82页，共109页，2023年，2月20日，星期二证明设z在圆环域内,取正数r和R,使得作圆周和当z在K2上变化时，根据和Rr.z..第83页，共109页，2023年，2月20日，星期二于是所以与的证明方法相同,可以逐项积分.Rr.z..第84页，共109页，2023年，2月20日，星期二当z在K1上变化时，类似有因为f(z)在K1上有界,即存在使得z

K1时,Rr.z..第85页，共109页，2023年，2月20日，星期二所以其中由于是收敛的正项级数，根据,可以逐项积分.根据,Rr.z..第86页，共109页，2023年，2月20日，星期二因此，第87页，共109页，2023年，2月20日，星期二注函数f(z)展开成Laurent级数的系数与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同。当f(z)在圆环域内解析,如果函数f(z)在内解析，则根据所以Laurent级数包含了Taylor级数.cn不能写为第88页，共109页，2023年，2月20日，星期二Laurent展开式的唯一性定理定理3.16设函数f(z)在圆环域内解析,并且可以展开成双边幂级数则其中C的正向.是圆周注函数在圆环域内Laurent展开式是唯一的.因此为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础.第89页，共109页，2023年，2月20日，星期二方法,可以证明双边幂级数也可以在C上逐项积分.设是函数f(z)在内的双边幂级数展开式，则在上,证明利用证明的第90页，共109页，2023年，2月20日，星期二于是在C上取积分得根据所以第91页，共109页，2023年，2月20日，星期二(1)直接方法直接计算展开式系数然后写出Laurent展开式这种方法只有理论意义,而没有实用价值.就是

说,只有在进行理论推导时,才使用这种表示方法.将函数展开为Laurent级数的方法:

1.直接方法;2.间接方法.第92页，共109页，2023年，2月20日，星期二

根据解析函数Laurent级数展开式的唯一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成Laurent级数.(2)

间接方法这是将函数展开成Laurent级数的常用方法.

给定函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式(包括Taylor展开式作为特例).这与Laurent展开式的唯一性并不矛盾,在同一圆环域内的展开式唯一.第93页，共109页，2023年，2月20日，星期二内展开成Laurent级数.

例1

将函数在圆环域处都解析,并且可分解为3.4.3典型例题函数f(z)在z=1和z=2处不解析,在其它点第94页，共109页，2023年，