流体力学的发展

流体力学的发展第1页/共59页§118世纪的流体力学1.1马略特在流体力学的工作

1.2伯努利定律1．3

欧拉的理想流体力学运动方程第2页/共59页1.1马略特在流体力学的工作马略特（EdméMariotte,1620－1684）是一位法国的传教士，他是惠更斯的好朋友，也是法国科学院最早的院士之一。

在1668年，法国科学院成立了一个以惠更斯、比卡尔（JeanPicard,1620－1682）、马略特等组成的委员会，任务是用实验的方法来验证托里拆利原理。这个题目后来被适当扩充去研究流体流动冲击在平面上的效果。

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1686年，马略特发表了《论水和其他流体的运动》。在这本书中，他论述了：

1．液体与浮体的平衡，

2.讨论了由容器流出的液体射流的摩阻，并且解释了实验与理论的一些差异，

3.给出了一种后来称为马略特瓶的容器的描述，从它流出的流体可以较长时间保持恒速。

4.给出了圆管中流体压强分布规律，讨论了水在管中流动阻力以及喷水高度问题。马略特是第一个研究流体阻力的学者，惠更斯之后，二人几乎同时得到了流体阻力与流速的平方成正比例的结论。

第4页/共59页1．2

伯努利定律丹尼尔·伯努利（DanielBernaulli,1700－1782）是约翰·伯努利的儿子。伯努利家族

中连续几代都有著名的数学家或力学家，这个家族原来居住在荷兰，后来因为信仰新教而被逐出荷兰。1705年全家回到瑞士。他的哥哥也是一位数学家。

第5页/共59页丹尼尔在1738年出版的《流体动力学》中，将力学中的活力守恒原理引入流体力学，给了一个系统的阐述。丹尼尔认为：“我的理论是新的，因为它既讨论压力也讨论流体运动。”即在他的理论中，既讨论平衡也讨论运动。第6页/共59页丹尼尔·伯努利研究的最重要的结果是现今称为的伯努利定理。他利用一个充满流体的容器，下部开一小孔，讨论其活力守恒，最后得到随着流体的速度增加，其压力减小的结论，也就是式中v为孔口流速，h为液面距孔口的高度，g为重力加速度。从这个公式，可以得到托里拆利定理，即。第7页/共59页伯努利定律的发现值得一说的是，丹尼尔伯努利研究流体的管道流动最初是从研究血液的流速和血压的关系开始的。1628年英国学者哈维发表了关于血液循环的巨著《心血运动》（OntheMovementofHeartandBloodinAnimals）发现了血液循环。丹尼尔伯努利既然在学校里学了医，他深深被哈维的发现所吸引。他认为血液在血管中流动，就有流动速度，心脏既然是一个血泵，就一定有压力。于是血管内的血液流速和压强也应当存在一定的关系。

第8页/共59页他设计的测量血压的方法，是把一根很细的玻璃管CR插入病人的动脉中，并且使它保持垂直。管上读出血液的高度CT的压强就相当于该处的血压。同样，当血压为负压时，用铅直向

下插入动脉血管的玻璃管cr也可以得到血压值，血液高度ct对应的压强，也就是血压的负压值。伯努利当时和欧拉都在研究用这种方法测量病人的血压。每次测量血压都要刺破血管。尽管这样，这种测量血压的方法，在伯努利之后还是应用了达170年之久。一直到1896年，一位意大利的医生茹齐（Riva.Rocci，1863-1937）发明了应用到现在的血压计，伯努利的测量血压的方法才被淘汰。第9页/共59页1．3

欧拉的理想流体力学运动方程1755年，欧拉在柏林工作时导出了流体平衡与运动方程。首先欧拉给出了质量守恒方程，令q为流体的密度则有这里u,v,w为速度分量。当流体为不可压时，即有，这时有

第10页/共59页由于流体在一点的加速度为此处为速度向量。这时，欧拉的流体运动方程可以写为第11页/共59页拉格朗日对欧拉的工作评价很高，他说：“欧拉的发现，使全部流体力学问题归结于数学分析问题。而一旦方程可以积分，则对所有外力、所有外部环境之下的流动性质就可以被确定。可惜求解它是十分困难的，至今只有在十分特殊情形是成功的。”值得注意的是，欧拉在处理流体运动时，采用考察空间固定位置的微团变化。这种观点在后来200年中，在处理变形体力学时一直被称为欧拉观点，或欧拉方法。它区别于把目光跟定一个运动的物质微团的方法，这后一种方法也称为拉格朗日观点，或拉格朗日方法。

