2022-2023学年安徽省马鞍山市高一年级下册学期第一次教学质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省马鞍山市高一下学期第一次教学质量检测数学试题一、单选题1．如图所示，在▱ABCD中，，，则用表示向量和分别是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】利用几何图形，结合向量加减法的几何意义即可求、与的线性关系.【详解】结合几何图形，由向量加法知：，而，所以，由向量减法知：.故选：B.2．下列说法中，正确的是（

）A．λ与的方向不是相同就是相反 B．若，共线，则＝λC．若||＝2||，则＝±2 D．若＝±2，则||＝2||【答案】D【分析】A.由判断；B.由判断；C.利用平面向量共线定理判断；D.利用平面向量共线定理判断；【详解】A.当时，结论不成立；B.当时，结论不成立；C.当||＝2||，与2不一定共线；D.因为＝±2，所以||＝2||，故正确；故选：D3．已知，，与的夹角是，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】由平面向量数量积的定义可得.故选：B.4．如图，在△ABC中，，，，，则＝（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量加减法法则运算求解即可.【详解】解：由平面向量的三角形法则，可知.故选：D.5．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：C.6．若平面向量与的夹角为60°，,，则等于（

）.A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】先根据数量积的定义求出，再根据模的计算法则求.【详解】由题意，，；故选：B.7．河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（

）A．10 B． C． D．12【答案】B【分析】根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.【详解】设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，则，，所以，所以（），即小船在静水中的速度大小为.故选：B.8．如图，在三角形中，点在边上，，，,则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，利用余弦定理求出，再由正弦定理即可求解.【详解】由题意，根据条件知为等边三角形，则，，由余弦定理，得，即，由正弦定理，得，则，故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.二、多选题9．（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】利用平面向量的线性运算可判断AB选项；取，可判断C选项；取，可判断D选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，若，则、不一定相等，C错；对于D选项，若，则、不一定相等，D错.故选：AB.10．已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.【详解】设，则，当点P靠近点时，，则，解得，所以，当点P靠近点时，，则，解得，所以，故选：AD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（

）A．船垂直到达对岸所用时间最少B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样D．船垂直到达对岸时航行的距离最短【答案】BD【分析】根据船的静水速度、水流速度和实际速度的关系，结合两岸间的垂直距离可求得航行时间，进而判断出结果.【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际速度为，两岸间的垂直距离为；对于ABC，船垂直到达对岸时，，则所用时间；当船速的方向与河岸垂直时，所用时间；，当船速的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误；对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，此时距离最短，D正确.故选：BD.12．某人向正东方向走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3，结果离出发点恰好，则x的值为（

）A． B．2 C．2 D．3【答案】AB【分析】根据余弦定理列出方程，即可求解.【详解】如图所示，在中，，由余弦定理得，，整理得，解得或.故选：AB三、填空题13．设分别是的边上的点，,若，则＝________.（用表示）【答案】【分析】利用三角形法则，结合即可.【详解】如图:因为，所以，故答案为：14．已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且，则点C的坐标为________.【答案】(0,4)【分析】由向量的坐标表示计算即可.【详解】设C(x，y)，则.由，则x＝0，y＝4.则.故答案为：(0,4)15．在△ABC中，a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________.【答案】或【分析】利用正弦定理求得，由此求得.【详解】由正弦定理得，即，由于，所以或.故答案为：或16．是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是____________．【答案】【分析】由题意可得，由余弦定理结合即可求解.【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因为，所以，所以最大边的取值范围是：，故答案为：.四、解答题17．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合图形及向量相加的三角形法则，可知，后可得答案；（2）如图，做，连接CF，BD.后由图形及向量相减的三角形法则可得答案.【详解】（1）由已知得，∵，∴延长AC到E，使，如图所示，则，且．∴．（2）做，连接CF，BD，则，而，∴且．∴．18．如图，在中，为线段上一点，且.若，求，的值；若，，，且与的夹角为，求的值.【答案】；.【分析】用，表示出，根据平面向量的基本定理得出，的值；用，表示出，，代入数量积公式计算即可.【详解】解：若，则，即，故.若，则，即，所以.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.19．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．(1)若||＝3，且，求向量的坐标；(2)若是单位向量，且，求与的夹角.【答案】(1)或(2)【分析】（1）设，由及的坐标表达形式，求出即可；（2）根据找到与之间的关系，结合即可求出具体角度值.【详解】（1）设，由及得，所以或所以或;（2）因为，且，所以，即，所以，故，所以.20．在中，已知且.（1）试确定的形状；（2）求的取值范围.【答案】（1）直角三角形；（2）.【分析】（1）根据正弦定理化简整理得到即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将表示成，接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.【详解】解：（1）由正弦定理得：，所以①因为，所以所以，②把②代入①得所以是直角三角形（2）由（1）知，所以所以.根据正弦定理得因为，所以即的取值范围是.21．如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量.（1）求单位向量的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的模；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【分析】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量垂直，列方程组求解即可；（2）计算出向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得；（3）由（2）可知三角形的高，再利用向量的坐标求得底边长，即可求面积.【详解】（1）设，根据题意可得又因为与垂直，即可得故可得：解得，或所以或.（2）设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为，则；又因为，故当时，；当时，.所以向量在向量上的投影向量的模为.（3）由（1）可知：，由（2）可知，故.【点睛】本题综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解，属综合性基础题.22．设．（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，的对边分别为，若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据，求出，可得，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出的最大