流体动力学基础工程流体力学

流体动力学基础工程流体力学第1页/共204页2流体动力学基础雷诺输运定理运动微分方程伯努利方程及其应用系统与控制体动量方程连续方程式微分方程的求解角动量方程能量方程第2页/共204页引言Introduction第3页/共204页4流体动力学基础

流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础，与工程流体力学的各部分均有一定的关联，因而本章是整个课程的重点。简单地说，就是三大守恒定律：质量，动量，能量守恒在流体力学中的体现形式第4页/共204页5三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程动力学三大方程推广到流体中流体动力学基础第5页/共204页§4-1系统与控制体SystemandControlVolume第6页/共204页7系统(体系)流体动力学基础工程热力学闭口系统或开口系统理论力学质点、质点系和刚体研究对象均以确定不变的物质集合作为研究对象！第7页/共204页8系统(质量体)

在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流体团。如图所示。系统以外的一切统称为外界。系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界。

系统

定义：流体动力学基础Lagrange方法！第8页/共204页9(1)一定质量的流体质点的合集(2)系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时间变化。(3)系统的边界处没有质量交换，即没有流体流进或流出系统的边界。(4)在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力。(5)在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界。

特点：流体动力学基础第9页/共204页10

多数流体力学实际问题中，对个别流体质点或流体团的运动及其属性并不关心，而更关心流体对流场中的物体或空间中某体积的作用和影响。系统拉格朗日观点应采用欧拉观点处理上述问题！流体动力学基础第10页/共204页11控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。定义：相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体。流体动力学基础控制体(开系统)Euler方法！第11页/共204页12控制面的几何外形和体积是相对流动情况和边界条件选定的控制面相对于坐标系是固定的。在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面。在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力(动量交换）。在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面。

控制面的特点：流体动力学基础第12页/共204页13t时刻t+t时刻系统控制体流体动力学基础第13页/共204页14定义：控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数随体导数局部导数质量体控制体经典定理应用方便研究实际问题方便输运公式流体动力学基础随体导数和局部导数第14页/共204页15流体动力学基础第15页/共204页§4-2雷诺输运定理ReynoldsTransportEquation第16页/共204页17

回忆：物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。=+流体质点的物质导数的欧拉变量表达式：借助雷诺输运定理如何用欧拉变量表达式来表示对系统体积分的物质导数？流体动力学基础第17页/共204页18定理：任意时刻，质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。质量体控制体任一物理量控制体表面外法向单位向量雷诺输运定理流体动力学基础第18页/共204页19将拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换为按欧拉法去计算的公式推导过程：符号说明B:t时刻该系统内流体所具有的某种物理量（如质量、动量等）β:单位质量流体所具有的物理量系统所占有的空间体积控制体所占有的空间体积t时刻t+t时刻IIII’+IIIIIII’+I雷诺输运定理流体动力学基础第19页/共204页20流体动力学基础V’=II’+III,V=II’+Iδt→0,II’→II第20页/共204页21流体动力学基础第21页/共204页22流体动力学基础第一项就是控制体内的当地时间变化率第二项是△t时间内，流体通过控制面随着流体流入而带进来的相应物理量除以△t第二项是△t时间内，流体通过控制面随着流体流出而带出去的相应物理量除以△t第22页/共204页23流体动力学基础控制体内物理量的变化率流进流出控制体的净流通量物理量的总导数Reynolds输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加上从控制面上净输出的该物理量的通量。第23页/共204页24推导：流体动力学基础另一种证明第24页/共204页25·把一个有限体积内流体的质点导数转化为Euler描述下的控制体导数·提供了一个Lagrange描述的质点力学向Euler描述的流体力学转换的桥梁·系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。雷诺输运定理的作用流体动力学基础第25页/共204页26·在定常流动条件下，有

也就是说，系统内物理量的变化只与通过控制面的流动有关，而与控制内的流动无关。大大简化了研究内容。流体动力学基础第26页/共204页§4-3连续性方程ContinuityEquation第27页/共204页28当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：1.若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；流体动力学基础

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。前提：流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。第28页/共204页292.如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学方程式来表达，称为连续性方程。流体动力学基础由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证：动脉系统毛细管系统静脉系统心脏第29页/共204页30雷诺输运公式可用于任何分布函数B，如密度分布、动量分布、能量分布等。令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程积分形式的连续性方程流体动力学基础由流体系统满足质量守恒得，第30页/共204页31系统质量变化率流出控制体的质量流率控制体内质量变化率流体动力学基础上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满足连续性假设，上式总是成立的第31页/共204页32固定的控制体对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为运动的控制体将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr流体动力学基础第32页/共204页33★1、对于均质不可压流体：

