华中科技大学《数值计算方法》考试试卷

华中科技大学《数值计算方法》考试试卷2006〜2007学年第一学期

《计算方法》课程考试试卷（A卷）（开卷）院（系）专业班级学号姓名题号—一—二四五六七八九十总分得分考试时间:下午2:30~5:00考试日期:院（系）专业班级学号姓名题号—一—二四五六七八九十总分得分考试时间:下午2:30~5:00考试日期:2007年1月30日解答内容不得超过装订线得分评卷人A二1．已知矩阵一.填空题（每小题4分，共28份）~1-「01」，则2.若用正n边形的面积作为其外接圆面积的近似值，则该近似值的相对误差是3.三次方程x3-x2-x+1=0的牛顿迭代格式是 。4.若求解某线性方程组有迭代公式X5+1）二BX（n）+F，其中—-j~a-3」，则该迭代公式收敛的充要条件 。p— —f—5.设/（x）二xex，则满足条件I2） {2丿P（x）二 。（i0,1,2）的二次插值公式I1f（x）dx6.已知求积公式0代数精度，则Q二—。沁(1—Q)f(0)+Qf(1/2)+(1+a)f(1)至少具0次7.改进的Euler方法hy二y+-[f(t,y)+f(t ,y+hf)]n+1 n2 nn n+1n n应用于初值问题y'(t)=y(t)，y(0)=1的数值解儿二 。得分评卷人（10分）为数值求得方程x2—x—2二0的正根，可建立如下迭代格式x= 2+x,n=0,1,2,n' n-1试利用迭代法的收敛理论证明该迭代序列收敛，且满足n：xn=2得分评卷人(20分)给定线性方程组得分评卷人2x+x+2x=101 2 3<—4x—x—5x=—191 2 34x+8x+2x=26123（1）试用Gauss消去法求解其方程组；得分评卷人四.（12分）已知y=sinx的函数表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166解答内容不得超过装订线得分评卷人四.（12分）已知y=sinx的函数表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166解答内容不得超过装订线试造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin（1.609）（保留5位有效数字），并给出其误差估计。得分评卷人J1cos(x2)dx0五. （14分）用Romberg算法计算积分精确到10—4）。得分评卷人六.(16分)给出线性0-方法y=y+h[0f+(1—0)f]n+1 n n n+1(1)计算其方法的截断误差；(0<0<1)，2） 当0=？时，其方法为2阶相容3） 当该方法应用于初值问题y'(t)y'(t)=九y(t),<T],y(t0)=y0时（其中九为实常数），其在t=tn处的数值解yn=?2006〜2007学年第一学期《计算方法》课程考试试卷（B卷）（开卷）院（系） 专业班级 学号 姓名 考试日期:2007年1月30日 考试时间:下午2:30~5:00题号—一二三四五六七八九十总分得分得分评卷人2得分评卷人2．A二1．已知矩阵七.填空题(每小题4分，共28份)

忑-42一

忑-，则若用正n边形的面积作为其内接圆面积的近似值，则该近似值的相对误差是3．方程x二ln(l+x2)的牛顿迭代格式是4．4．则该迭代公式收敛的充要条件是1 、；'av'aaB=若求解某线性方程组有迭代公式X(n+1)二BX(n)+F，其中解答内容不得超过装订线5•设f(x)=盲±7，则满足条件pP(x)二的二次插值公式6．a7．已知求积公式'隐式中点方法0f(x)dx〜8[f(0)+6f(a)+f(1)]至少具i次代数精度，则y=y+hf(t+h/2,n+n+i)n+1 n n 2应用于初值问题y'(t)=y(t)，y(°)=1的数值解yn得分评卷人八. (10分)证明：对任何初值x0得分评卷人x=cosx,n=1,2,TOC\o"1-5"\h\zn n-1所生成的序列4“'均收敛于方程X=C0SX的根。得分评卷人九. (20分)给定线性方程组8x+x-x=81 2 3<x—7x+2x=—41232x+x+9x=121 2 31)试用Gauss消去法求解其方程组；(2)给出求解其方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并说明其二种迭代格式的收敛性。

