2023中考数学专题复习二

专题提升(八)以特殊三角形为背景的计算与证明一、以等腰三角形为背景的计算与证明1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是()A.y＝eq\f(\r(3),2)x2B.y＝eq\r(3)x2C.y＝2eq\r(3)x2D.y＝3eq\r(3)x2(第1题图)(第2题图)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.(第3题图)4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°.(1)若AD＝2，求AB.(2)若AB＋CD＝2eq\r(3)＋2，求AB.(第4题图)二、以直角三角形为背景的计算与证明5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长．(2)在△ABC中，求BC边上高的长．(第5题图)6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.(第6题图)7．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E.若AB＝5，求线段DE的长．(第7题图)8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．(1)求证：AE＝ED.(2)若AC＝2，求△CDE的周长．(第8题图)9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.(1)求∠B的度数．(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝eq\f(1,2)AB.(第9题图)10．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5s，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m，此车超速了吗？请说明理由(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)．(第10题图)11．如图所示，一根长2.5m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的距离为0.7m，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4m，那么木棍的底端B向外移动多少距离？(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．(第11题图)专题提升(九)以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．(第1题图)2．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.求证：四边形ADCE是平行四边形．(第2题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．(第3题图)4．如图，在▱ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．(第4题图)二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形．(第5题图)6．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．(第6题图)7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN.(2)求线段AP的长．(第7题图)8．如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF并延长交BC延长线于点E，连结AC.(1)求证：△ADF≌△ECF.(2)若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积．(第8题图)9．如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)求证：CF＝CH.(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．(第9题图)10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OBEC是矩形．(2)若菱形ABCD的周长是4eq\r(10)，tanα＝eq\f(1,2)，求四边形OBEC的面积．(第10题图)11．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连结CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连结AF.(1)求证：△AED≌△CFD.(2)求证：四边形AECF是菱形．(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？(第11题图)12．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连结BF.(1)求证：BD＝CD.(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形(写出条件即可，不要求证明)?(第12题图)13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF，CG.（1）求证：AF＝BF.（2）如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．(第13题图)14．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F.(1)证明：PC＝PE.(2)求∠CPE的度数．(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．(第14题图)15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．专题提升(十)与圆有关的计算与证明1．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是()A.30°B.60°C.90°D.180°2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为()A.πB.eq\f(3,2)πC.3πD.6π,(第2题图)),(第3题图))3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连结AD.若∠A＝25°，则∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°(第4题图)(第5题图)4．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则eq\f(S阴影,S空白)＝()A.3B.4C.5D.65．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为__．(第6题图)(第7题图)6．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是__°.7．如图，在四边形形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝eq\r(3)，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°.则图中阴影部分的面积为．8．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是．9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为eq\o(BD,\s\up8(︵))的中点，则AC的长是．(第8题图)(第9题图)(第10题图)10．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E.(1)求证：AB＝AC.(2)求证：DE为⊙O的切线．(3)若AB＝13，sinB＝eq\f(12,13)，求CE的长．11．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB＝10，ED＝4eq\r(6)，求BG的长．(第11题图)12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由．