ρ=const可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！连续方程的简化连续方程简化为：流体动力学基础第33页/共204页34可适用于可压、不可压流体的定常流动！连续方程简化为：★2、对于定常流动：流体动力学基础第34页/共204页35出、入口截面上的质流量大小为

设流体动力学基础•有多个出入口•一般式★3、沿流管的定常流动第35页/共204页36设出入口截面上的体积流量大小为Q＝VA流体动力学基础★4、沿流管的不可压缩流动•一般式•有多个出入口第36页/共204页37★5、一维流一维定常流不可压为什么河道窄的地方水流湍急？为什么水管捏扁了速度快？流体动力学基础第37页/共204页38流体动力学基础Ql+Q2=Q3Ql=Q2+Q3有汇流或分流的情况：第38页/共204页39解题的一般方法和步骤选取恰当的坐标系，使得在该坐标系中相对流动是定常的；选取恰当的控制体：控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量；一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在其上输运量为零或可求。积分型守恒方程的应用流体动力学基础第39页/共204页40解题的一般方法和步骤在控制面上物理量均匀分布，易求积分。动量方程是矢量方程，三个坐标方向三个方程。完整写出控制体上受外力，外力具有代数正负，与坐标方向一致为正。流体动力学基础第40页/共204页41【4.3-1】所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6l/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q5=0.78Q1

求：

Q2及各管的平均速度【解】取图中虚线所示控制体，有多个出入口。液按不可压缩流体处理

可得Q1=Q2+Q3+Q4+Q5

Q2=Q1－(Q3+Q4+Q5）=Q1－(0.07+0.04+0.78)Q

=0.11Q1=0.66l/min

流体动力学基础第41页/共204页42各管的平均速度为流体动力学基础第42页/共204页43【例4.3-2】思考题要使注射器稳定地以300cm3/min注射，问推进速度Vp=?已知Ap==500mm2关键：选控制体流体动力学基础第43页/共204页44利用Gauss公式来证明流体动力学基础微分形式的连续方程第44页/共204页45

在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立合适的坐标系。选取适当的微元控制体分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况

分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。列出守恒方程整理、简化

如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。微分形式的连续方程的推导二流体动力学基础第45页/共204页46

在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中的质量随空间和时间变化。

连续方程示意图流体动力学基础微分形式的连续方程的推导二第46页/共204页47（1）空间变化对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为流出的质量为X方向其质量增加为流体动力学基础第47页/共204页48同样y、z轴方向的质量增加分别为流体动力学基础（2）时间变化

设任意时刻微元六面体内的质量力为，单位时间内变为，所以由于密度的变化单位时间内微元六面体内增加的质量为微元控制体内流体质量增长率：第48页/共204页49（3）根据质量守恒定律

流体运动的连续方程式为：流体动力学基础第49页/共204页50物理意义：

空间上流入流出质量的增加量应该等于由于密度变化而引起的质量增加量。

流体动力学基础连续方程两种形式：

第50页/共204页51简化（1）定常压缩性流体，∂ρ/∂t=0，则连续方程变为流体动力学基础适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。第51页/共204页52（2）非压缩性流体，ρ＝常数，则连续方程变为上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零；也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。

流体动力学基础上式三项之和为流体的体积变形率(膨胀率或收缩率)，即单位时间内单位流体的膨胀量或缩小量。也就是说不可压缩流体的体积变形率为零，它的体积不会发生变化。第52页/共204页53在柱坐标系中，连续方程式为式中ur,uθ,uz是速度u

在r,θ,z坐标上的分量。流体动力学基础在球坐标系中，连续方程式为其它坐标系的连续方程第53页/共204页§4-7动量方程MomentEquation第54页/共204页55

动量方程是动量定理（牛顿第二定律）在流体力学中的具体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系。对于积分形式的动量方程其优点在于不必知道流动范围内部的过程，而只需要知道边界面上的流动情况即可。根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上的外力之和。流体动力学基础只适用于惯性系！第55页/共204页56将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中流体动力学基础动量方程系统动量变化率流出控制体的净动量流率控制体内动量变化率系统所受合外力Ff–质量力；Fs–表面力第56页/共204页57注意：1.动量方程是三维的2.外力的各分量、以及各速度分量均有正、负，其取决于坐标轴方向的选择！3.矢量点积(V·n)ds

也存在正负之分，流出为正，流入为负。流体动力学基础

在dt时间内，作用在控制体内流体上的合外力等于同时间间隔内从控制体净流出的流体动量与控制体内流体动量对时间的变化率之和。第57页/共204页58在流场中选择一个控制体，如图中虚线所示。使它的一部分控制面与要计算作用力的固定边界重合，其余控制面则视取值方便而定。控制体一经选定，其形状、体积和位置相对于坐标系是不变的。流体动力学基础控制体动量定理另一种证明方法第58页/共204页59

