北理上课课件工程力学82j8a

工程力学（A）北京理工大学理学院力学系韩斌(8-2)29/III2§8虚位移原理关于本章内容：属于分析力学体系牛顿(I.Newton,1642-1727)分析力学(标量物理量：广义坐标，广义速度,能量

T，V，功W)拉格朗日(J.-L.Lagrange,1736-1813)本章将虚位移原理用于研究静力学平衡问题。优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。—以牛顿三定律为基本方程矢量力学(矢量物理量：)动量动量矩及—以虚位移原理为基本方程31.质点系的位形

n个自由质点组成的质点系

n个质点的非自由质点系——设自由度，则(8.1)(8.2)位形给定则质点系中每一质点的位置就可确定§8.1位形、约束方程及约束分类——任一质点的位置可由其直角坐标确定(3n个独立参数)，称这3n个坐标的集合为该质点系的位形。可用k个广义坐标确定质点系的位形：42.约束方程及分类用数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。

n个质点的非自由质点系，若系统的自由度为k()

，系统自由度,其中l为独立的完整约束方程数。则：定常约束（不显含时间t）非定常约束（显含时间t）几何约束运动约束双面约束单面约束完整约束非完整约束约束分类5例2.质点在曲面上运动。约束方程即曲面方程（2）例1.质点在平面的槽内运动。自由度自由度例3.质点A，B用绳子相连，且绳长l=l(t).xyBAxA广义坐标可选择位形(xA,yA,xB,yB)位形约束方程（1）约束方程yA=0（3）（4）自由度k=2xyz位形或柱坐标zθ6§8.2实位移虚位移1.位移Mx3x1x2O质点系：n个质点，k个自由度可取k个广义坐标质点系的位形:(8.1)(8.2)单个质点M的位形：，单个质点M的位移：7(8.3)(8.4)质点系的位移其中称为广义位移（dt时间qj的增量）Mx3x1x2O(8.1)(8.2)质点系的位形:82.

实位移3.虚位移若质点系的位移或广义位移满足以下2个条件：（1）满足质点系的约束条件（2）满足质点系的动力学方程及初始条件则称其为实位移或广义实位移。实位移是惟一确定的真实位移。若质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件，就称为虚位移或广义虚位移。虚位移是系统约束允许的任意假想位移，与主动力无关，与时间无关，且不惟一。9虚位移又称为的变分(等时变分)。、、(8.1)(8.2)根据质点系的位形虚位移表示为：(8.5)(8.6)实位移表示为：10实位移与虚位移之间的关系：例如：当质点在某瞬时处于静止时，但不一定为0在定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。例如：但在非定常和运动约束情况下则不然。本章为静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。11对自由度为k的质点系（刚体或刚体系）直角坐标位形各点虚位移或不一定独立注意广义坐标位形广义虚位移

独立即建立系统中各点的虚位移之间的关系将系统中各点的虚位移或用独立的广义虚位移表示出来。本章第一个重点应掌握的内容：12(1)单个刚体上各点的虚位移之间关系表示方法与刚体上各点的速度关系类似任意点的虚位移均相等平移刚体c定轴转动方向如图定轴转动刚体的虚转角虚速度法几何法

4.系统中各点的虚位移之间关系表示方法13AB刚体一般平面运动PM刚体该瞬时的虚转角方向如图刚体该瞬时的速度瞬心为P①②虚位移投影关系AB③两点间虚位移的关系方向如图14(2)刚体系统各点虚位移之间的关系找出刚体系统中各点虚位移关系的方法：几何法和解析法。（ii）解析法：将各点坐标均用广义坐标表示，再求变分。(8.5)(8.6)（i）几何法(虚速度法)类比于§2，§3章中的速度分析方法（只需将速度矢量改为虚位移矢量）。15例题1§8虚位移原理例题ABCDEF刚体系统如图所示，AE=DB=2DF=2EF=2lC为AE和DB的中点，求F和B两点虚位移的关系。16例题1§8虚位移原理例题ABCDEFxy1.几何法:E点为杆DB的速度瞬心。方向大小？？其中沿EF方向投影：解：PDB17例题1§8虚位移原理例题ABCDEFxy可解出与的关系18例题1§8虚位移原理例题ABCDEF2.解析法：建立xy坐标系，选择广义坐标写出B，F点的位形：xy求变分可得：系统为1个自由度19例题1§8虚位移原理例题或以为广义虚位移，则F点的虚位移表示为ABCDEFxy故20例题2§8虚位移原理例题ABCyEHxRAB=BC=l0,E,H分别为杆AB，BC的中点，轮子C半径R=l0/4,在地面上纯滚动，EH为一弹簧，求：（1）B，H，C点虚位移之间的关系。（2）杆AB，BC，和轮子的虚转角（用广义坐标表示）。21例题2§8虚位移原理例题解：1.几何法系统自由度为1，选择为广义坐标，广义虚位移为杆BC的速度瞬心为PABCyEHxRP(BC)22§8虚位移原理杆AB，BC，轮子C的虚转角分别为：()()()例题2例题ABCyEHxRP(BC)23例题2§8虚位移原理例题ABCyEHxR2.解析法选择为广义坐标。写出B，H，C各点位形：24例题2§8虚位移原理例题ABCyEHxR求变分：25例题2§8虚位移原理例题ABCyEHxR由(负号表示)（）P(BC)（负号表示）26

，建立系统中B,D点虚位移及各刚体虚转角之间的关系。

BCD可视为一个刚体,做一般平面运动。例3已知AC=CB=BD=DA=a,OB=CD=,受力如图,ABCDOqMF解：1.分析各部分运动状态OB,AD杆定轴转动,BCD的速度瞬心为P,P设OB杆的角位移为则BCD的角位移为27§8.3力的功1.力的元功和有限功元功——力矢量在无限小的位移矢量上作的功。用直角坐标的分量表示：yxz（8.8）为在曲线切线方向的投影，元功(8.7)(瞬时量)28若同一质点上作用一力系，合力为质点上合力的元功等于各分力的元功之和。若