得分评卷人字），并给出其实际误差。十.（12分）已知f（x）=ex（3x—ex），插值节点得分评卷人字），并给出其实际误差。x二1.00,x二1.02,x二1.04,x二1.06,0 1 2 3试构造Lagrange插值公式计算f（1.03）的近似值（保留4位有效数得分评卷人J1sin(x2)dx0得分评卷人J1sin(x2)dx0（精确到10-4）。解答内容不得超过装订线得分评卷人(5)当0=?时,十二・（16分）给出单支0-方法y二y+hf[01+（1-0）t ,0y+（1-0）y]（0<0<1）n+1 n n n+1 n n+1（4）计算其方法的截断误差；其方法为2阶相容；6）当该方法应用于初值问题y'(t)-y(t九y(t),y0时（其中九为实常数），其在t二tn处的数值解yn二?2005~2006学年《计算方法》试题班级 学号 姓名 成绩 题号—一—二三四五六七八九十总分得分一.填空题（每空3分，共18分）1-2、1.已知矩阵I-3 4丿，则IIAII2.方程xex-1二0的Newton迭代格式为 a丿，且a丿，且A可分解为A二LLt，其中L为对角线上元素全等于1的下三角矩阵，则a=4.已知⑴）二yi,i二0，1，2；x0<x<x2,且xoimZ2f⑶（x）AM，则其拉格朗日插值余项R满足估计式Rl< 。J2f（x）dx〜1f（1）+Af（2）+1f⑵nr|已知求积公式i 6 3 6，则A= 。h+1,y+1)]n+1 n+1 是y+1,y+1)]n+1 n+1 是解常微分方程初值问题的梯形公式n+1 - 2丿n»丿阶方法。二（10分）试导出计算Va的Newton迭代公式，并由此公式计算32，要求精确到10-5。三.（12分）给定线性方程组2x+x=112<x+3x+x=—1123x+2x=123分别写出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收敛性。（15分）利用余弦函数cosx在x0=0,S=:,x2=[处的值导出其二次Lagrange插值多项式，并以此近似计算cos:，且给出该近似值的相对误差。（15分）某学生在大学一、二年级各个学期的平均成绩如下：学期x1234平均成绩y63.270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩。（15分）用Romberg算法计算'°血）抵（步长—从1逐步减半到8）。（15分）试导出求解初值问题y'=f（x，y），叫=yo的2步3阶公式y=y+—（bf+bf+bf）,n+2 n+1 0n1n+12n+2并给出其绝对稳定域。2004~2005学年《计算方法》试题（2004年11月26日）班级 学号 姓名 成绩 题号—一二二四五六七八九十总分得分一-（20分）1.用简单迭代法求方程x2-x-1二0在x0二I，5附近的具有4位有效数字的近似根,并证明收敛性。2.试导出计算去（2.试导出计算去（a>0）的Newton迭代公式，使公式中既无开方，又无除法运算。二.(10)1.给定线性方程组5x—2x—x=—1TOC\o"1-5"\h\z1 2 3<—x+10x+5x=21 2 3x—2x+10x=31 2 3-212--10_A=—40—5b=—19482，26分别写出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收敛性。三.（15）设有线性代数方程组Ax=b，其中用列选主元Gauss消去法求解此方程组。用LU分解法求解此方程组。四.（15）1.用二次Lagrange插值公式利用100,121,144的开方求“16；x1 23yx1 23y—202y'402.已知函数表,求其插值多项式，并写出误差估计式。五.（10分）已知实验数据x01234f(x)510142126i试用最小二乘法求出拟合直线y二ax+b。-2h-101-2h-101j1 1dx 1j2hf(x)dx沁Af(—h)+Af(0)+Af(h)2.用Romberg算法求o1+x （步长h从1取到8）o|y'+y二0七.（15分）1.用改进Euler法求解初值问题1丁（0）二0，取h=0.2,0<x<1.02.试导出求解y'二f（x，y），y（x0）二y0的下列公式y二y+h（Py'+Py'+Py'）n+1 n 1n-1 2n3n+19并求出局部截断误差首项。2003~2004学年《计算方法》课程考试试卷院（系院（系） 专业班级 学号 姓名 指： 方程xex-1=0的一个有根区间为: ，可构造出它的一个收敛的迭代格式为： 。解方程f（x）二0的Newton迭代公式为 ，Newton迭代法对于单根是阶局部收敛的。4.解三角线性方程组的方法是 __过程。5.矩阵A的谱半径定义为P（A）=，它与矩阵范数的关系是

线性方程组Ax二b中令A二D+L+U,其中D是A的对角部分构成的矩阵，L和U分别是A的（负）严格下（上）三角矩阵，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是 。f（x）的差分形式的Newton插值多项式得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人二.（10分）设f（x）=x3-3x2+4x-得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人三. （10分）请用二分法计算方程f（x）二x3-3x2+4x-3二0的近似根，并进行到第3步为止。四.(20分)用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组:2x+x+x=01 2 3<x+x+x=3123x+x+2x=11 2 3五.（15分）用余弦函数cosx在x0=0,x]=『x2=^三个节点处的值写出二次Lagrange插值多项式函数，并近似计算cos:及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。六.（15分）某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：学期(x)1234平均成绩（y）63.270.576.678.4

试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。计算方法》上机实验试题1.(25分)计算积分xndxn=0,l,2,・・・,20x+5n=0,l,2,・・・,20若用下列两种算法(A)nn-(A)nn-1(B)n-1试依据积分I的性质及数值结果说明何种算法更合理。n2.(25分)求解方程f(x)=O有如下牛顿迭代公式(1)二xn-1(1)二xn-1f(x)n— -广(x)n-1编制上述算法的通用程序，并以心，x0—xI<en-1给定(£为预定精度)作为终止迭代的准则。(2)利用上述算法求解方程f(x):二cosx一x=0这里给定x0=n/4,且预定精度