第12页/共59页§2黏性流体力学早期的

实验研究2．1玻尔达的阻力实验

2．2玻素等的水力学实验

2.3水洞与风洞实验第13页/共59页17世纪初期，在流体力学上虽然已经有不少工作，但是理论与实际始终遇到令人失望的矛盾。原因是早期流体力学的工作都是基于流体是由一些基本的小粒子组成的，而这些小微粒之间只有碰撞。这样不论是牛顿、帕斯卡、托里拆利、马略特的早期研究结果，还是伯努利与欧拉的稍晚的工作都是以没有摩阻的流体为前提。为了解决这一问题。也为了适应造船工作的需要，一些实验工作便开展了起来，早期的实验工作主要在法国。

第14页/共59页最早的有记载的测空气阻力的实验是在若宾（BenjaminRobins,1707－1751）所设计的悬臂机上进行的。这种悬臂机，使用了很长的时期，不过它有一个缺点，就是当悬臂旋转了一些时间之后，空气或水会随着悬臂一同旋转，这样会使实验的精度大受影响。若宾是牛顿的热情拥护者，除了设计悬臂机之外，他的重要贡献是利用能量守恒原理，设计了测量子弹速度的摆锤。这个悬挂的锤是用沙袋做的，当子弹打进沙袋时，测量沙袋的摆动高度就可以算出子弹的速度。

第15页/共59页第16页/共59页玻尔达（Jean-CharlesBorda,1733－1799）是法国人，大学毕业之后长期在海军工作。在整个18世纪内他是一位恢复实验传统与将实验与实际应用相结合的代表人物。他改进了不少航海与大地测量仪表，设计了标准秒摆。

第17页/共59页玻尔达于1763年进行了流体阻力实验。他先做空气阻力实验，他的装置如图所示，他用重物驱动飞轮并且得到等速转动阶段。他得到的结论是：1．空气的总阻力没有办法通过各部件的阻力之和得到，因为整个圆的阻力不是两个半圆阻力之和。（这一点非常重要，它表明阻力不符合叠加原理）2.合阻力与速度的平方成正比，与板的倾角的正弦成正比。

第18页/共59页后来他对水做了实验。他企图去验证由空气得到的阻力与速度平方成比例的结论。1767年他发表了论文专门讨论了这一问题。他验证了阻力是非常精确地与速度的平方成正比。之后他定量地研究阻力。他得出半球的阻力（当半球的凹面向前）是全球阻力的2.5倍，而按牛顿的理论应当是2倍。这里有着明显的差异。由此出发他引进了体形系数的概念。即阻力，此处即为体形系数。他还研究了水的深度对阻力的影响，他得到阻力随水深的增加而减小的规律。

第19页/共59页2．2玻素等的水力学实验

在1775年，法国科学院接受了经济学家与哲学家图尔葛（Anne-Robert-JacquesTurgot,1727－1781）的建议，去做一项“为了航海事业的研究”。为此组织了一个委员会，从1775年7月到9月间工作，其成员是百科全书派的主将达朗贝尔，与他共事多年的数学家与应用数学家侯爵康多尔瑟（Marie-Jean-Antoine-NicolasCaritat,MarquisdeCondorcet,1743－1794）以及修道院长玻素（CharlesBossut,1730－1814）等。委员会由玻素担任秘书。他们得到了当时的军事学校的合作，特别是当时在该校执教的拉格朗日与校长蒙日（GaspardMonge,1746－1818）等数学家的合作。第20页/共59页该实验是在军事学校院内的一个湖的，玻素是报告的起草人。1777年提交了报告《关于流体阻力的新经验》。他们采用的方法是测量由已知力牵引通过水池的船模所获得的速度。每次是通过系于绳一端下落的重物提供动力，绳的另一端通过75英尺高杆上的滑轮以及杆下的滑轮后与船模首部相连。重物下落时，船模沿湖前进，湖的尺寸为100f50f。最深处为6f左右。沿池长的边上每5f有一标志，这就是最早的试验船池。

玻素的试验船池示意图第21页/共59页他们对大约20种不同的船型进行试验，试验时对滑轮的摩擦力进行了修正，而且在船池中与别的沟渠中反复进行。实验结果充分肯定了阻力与速度的平方成正比的结论。但阻力增加的速率比理论值略高。当时解释是船头水平面略向上涨，当速度增加时上涨的幅度也增大。为了修正这一因素，当船达到稳定速度后，立即记下上涨的高度。同时他们还分别考虑了速度相等，而表面不等的物体所受阻力的情况。