(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长．(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．(第12题图)13．如图①，在⊙O中，E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，C为⊙O上的一动点(C与E在AB异侧)，连结EC交AB于点F，EB＝eq\f(2,3)r(r是⊙O的半径)．(1)D为AB延长线上一点，若DC＝DF，求证：直线DC与⊙O相切．(2)求EF·EC的值．(3)如图②，当F是AB的四等分点时，求EC的值．(第13题图)专题提升(十一)巧用图形变换进行计算与证明1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2则旋转的牌是()(第1题图)2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是()A.eq\r(3)B.2eq\r(3)C.3eq\r(3)D.4eq\r(3)(第2题图)(第3题图)3．如图，已知⊙O的半径长为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分面积为．4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝5m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为____m.(第4题图)(第5题图)5．如图，四边形是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连结BN，MN，延长MN交BC于点G.有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1；③QN＝eq\f(\r(3),3)；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是eq\r(3).其中正确结论的序号是__．6．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是__．(第6题图)(第7题图)7．如图，O是等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则△AOC与△AOB的面积之和为．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，CD＝2，则AD的长为__．(第8题图)(第9题图)9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN＝MN.10．某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)，两村的坐标分别为A(2，3)，B(12，7)．(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短？(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？(第10题图)11．如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分)．(1)在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示．(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)：S1＝(a－1)b，S2＝(a－1)b，S3＝(a－1)b．(3)如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，请你求出空白部分表示的草地面积是多少？(第11题图)(4)如图⑤，若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位)，请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？专题提升(十二)以圆为背景的相似三角形的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E，则图中相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对(第1题图)(第2题图)2．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是()A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是()A.eq\f(AC,OR)＝eq\f(OQ,AB)B.eq\f(AQ,AB)＝eq\f(BP,BC)C.eq\f(AC,AP)＝eq\f(OR,OP)D.eq\f(AQ,AP)＝eq\f(AC,AB)(第3题图)(第4题图)4．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，已知半径长为4，AC＝4eq\r(2)，AB＝6，则AD的长为()A.5B.4.8C.3eq\r(2)D.2eq\r(6)5．如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D，若CD＝3，CO＝4，则AC的长为．(第5题图)(第6题图)6．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连结AE.若∠F＝60°，GF＝1，则⊙O的半径长为．7．如图，已知AD是⊙O的弦，eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，DE是⊙O的切线且与弦AB的延长线相交于点E，若AC＝3，AE＝8，则AD的长为_．(第7题图)(第8题图)8．如图，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，则⊙O的半径长为．9．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连结OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.则AC的长为．(第9题图)(第10题图)10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为．11．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.(1)求证：直线CD为⊙O的切线．(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．(第11题图)12．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB.(1)求证：△ADE∽△CDF.(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．(第12题图)13．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A，B，D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连结ED.(1)求证：ED∥AC.(2)若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12－16S2＋4＝0，求△ABC的面积．(第13题图)14．已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D两点，CD＝2，∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q.(1)当点P运动到使Q，C两点重合时(如图①)，求AP的长．(2)点P在运动过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为eq\f(1,2)？(直接写出答案)(3)当△CQD的面积为eq\f(1,2)，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时(如图②)，求AP的长．