设

t

时刻流体系统与控制体V重合，且控制体内任意空间点上的流体质点速度为，密度为，则流体系统在t时刻的初动量为，经过时刻以后，原流体系统运动到实线所示位置，这个流体系统在时刻的末动量为流体动力学基础第59页/共204页60式中—非原流体系统经控制面A1流入的动量;—原流体系统经控制面A2流出的动量；—控制体的全部控制面。于是欧拉法表示的动量方程。流体动力学基础第60页/共204页61式中—作用在控制体内流体上所有外力的合力；—控制体内流体动量对时间的变化率。当定常流动时，该项为零。它反映了流体运动的非定常性；—单位时间内通过全部控制面的动量代数和。因为从控制体流出的动量为正，流出控制体的动量为负，所以该项也可以说是单位时间内控制体流出动量与流入动量之差（净流出的流体动量）。流体动力学基础第61页/共204页621.合力：是指作用在控制体上的质量力、正应力的和除正压力、质量力之外的一切外力之和流体动力学基础动量方程各项的简化质量力不考虑剪切力，也就是表面力只有正应力第62页/共204页632.净动量流率量：动量流进流出控制体的总和流体动力学基础一般流动是三维的，但可以简化为二维、一维流动加修正3.定常流动：第63页/共204页64

定常总流流束如图所示。把流线方向取为自然坐标s

的正向，取如图中虚线所示的总流流束为控制体，则总控制体表面上有动量交换。令这两个过流断面上的平均速度为v1，v2流体动力学基础定常总流的动量方程动量方程的简化去掉时间偏导数第64页/共204页65流体动力学基础由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数β加以修正。根据实验测定值约为1.02～1.05，近似于l，所以为计算方便，在工程计算中通常取β

＝1不可压缩流体，控制体动量方程可化简为第65页/共204页66流体动力学基础一维流具有多个一维出入口的控制体第66页/共204页67注意:(1)控制体的选取(2)或代表流出平均速度矢量

或代表流入平均速度矢量(3)动量方程中的负号是方程本身具有的,

和在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关(4)包含所有外力(大气压强)流体动力学基础第67页/共204页68定常时匀速运动控制体坐标系固定在匀速运动的控制体上是相对速度),输运公式为有多个一维出入口时为作用在控制体上的合外力流体动力学基础第68页/共204页69•在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。•动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。•应用时应注意：适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。流体动力学基础动量定理的应用第69页/共204页70

控制体应包括动量发生的全部流段，即应对总流取控制体；控制体的两端断面要紧接所要分析的流段；控制体的边界一般沿流向由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成。

注意速度、流率的正、负动量方程的应用步骤选取适当的过流断面与控制体建立适当的坐标系投影轴可任意选取，以计算方便为宜。分析系统（控制体）的受力情况注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横界面压力的计算。分析控制体动量变化，列动量方程结合使用连续性方程及伯努利方程等求解流体动力学基础第70页/共204页71如下图表示一水平转弯的管路，由于液流在弯道改变了流动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力，并设法加以平衡，以防管道破裂。水平弯管流体动力学基础1、流体作用于弯管的力第71页/共204页72现在我们用动量方程来确定这种作用力在x，y方向上分别应用动量方程。首先看x轴：流体动力学基础沿x

轴方向的动量变化为（以流出动量为正，流入为负）：1截面动量2截面动量总动量变化第72页/共204页73沿x

轴方向的作用力流体动力学基础上面应用了连续性方程：u1=u2=u沿x

轴方向的作用力总和为1截面所受力2截面所受力壁面对水的作用力第73页/共204页74同理，对于y

轴方向有从以上公式可求出与，从而可以计算R。代入动量方程有流体动力学基础第74页/共204页75注意：若求解所取流体系统对壁面的作用力，则取绝对压强，若求管（板）的受力，则选择表压强！

必须注意，如果要考虑弯管的受力，因为弯管放置在大气中，所以管外侧受到大气压的作用。考虑互相抵消的问题！根据反作用力原理，流体对管壁的作用力为：流体动力学基础第75页/共204页76弯管受力分析的扩展已知：无粘理想流体，已知进、出口的P,V,A不计重力求水对弯头的作用力(x，y方向分别考虑）流体动力学基础第76页/共204页77流体动力学基础

如左图的容器在液面下深度等于h

处有一比液面面积小得多的出流孔，其面积为A，在出流孔很小的前提下，假使只就一段很短的时间来看，其出流过程就可以当作近似的稳定流看待。这时理想流体的出流速度是2、射流的背压（反推力）

射流的背压这一瞬时，容器由流体水平方向的动量变化将决定于单位时间内由容器流出来的动量第77页/共204页78表明：射流反推力（背压）的大小恰好等于出流孔处的流体静压力的两倍。如果容器能够运动，射流就可能克服容器移动的阻力，而使容器向流体射出速度的反方向运动。火箭、卫星、飞机等运动原理流体动力学基础根据动量定理，这一动量变化当然在大小上、方向上、位置上恰好等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力。流动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反的水平推力。这个力的大小也就等于容器内流体的动量变化率，即第78页/共204页79流体动力学基础3、求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式解:

（1）对于喷嘴和叶片均为固定的情况：射流的压强等于周围气体的压强，根据能量方程式，如果不计水头损失，各断面流速值应保持不变。第79页/共204页80流体动力学基础第80页/共204页814、喷嘴的受力已知：无粘不可压流体p1、V1、A1

和Ae，不计流体重力1.求气体对喷嘴的冲击力2.求螺栓受力思考：如何确定速度Ve？流体动力学基础第81页/共204页§4-4理想流体的运动微分方程Themomentequationofideafluid第82页/共204页83

考虑如下图所示的边长为dx,dy,dz的微元直角六面体，其中角点A坐标为A(x,y,z)

，作用在此直角六面体上的外力有两种：表面压力和质量力。对于理想流体，忽略剪切力，只有正压强体积力一般只考虑重力，设在x，y，z轴方向上的单位质量力为

fx，fy，fz理想流体的运动微分方程积分形式的动量方程，不涉及流体内部受力。现在我们分析一下流体微团的受力及运动之间的动力学关系，建立理想流体动力微分方程，即欧拉方程。流体动力学基础第83页/共204页84作用在流体微元上的力流场中的分布力表面力

切向应力

•重力场：•重力势：法向应力p

单位质量流体体积力重力、惯性力单位体积流体电磁力流体动力学基础第84页/共204页85设中心点M的坐标为x、y、z，压强为p。只考虑x

轴方向受力分析：和表面力为：

质量力为：

利用泰勒级数，ABCD和EFGH中心点处的压强分别为：

惯性力为：

欧拉运动微分方程流体动力学基础第85页/共204页86根据牛顿第二定律得x方向的运动方程式为上式简化后得同理可得流体动力学基础第86页/共204页87展开随体导数，则有

上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉运动微分方程式。流体动力学基础欧拉方程组第87页/共204页88流体动力学基础流动定常时Euler方程为

式中x，y，z，t为四个变量，为x，y，z，t的函数，是未知量。也是x，y，z的函数，一般是已知的。第88页/共204页§4-4伯努利方程及其应用BernoulliEquation第89页/共204页90

在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz

是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，上面方程组中有四个未知数u、v、w和p，而已有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，从理论上就可以求解这四个未知数。运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时，需要对运动方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。流体动力学基础Euler运动微分方程组第90页/共204页911.无粘（理想）动量方程流体动力学基础伯努利方程的导出2.定常流动利用变换第91页/共204页92改写成流体动力学基础伯努利方程的导出3.沿流线。假设流体微团沿流线的微小位移dl在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz成立条件：沿同一流线；

无旋w=0第92页/共204页93注意到流体动力学基础伯努利方程的导出4.只考虑重力场第93页/共204页94积分流体动力学基础伯努利方程的导出5.不可压广义伯努利方程伯努利方程第94页/共204页95

动能定理：某一运动物体在某一时段内的动能增量，等于在该时段内作用于此物体上所有的力所做的功之和。

元流段的动能增量:

重力所作的功为：

根据动能定理

压力所作的功为：

得：----------(4-18)

用微元流束分析法推导出不可压缩均质理想流体恒定元流的伯努利方程流体动力学基础第95页/共204页96Bernoulli方程成立条件

1.无粘理想流体

2.定常流

3.沿同一流线

4.重力场

5.不可压（正压流场）流体动力学基础单位质量流体单位体积流体单位重量流体第96页/共204页97有旋，沿同一流线积分同一流线常数相等，不同流线常数不同流体动力学基础Bernoulli方程特例静止流体，V=0，即静力学基本方程无旋流场所有常数都相等第97页/共204页98Bernoulli方程的物理意义不可压理想流体在重力场中作定常流动时，同一流线上各点的单位重量流体的总机械能时守恒的，但动能、压力势能和位置势能是可以相互转换的流体动力学基础动量方程沿流线积分而来——能量方程单位重量流体所具有的重力势能单位重量流体的动能单位重量流体的压力能第98页/共204页99Bernoulli方程的几何意义不可压理想流体在重力场中作定常流动时，同一流线上各点的单位重量流体的总水头为常数，但位置水头、压力水头和速度水头是可以相互转换的流体动力学基础bc1aa'2c'b'H总水头线静水头线

各项单位都是米，工程流体力学称为水头z

－单位重量流体的位置水头P/pg

－单位重量流体的压力水头v2/2g

－单位重量流体的速度水头第99页/共204页100流体动力学基础第100页/共204页101

理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算伯努利方程的应用流体动力学基础皮托管小孔出流虹吸管文丘里流量计第101页/共204页102流体动力学基础一、皮托管