参考答案：专题提升(八)以特殊三角形为背景的计算与证明1.B；解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠EOC＝45°.∵DE⊥OC，∴∠ODC＝∠OEC＝45°，∴CD＝CE＝OC＝x，∴DF＝EF，DE＝CD＋CE＝2x.∵∠DFE＝∠GFH＝120°，∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE·tan30°＝eq\f(\r(3),3)x，∴EF＝2CF＝eq\f(2\r(3),3)x，∴S△DEF＝eq\f(1,2)DE·CF＝eq\f(\r(3),3)x2.∵四边形FGMH是菱形，∴FG＝MG＝FE＝eq\f(2\r(3),3)x.∵∠G＝180°－∠GFH＝60°，∴△FMG是等边三角形，∴S△FGH＝eq\f(\r(3),3)x2，∴S菱形FGMH＝eq\f(2\r(3),3)xx2，∴S阴影＝S△DEF＋S菱形FGMH＝eq\r(3)x2.故选B.2.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.3.证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.4.解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F.∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°.易证△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD＝2，∴AE＝DE＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，∴BE＝eq\f(DE,tan30°)＝eq\f(\r(2),\f(\r(3),3))＝eq\r(6)，∴AB＝AE＋BE＝eq\r(2)＋eq\r(6).(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝eq\f(x,tan30°)＝eq\f(x,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)x，∴BD＝eq\r(x2＋（\r(3)x）2)＝2x.∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝eq\f(1,2)BD＝x，∴BF＝eq\r(BD2－DF2)＝eq\r(（2x）2－x2)＝eq\r(3)x，∴CF＝eq\r(3)x，∵AB＝AE＋BE＝x＋eq\r(3)x，CD＝DF＋CF＝x＋eq\r(3)x，AB＋CD＝2eq\r(3)＋2，∴x＝1，∴AB＝eq\r(3)＋1.(第4题图解)(第5题图解)5.解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝eq\r(52－42)＝3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E.∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB.∵D为AC边的中点，∴BD＝eq\f(1,2)AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.6.解：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB.7.解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE.∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE.∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝eq\f(1,2)AB＝2.5.8.解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝AD＝DB.∵∠B＝30°，∴∠A＝60°.∴△ACD是等边三角形．∵CE是斜边AB上的高，∴AE＝ED.(2)由(1)，得AC＝CD＝AD＝2ED，又∵AC＝2，∴CD＝2，ED＝1.∴CE＝eq\r(22－1)＝eq\r(3).∴△CDE的周长＝CD＋ED＋CE＝2＋1＋eq\r(3)＝3＋eq\r(3).9.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，又∵CD为高，∴∠B＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝eq\f(1,2)AB.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.又∵由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝EC＝eq\f(1,2)AB，∴AE＝BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE＝eq\f(1,2)AB.10.解：此车没有超速．理由：过点C作CH⊥MN于点H.(第10题图解)(第11题图解)∵∠CBN＝60°，BC＝200m，∴CH＝BC·sin60°＝200×eq\f(\r(3),2)＝100eq\r(3)(m)，BH＝BC·cos60°＝200×eq\f(1,2)＝100(m)．∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100eq\r(3)m，∴AB＝100eq\r(3)－100≈73(m)．∵60km/h＝eq\f(50,3)m/s，∴eq\f(73,5)＝14.6(m/s)＜eq\f(50,3)≈16.7(m/s)，∴此车没有超速．11.解：(1)如解图，在Rt△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝0.7m，则由勾股定理，得AO＝eq\r(AB2－BD2)＝2.4(m)，∴OC＝2.4－0.4＝2(m)．∵在Rt△CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，∴由勾股定理，得OD＝eq\r(CD2－OC2)＝1.5m，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)．(2)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．专题提升(九)以特殊四边形为背景的计算与证明1.证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠AEB＝∠CFD.在△AEB和△CFD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠DCF，,AE＝CF，,∠AEB＝∠CFD，))∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．2.证明：∵CE∥AB，∴∠ADE＝∠CED.在△AOD与△COE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADE＝∠CED，,∠AOD＝∠COE，,OA＝OC，))∴△AOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.又∵OA＝OC，∴四边形ADCE是平行四边形．3.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称，∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x轴距离为2，∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S▱ABCD＝5×4＝20.4.解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC.∵AB∥DC，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.(第4题图解)(第5题图解)5.解：如解图，过点E作EF⊥AB于点F.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE和△CDE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,∠3＝∠4，,BE＝DE，))∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE.又∵BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD＝4.∵点A(2，n)，B(m，n)(m>2)，∴AB∥x轴，∴CD∥x轴．∴m＝6.∴n＝eq\f(1,2)×6＋1＝4.∴点A(2，4)，B(6，4)．∵△AEB的面积是2，∴EF＝1，∵▱ABCD的面积为△ABE的面积的4倍，∴S▱ABCD＝8，∴▱ABCD的高为2.