皮托（Pitot）管是指将流体动能转化为压能，进而通过测压计测定流体运动速度的仪器。常用于测量河道、明渠、风管中的流速，还可测量物体在流体中的运动速度，如船舶、飞机等的航行速度的测量。

常用的是由装有一半圆球探头的双层套管组成，并在两管末端联接上压差计。探头端点A处开一小孔与内套管相连，直通压差计的一肢；外套管侧表面沿圆周均匀地开一排与外管壁相垂直的小孔(静压孔)，直通压差计的另一肢。测速时，将皮托管放置在欲测速度的恒定流中某点A，探头对着来流，使管轴与流体运动的方向相一致。流体的速度接近探头时逐渐减低，流至探头端点处速度为零。第102页/共204页103u0uA=0AAuH皮托管测量原理示意图流体动力学基础第103页/共204页104流体动力学基础皮托管有简单和复合之分，其机构如图所示

简易毕托管

复合毕托管1、2第104页/共204页105设测速管中上升的液柱高h

，其流速为零，形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为PB，速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有简易皮托管是依据驻点流速为零，其动能转变为压力能，从而使管内液面上升的原理设计成的。流体动力学基础a.简易皮托管第105页/共204页106VBAZZ简易皮托管测速原理流体动力学基础第106页/共204页107上式表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比上式计算出的要小，因此，实际流速为式中ψ—流速修正系数，一般由实验确定，ψ=0.97。流体动力学基础第107页/共204页108

如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如下图所示，则流体动力学基础代入前式有用皮托管和静压管测量气体流速第108页/共204页109流体动力学基础

工程中使用的皮托管都必须经过严格标定，说明测量条件和流体种类，而且在安装时应按说明书要求去做，以减少测量误差。

在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托—静压管，又称动压管，由差压计给出总压和静压的差值，从而测出测点的流速。b.复式皮托管第109页/共204页110[例]复式皮托测速管

已知:设皮托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U形管中 液体密度ρm.

求：用液位差Δh表示流速v(a)

AOB线是一条流线(常称为零流线),

沿流线AO段列伯努利方程解：设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。流体动力学基础第110页/共204页111(b)端点O,v0=0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA=z0,可得流体动力学基础

称为动压强,p0称为总压强AB的位置差可忽略(c)第111页/共204页112因vB=v,由上式pB=p.在U形管内列静力学关系式

由(c),(d)式可得k称为毕托管系数。由(e)式可得(d)(e)流体动力学基础第112页/共204页113假设容器非常大水位近似恒定，且薄壁出流，也就是锐缘孔口出流，流体与孔壁只有周线上接触，孔壁厚度不影响射流形态。求出流速度？流体动力学基础二、小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应

【例】已知:

图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深)，设水位保持不变。求：(1)出流速度v(2)出流流量QHH0OOCAACDCV2v0第113页/共204页114小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应

(1)设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件.解：从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程(a)流体动力学基础第114页/共204页115讨论1：(b)式称为托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。液面的速度可近似取为零v1=0，液面和孔口外均为大气压强p1=p2=0(表压)，由(a)式可得(b)

(2)在小孔出口，发生缩颈效应。设缩颈处的截面积为Ae，缩颈系数ε

小孔出流量流体动力学基础第115页/共204页116讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d>0.1h)应考虑速度不均匀分布的影响。收缩系数ε与孔口边缘状况有关：实际孔口出流应乘上一速度修正系数k

<1

上式中μ=kε,称为流量修正系数，由实验测定。内伸管ε=0.5,流线型圆弧边ε=1.0.锐角边ε=0.61,流体动力学基础第116页/共204页117讨论3：各种影响因素由于粘性作用流体动力学基础大孔：取一条流线为准定常流，然后积分由于孔的形状、孔壁的厚薄速度系数：面积收缩系数：第117页/共204页118b.

小孔出流的扩展虹吸管分析管最高点2处的压力假设：H恒定1-2截面的压力P1-2=Pa＋pgh?水流会变细流体动力学基础第118页/共204页119【例】流体动力学基础第119页/共204页120

三、虹吸管

具有自由面的液体，通过一弯管使其绕过周围较高的障碍物（容器壁、河堤等），然后流至低于自由液面的位置，这种用途的管子成为虹吸管。这类现象称虹吸现象。

右图为一虹吸管的示意图，该虹吸管从水槽中吸水，再从右下端出口流出。假定水槽很大，在虹吸过程中自由水面的下降速度为零，且不计流体的粘性。

因此，该问题可用理想不可压缩流体的一元定常流动模型来近似。流体动力学基础第120页/共204页121

分别选取水槽的自由水面，最高位置截面，出口截面为计算表面，位置高度基准取在水槽自由面处。对1，3截面列伯努利方程得对2，3截面列伯努利方程得因此，因此，流体动力学基础第121页/共204页122