∵q<n，∴q＝2.∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．6.证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE綊CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．7.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN＝∠MNB＋∠PNM，∴∠PNM＝2∠CBN.(2)如解图，连结AN.根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM.由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN.∵AB＝CD＝4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN＝2.设AP＝x，则PD＝6－x，在Rt△PDN中，∵PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得x＝eq\f(10,3).∴AP＝eq\f(10,3).(第7题图解)8.解：(1)证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AD∥CE.∴∠ADF＝∠ECF，在△ADF和△ECF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADF＝∠ECF，,DF＝CF,∠AFD＝∠EFC，))∴△ADF≌△ECF(ASA)．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，CD⊥AD.由(1)知，△ADF≌△ECF.∴AD＝CE.又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED的面积＝AD·DC＝2.9.解：(1)证明：∵AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°.在△BCF和△ECH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EC，,∠BCE＝∠ECH，))∴△BCF≌△ECH(ASA)．∴CF＝CH.(2)四边形ACDM是菱形．证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E＝45°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE.∵∠ACD＝90°＋45°＝135°，∴∠A＋∠ACD＝45°＋135°＝180°，∴AM∥CD.∴四边形ACDM是平行四边形．∵AC＝CD，∴四边形ACDM是菱形．10.解：(1)证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD.∵BE∥AC，CE∥BD，∴∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°，∴四边形OBEC是矩形．(2)∵菱形ABCD的周长是4eq\r(10)，∴AB＝BC＝AD＝DC＝eq\r(10).∵tanα＝eq\f(1,2)，∴设CO＝x，则BO＝DO＝2x，∴x2＋(2x)2＝(eq\r(10))2，解得x＝eq\r(2)(负值舍去)，∴四边形OBEC的面积为eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.11.解：(1)∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAC＝∠FCA，,∠AED＝∠CFD，,AD＝CD，))∴△AED≌△CFD(AAS)．(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．(3)∵四边形AECF为菱形，∴AC⊥EF.∵AD＝3，AE＝5，∴根据勾股定理，得ED＝4，∴EF＝8，AC＝6，∴S菱形AECF＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF的面积是24.12.解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴DE＝AE.在△AEF与△DEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠DCE，,∠AEF＝∠DEC，,AE＝DE，))∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝CD.(2)四边形AFBD为矩形，证明如下：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形．∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴四边形AFBD为矩形．(3)AB＝AC，且∠BAC＝90°.13.证明：(1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC.即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF＝CF.∴∠FAC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°.∴∠B＝∠BAF.∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AGE＝∠CFE，,∠AEG＝∠CEF，,AE＝CE，))∴△AEG≌△CEF(AAS)．∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF.即得点F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即得∠AFC＝90°.∴四边形AFCG是正方形．14.解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°.在△ABP和△CBP中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABP＝∠CBP，,PB＝PB，))∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC.∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°.(3)AP＝CE.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，∠ADC＝∠ABC＝120°，∠BAD＝∠BCD.在△ABP和△CBP中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABP＝∠CBP，,PB＝PB，))∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE.15.解：分两种情况；①如解图①，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°.∵DE⊥OA，∴DE＝AE.∵四边形COED是正方形，∴OE＝DE，∴OE＝AE，∴OE＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(3,2)，∴点E(eq\f(3,2)，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF＝eq\r(2)OF，AF＝eq\r(2)EF.∵四边形CDEF是正方形，∴EF＝CF，∴AF＝eq\r(2)×eq\r(2)OF＝2OF，∴OA＝OF＋2OF＝3，∴OF＝1，∴点F(1，0)．∴正方形落在x轴正半轴的顶点坐标为(eq\f(3,2)，0)或(1，0)．专题提升(十)与圆有关的计算与证明1.D；2.B；3.B；4.C；5._eq\f(4,5)_；6._35_；7.eq\f(21\r(3),4)－π；8.4eq\r(2)；9.eq\f(8\r(3),3)；10.解：(1)如解图，连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC.又∵D是BC的中点，∴AB＝AC.(2)如解图，连结OD.∵O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．(3)∵AB＝13，sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(12,13)，∴AD＝12，∴由勾股定理，得BD＝5，∴CD＝5.