从虹吸管流速公式可知：引起虹吸管内流动的能源来自于其出口与自由液面间的高度差，即由重力势能转换而来。因此，从理论上讲，高度差L越大，则流速越大。

从最高截面处压力公式发现，其最高截面处压强小于当地大气压，且其真空度等于（H＋L）。可见，当最高截面至自由液面的高度差H达到一定值时，最高截面处压强已等于水流在该温度下的饱和蒸汽压，水将沸腾并产生大量蒸汽，破坏了流动的连续性，虹吸管不能正常工作。

注意：液体中常溶解有气体，当压强降低到一定程度时（此时压强一般高于该状态下的饱和蒸汽压），气体会释放出来形成气穴。

在变截面管道流动、流速较高或位置较高的流动区域会发生类似现象。流体动力学基础第122页/共204页123【例】一个虹吸管，已知a=1.8m，b=3.6m，水自池引至C端流入大气，若不计损失，设大气压为10m水柱，求：1）管中流速及B点之绝对压力；2）若B点绝对压力下降到0.24m水柱以下时，将发生汽化，如C端保持不动，问欲不发生汽化，a不能超过多高？【解】以C端及水面列出伯努利方程，水面处流速近似为零，出口端压力近似为大气压，则立即有

即流体动力学基础第123页/共204页124再对水面及B端实用伯努利方程，得为使B点不发生汽化，必须因此流体动力学基础第124页/共204页125Bernoulli方程的求解应用1分析是否满足成立条件不可压，重力场易满足可以忽略粘性，加修正定常2选取一根流线定常时可以选迹线3确定流线上两点高度，速度，压力等两点位置尽量选容易确定的，如出口，自由面等流体动力学基础第125页/共204页126

伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：

(1)弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。

(2)选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面流体动力学基础

伯努利方程应用时特别注意的几个问题第126页/共204页127(3)选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。

(4)求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。

(5)有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上Ａ点的压强，又取同一有效截面上另一点Ｂ的速度。流体动力学基础第127页/共204页128[例]

有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。流体动力学基础第128页/共204页129[解]

当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程流体动力学基础当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出Ｈ值第129页/共204页130所以管内流量流体动力学基础

代入到伯努利方程第130页/共204页131[例]

水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径

d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。流体动力学基础第131页/共204页132[解]

首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：流体动力学基础列1-1和2-2断面的伯努利方程第132页/共204页133由连续性方程：流体动力学基础管中流量

将已知数据代入上式，得第133页/共204页134

其中，积分得通过总流两过流断面的总机械能之间的关系式为

在工程实际中要求我们解决的往往是总流流动问题。如流体在管道、渠道中的流动问题，因此还需要通过在过流断面上积分把它推广到总流上去。将伯努利方程各项同乘以ρgdQ

，则单位时间内通过微元流束两过流断面的全部流体的机械能关系式为流体动力学基础总流上的伯努利方程第134页/共204页135

其中（1）它是单位时间内通过总流过流断面的流体位能和压能的总和。

在急变流断面上，各点的不为常数，积分困难。在渐变流断面上，流体动压强近似地按静压强分布，各点的为常数。因此，若将过流断面取在渐变流断面上，则积分流体动力学基础第135页/共204页136（2）它是单位时间内通过总流过流断面的流体动能的总和。由于过流断面上的速度分布一般难以确定，工程上常用断面平均速度来表示实际动能，即

式中为动能修正系数

工程计算中常取。流体动力学基础第136页/共204页137

将上述两式代入原方程中，考虑到稳定流动时，Q1=Q2=Q3，化简后得

这就是理想流体总流的伯努利方程。式中因此实际流体总流的伯努利方程为：

实际流体有粘性，由于流层间内摩擦阻力作功会消耗部分机械能转化为热能。流体动力学基础第137页/共204页138实际流体总流的伯努利方程流体动力学基础第138页/共204页139总流伯努利方程的应用

[例题]一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图所示。泵出口压力（A点压力）为2个大气压（表压），泵排出管断面直径为50mm；喷嘴出口C的直径20mm；水龙带的水头损失设为0.5m；喷嘴水头损失为0.1m。试求喷嘴出口流速、泵的排量及B点压力。泵1、一般水力计算流体动力学基础第139页/共204页140[解]取A、C两断面写能量方程：

通过A点的水平面为基准面，则；（在大气中）；水的重度重力加速度；水柱，即

将各量代入能量方程后，得流体动力学基础第140页/共204页141解得喷嘴出口流速为。而泵的排量为为计算B点压力，取B、C两断面计算，即

通过B点作水平面基准面，则代入方程得解得压力流体动力学基础第141页/共204页1422、节流式流量计

下面以文丘里管为例，推导流量计算公式。

文丘利管是一种测量有压管道中流体流量的仪器，它由光滑的收缩段、喉道和扩散段三部分组成。如图所示。

当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处流速增，压力降低，使节流装置前后产生压差。

基本原理：分类：孔板、喷嘴和圆锥式（文丘里管）流体动力学基础图文丘里流量计第142页/共204页143

取断面1—1和2—2，计算点均取在管道上，基准面0—0置于管道下方某一固定位置，并取。对1—1、2—2两过流断面列总流的伯努利方程有由连续性方程可得联立上面二式可得流体动力学基础(a)第143页/共204页144

故通过流量计的体积流量为考虑到流体粘性的影响，上式右端需乘以一个流量修正系数则流体动力学基础一般地，z1=z2(b)第144页/共204页145A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U形管内静止流体一样，可得(3),(5)位于等压面上,p3=p5，由压强公式及(c)(d)将上两式代入(d)式可得(e)流体动力学基础第145页/共204页146将(c)、(e)式代入(a)式，整理后可得讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文德利管的面积比A1/A2，且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影响应用伯努利方程。(f)可得大管的平均速度为上式中μ称为流速系数，文丘里管的流量公式为流体动力学基础第146页/共204页

综合利用伯努利方程、连续性方程和动量定理的例题第147页/共204页148[例]弯曲喷管受力分析：压强合力的影响

已知:

设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，求：(1)水流对喷管的作用力F的表达式(2)若θ=30°,求水流对喷管的作用力

解：1.只包含水流的控制体2.建立如图所示坐标系oxy。例题附图流体动力学基础第148页/共204页1493.由一维不可压缩流体连续性方程流体动力学基础4.由伯努利方程因相对压强p3=0,p0=395332.85pa第149页/共204页1505.由一维定常流动动量方程设水对喷管的作用力F如图所示。本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力－F

和压强合力。作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p0，方向沿x

轴正向；出口截面压强为零：(1)F的表达式为(2)设θ=30°,F在x,y方向的分量式为流体动力学基础第150页/共204页151压强合力动量变化讨论：(1)一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。(2)力F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例F大小相等，方向相反。(3)从计算结果来看,喷管受力中压强占主要成分,流体加速造成的动量变化引起的力只占次要成分.当θ角改变时,压强合力保持不变,仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小.如在Fx中动量变化占的比例在θ=83.62°时为零,在θ=180°时为最大值,占25%.

流体动力学基础第151页/共204页152Bernoulli方程的扩展忽略重力作用匀速转动下（水轮机、水泵和风机）－离心力有能量输入/出粘性流体的伯努利方程流体动力学基础第152页/共204页153沿流束的水头形式常数沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程(沿流束)不定常伯努利方程沿流线从位置1积分到位置2(沿流线)不定常惯性力作功流体动力学基础第153页/共204页能量方程EnergyEquation第154页/共204页155

能量方程的本质是体系（系统）中的能量守恒定理（惯性参考系中）在控制体上的表现。由流体系统的能量守恒定理得，其中，了解！流体动力学基础

遵照热力学第一定律，质量体内总能量的变化率等于单位时间内外力对质量体所做的功和由外界输入质量体内的热量之和。第155页/共204页156——单位质量流体所具有的能量。——外界和系统间传递的热量流率（向系统传热为正）。——外界与系统间做功功率（对系统做功为正）。流体动力学基础方程左端是流体的内能，右端第一项是体积力做功，第二项是表面力做功，第三项是热源，第四项是外界传入的热量，再加上其它外界功。具体到流体系统有，第156页/共204页157按雷诺输运公式，把随体导数写出局部导数压强功率轴功率粘性力功率为单位质量流体储存能

为外界输入控制体的传热率；

为控制体内流体对外所做功率控制体内总能量的变化率＋通过控制面流入的能量＝外力所做的功＋外界所传导的热量流体动力学基础第157页/共204页158外界做功和热的交换用Q，W来表示能量方程的简化

定常流动；理想无粘流体，表面力为正应力；体积力只有重力一维定常流形式流体动力学基础第158页/共204页159能量方程与伯努利方程的比较单位质量流体一维定常流动能量方程有用功比热能率比轴功率比摩擦功率流体动力学基础不考虑外界热量和做功！！！1.可压缩流体绝热流动（q=0,ws=wv=0,忽略重力）第159页/共204页160能量方程与伯努利方程的比较2.不可压缩粘性流体（Ws=Wv=0）水头形式称为水头损失，与粘性耗散有关。流体动力学基础3.不可压缩理想流体（伯努利方程）第160页/共204页§4-7角动量定理MomentEquation第161页/共204页162动量方程确定流体与边界之间作用力大小；动量矩方程确定流体与边界之间作用力位置；