∵∠B＝∠C，∴sinC＝sinB＝eq\f(DE,CD)＝eq\f(12,13)，∴DE＝eq\f(60,13)，∴根据勾股定理得CE＝eq\f(25,13).(第10题图解)(第11题图解)11.解：(1)如解图，连结OC.∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°.又∵PC＝PG，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；(2)如解图，连结OG.∵BG2＝BF·BO，即BG∶BO＝BF∶BG，又∵∠FBG＝∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB＝∠BFG＝90°，即OG⊥BG，∴BG＝CG，即点G是BC的中点；(3)如解图，连结OE.∵ED⊥AB，∴FE＝FD.∵AB＝10，ED＝4eq\r(6)，∴EF＝2eq\r(6)，OE＝5.在Rt△OEF中，OF＝eq\r(OE2－EF2)＝1，∴BF＝5－1＝4.∵BG2＝BF·BO，∴BG2＝BF·BO＝4×5，∴BG＝2eq\r(5).12.解：(1)原点O在⊙P外．理由：∵直线y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴点A(2，0)，点B(0，－2eq\r(3))，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝eq\f(OA,OB)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠OBA＝30°，如解图①，过点O作OH⊥AB于点H，在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝eq\r(3)，∵eq\r(3)＞1，∴原点O在⊙P外；(第12题图解)(2)如解图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为180°－30°－30°＝120°，∴弧长为eq\f(120×π×1,180)＝eq\f(2π,3).同理，当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为eq\f(2π,3).∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为eq\f(2π,3).(3)如解图③，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，则PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°，∴在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴OD＝OA－AD＝2－eq\f(\r(3),3)，∴此时点D的坐标为(2－eq\f(\r(3),3)，0)．当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为(2＋eq\f(\r(3),3)，0)．综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为(2－eq\f(\r(3),3)，0)或(2＋eq\f(\r(3),3)，0)．13.解：(1)连结OC，OE，OE交AB于H，如解图①，(第13题图解)∵E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴OE⊥AB，∴∠EHF＝90°，∴∠HEF＋∠HFE＝90°.又∵∠HFE＝∠CFD，∴∠HEF＋∠CFD＝90°.∵DC＝DF，∴∠CFD＝∠DCF.又∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＋∠DCE＝∠HEF＋∠CFD＝90°，∴OC⊥CD，∴直线DC与⊙O相切．(2)如解图②，连结BC.∵E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴∠FBE＝∠BCE.又∵∠FEB＝∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF∶BE＝BE∶EC，∴EF·EC＝BE2＝(eq\f(2,3)r)2＝eq\f(4,9)r2.(3)如解图②，连结OA.∵eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴AE＝BE＝eq\f(2,3)r.设OH＝x，则HE＝r－x，在Rt△OAH中，AH2＋OH2＝OA2，即AH2＋x2＝r2，在Rt△EAH中，AH2＋EH2＝EA2，即AH2＋(r－x)2＝(eq\f(2,3)r)2，解得x＝eq\f(7,9)r，∴HE＝r－eq\f(7,9)r＝eq\f(2,9)r.在Rt△OAH中，AH＝eq\r(OA2－OH2)＝eq\f(4\r(2),9)r.∵OE⊥AB，∴AH＝BH.又∵F是AB的四等分点，∴HF＝eq\f(1,2)AH＝eq\f(2\r(2)r,9).在Rt△EFH中，EF＝eq\r(HE2＋HF2)＝eq\f(2\r(3),9)r.∵EF·EC＝eq\f(4,9)r2，∴eq\f(2\r(3),9)r·EC＝eq\f(4,9)r2，∴EC＝eq\f(2\r(3),3)r.专题提升(十一)巧用图形变换进行计算与证明1.A；2.B；3.eq\f(15π,4)；4.8；5._①④⑤_；6._3_；7.6＋eq\f(9\r(3),4)；8._6_；9.证明：∵∠C＝∠A＝90°，BC＝BA，∴将△BCN逆时针旋转90°得到△BAN′，如解图所示．∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°，在△MBN和△MBN′中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BN＝BN′，,∠MBN＝∠MBN′，,BM＝BM，))∴△MBN≌△MBN′(SAS)，∴MN＝MN′，即AM＋AN′＝MN，∴AM＋CN＝MN.(第9题图解)(第10题图解)10.解：(1)如解图，作点B关于x轴的对称点E，连结AE，则点E为(12，－7)．设直线AE的函数表达式为y＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,12k＋b＝－7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝5.))∴直线AE的表达式为y＝－x＋5.当y＝0时，x＝5，∴水泵站建在距离大桥5km的地方，可使所用输水管道最短．(2)如解图，作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G.设点G的坐标为(x，0)，在Rt△AGD中，AG2＝AD2＋DG2＝32＋(x－2)2，在Rt△BCG中，BG2＝BC2＋GC2＝72＋(12－x)2，∵AG＝BG，∴32＋(x－2)2＝72＋(12－x)2，解得x＝9.∴水泵站建在距离大桥9km的地方，可使它到张村、李村的距离相等．11.解：(1)如解图所示：(第11题图解)(2)均填(a－1)b.(3)将右边空白部分向左平移2个单位，两块空白部分草地就拼成了一个矩形，所以空白部分草地面积为：(a－2)b；(4)将4块空白部分都移到右上方，则会发现它们拼成了一个矩形，所以空白部分草地面积为：(a－2)(b－1)．专题提升(十二)以圆为背景的相似三角形的计算与证明1.C；2.D；3.D；4.C；5.2eq\r(3)；6.2eq\r(3)＋3；7.2eq\r(6)_；8.eq\f(5,14)eq\r(14)；9.eq\f(20,3)；10.eq\f(1＋\r(2),2)a；11.解：(1)证明：如解图，连结OC.∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，∴∠CBA＝∠ODC.又∵∠CFD＝∠BFO，∴∠DCB＝∠BOF.∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B.∵∠B＋∠BOF＝90°，∴∠OCF＋∠DCB＝∠OCD＝90°，∴直线CD为⊙O的切线．(2)如解图，连结AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCO＝∠ACB.又∵∠D＝∠B，∴△OCD∽△ACB.∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴eq\f(CO,AC)＝eq\f(CD,BC)，即eq\f(2.5,3)＝eq\f(CD,4)，解得