设为某参考点至流体速度矢量的作用点的矢径，则用此矢量对动量方程两端进行矢性积运算，可得动量矩方程为流体动力学基础

在一般力学中，一个物体单位时间内对转动轴的动量矩的变化，等于作用于此物体上所有外力对同一轴的力矩之和，这就是动量矩定理。第162页/共204页163

等式左端是控制体上合外力对于坐标原点的合力矩。等式右端第一项是控制体内动量矩对时间的变化率。在定常流动时，第一项等于零。等式右端第二项是通过控制面流出与流入的流体动量矩之差，或通过控制面的净动量矩。流体动力学基础1．对定轴定常旋转流场，外力矩仅考虑轴距Ts，动量矩方程为第163页/共204页164欧拉涡轮机方程(转子平面投影式）流体动力学基础3.当控制体固结于匀速旋转的转子上时(忽略重力和表面力)，动量矩方程为式中为相对速度向心加速度柯氏加速度惯性力第164页/共204页165

现以定转速的离心式水泵或风机为例来推导叶轮机中的定常流动的动量矩方程。

如图所示，取叶轮出、入口的圆柱面与叶轮侧壁之间的整个叶轮流动区域为控制体。叶轮的速度三角形1—入口；2—出口；

—牵连速度；

—流体在叶轮内的相对速度；

—流体的绝对速度。流体动力学基础第165页/共204页166

假定叶轮叶片数目无限多，每个叶片的厚度均为无限薄，则流体在叶片间的相对速度必沿叶片型线的切线方向。于是将动量矩方程式用于叶轮机时，需用绝对速度代替质点速度。由于定常运动，故得叶轮机中的定常流动的动量矩方程由上图中所示的速度三角形可以看出因而动量矩可以写成流体动力学基础第166页/共204页167

因为叶轮机的角速度为故叶轮机的功率或单位重量流体所作的功为

这是泵与风机的基本方程。它首先由欧拉在1754年得到，故又称欧拉方程。对于涡轮类机械（如水轮机等），流体从叶轮外缘2流入内缘1，基本方程为流体动力学基础第167页/共204页168[例]

混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

已知:

一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm，n=4000转/分，vr2=3m/s。求：

(1)输入轴矩Ts

(2)输入轴功率解：取包围整个叶轮的固定控制体CV，忽略体积力和表面力。设流动是定常的，由连续性方程可得CV流体动力学基础第168页/共204页169Vθ1=0,由欧拉涡轮机方程输入功率为叶轮旋转角速度为ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度为Vθ2

=ωR2

=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

流体动力学基础第169页/共204页170已知:洒水器示意图。R=0.15m,喷口A=40mm2,θ=30°,Q=1200ml/s，不计阻力。求：(1)Ts=0时，旋转角速度ω(1/s）；[例]洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程

(2)n=400转/分的轴矩Ts和轴功率解：取包围整个洒水器的控制体CV，就整个控制体而言，从平均的意义上可认为是定常的对圆心取动量矩，当地变化率为零流体动力学基础第170页/共204页171设喷口流体的绝对速度为V，牵连速度为U及相对速度为Vr

(1)设Ts＝0,Vθ1=0,由多出口动量矩方程:流体动力学基础不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出口的定常流动处理。第171页/共204页172(2)当n=400转/分时ω=400×2π/60=41.89(1/s)

=0.3×(41.89×0.15-15×cos30°)×1.2=-1.21(N–m)

讨论：无摩擦轴矩时洒水器的转速是有限值，与喷管内相对速度成正比，与臂长成反比。角速度与喷口偏转角ω-θ的关系如图示。

流体动力学基础第172页/共204页§4-8微分形式的守恒方程GoverningEquationindifferentialform第173页/共204页174积分型方程：流动问题的总体性能关系，如合力、合力矩、总能量等，不需要考虑流场内部细节微分型方程：流场的细节，即每一时刻、每一空间点上流动参数的分布空间任一点在任一时刻（V，p，ρ，T）所满足的关系式微分型方程+边界条件+初始条件流体微元分析：三大守恒律流体动力学基础第174页/共204页175微分形式的动量方程－流体应力场1.一点的表面应力矩阵该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。2.应力矩阵的常用表达式在运动粘性流体中压强压强项偏应力项流体动力学基础第175页/共204页176作用在流体微团上的力1.体积力设单位质量上的体积力为fx,fy,fz则x方向总的体积力为ρfxdxdydz2.表面力利用Taylor展开，x方向的受力为流体动力学基础第176页/共204页177流入/流出流体微团的动量通量同样利用Taylor展开左边右边考虑到上、下面及前、后面，那么x方向的净通量为流体动力学基础第177页/共204页178流体微团自身的动量随时间的变化动量定理：流体微团动量的变化等于其所受的力同样可推导y,z方向的动量方程流体动力学基础第1