第22页/共59页他们得到：1．浸没在水中的表面深度相等而宽度不等时，发现阻力增加速率稍稍大于表面增加的速率。2．当表面宽度相等而深度不等时，阻力的增加速率小于表面的增加速率。他们将上涨效应考虑进来以后，各种差异便得到了解释。比较各种船头的结果，发现当船头变尖时，“正弦平方律”越来越不对。而且发现船尾尖时阻力小。在沟渠中实验，平方规律仍然成立，但比开阔水域的阻力大。同时得到：“一个平面段在无界流体中以速度v沿其法线运动，阻力等于这种流体一个柱体的重量，柱底为平面段，高为流体达到v时的高度。”第23页/共59页1775年他们三个人的这些结果发表后，引起了迪比阿（Pierre-Louis-GeorgesDuBuat,1734－1809）的更细致的研究。迪比阿在17岁时就被聘为一名军事工程师。他写了《水力学原理》一书，书中包含了：1．水在沟渠中与管中匀速运动定律；2．液体射流柱的碰撞；3．各种形状的固体所受阻力及压力分布；4．摆在媒质中振动时伴生的效应；书中列举了200多种截面的阻力。他的这些工作开辟了明渠流动的实验研究方向。他为了研究落体中某一位置的压力，发明了一种钻孔的盒子，盒子的中心部分可以放置一根伸出水面的压力计以量测那地方的压力。

第24页/共59页2.3水洞与风洞实验

随着造船事业的发展,提出了一些新问题。1894年，英国制造的小型驱逐舰“勇敢号”初试航时，螺旋桨的转速只能达到384转，比设计的额定转速低了1.54%。几经调试，还是不行，直到1897年，总工程师Barnaby才在造船工程师会上发表论文说明最初成绩不良是由于螺旋桨发生了空泡现象。过了20年，1915年，英制的新鱼雷艇“德林”号驶入大西洋试航。它的设计速度比前一型号大一倍。但是当舰艇机器以最大转速工作时，艇尾抖动，尾部的海水泡沫翻腾，速度并没有超过前一型号。当鱼雷艇回到基地时，螺旋桨已破烂不堪了。这又是空泡在捣乱。

第25页/共59页为了研究空泡产生的机理及其作用，1895年，英国建造了专门研究空泡问题的小型水洞。随后在本世纪20－30年代，英、德、法、苏、美等国相继建造了较大型的空泡水洞。同时也开展了理论研究。1917年英国学者瑞利，首先计算了不可压流体中球形空泡闭合时，可以在中心造成无穷大的压强。后来不断有关于空泡问题的研究结果。之后人们建造水洞不仅用于研究空泡，而且还用于研究水下物体的阻力、尾涡等问题。

第26页/共59页最早设计与建造实验风洞的是英国人温翰姆（FrancisHerbertWenham，1824－1880)，他是英国航空学会创始人之一。他在1871年设计建造了一个风洞。1884年另外一个英国人菲里普（HiratioPhllips，1845－1912)又建造了一座改进的风洞。1902年茹可夫斯基（NikolaiE.Joukowski,1847－1921）在莫斯科大学建造了一座直径2f的风洞。之后随着航空事业的发展各国都先后建造了许多大型风洞。

第27页/共59页§3纳维――斯托克斯方程

3．1纳维的研究

3.2斯托克斯的工作

第28页/共59页流体力学一般方程的建立是在19世纪上半叶的事。我们在这一节简要介绍它的建立的过程。纳维(Navier,claude-Louis-Marie-Henri1785,2,15—1836,8,21)少年丧父，随外祖父长大。其外祖父是一位法国著名的工程师。1802年纳维考入巴黎综合工科学校，曾受教于著名的数学家傅里叶(Fourier),并成为后者的忘年交。1804年纳维考入巴黎桥梁道路学院并于1806年以优异的成绩毕业。

第29页/共59页在牛顿建立了质点运动方程之后，纳维是探求连续介质的严格方程组的开拓者，在他之前的工作，一般来说都没有考虑流体的黏性。纳维的贡献主要在于建立流体力学与弹性力学方程。他在固体力学上的贡献我们将在下一章介绍。纳维的1822年的论文主要是为了解决实验结果与理论结果不相符合的矛盾。他相信以流体运动中包含分子的作用可以解释这一矛盾。他处理了不可压缩流体。他认定流体运动时分子之间的冲击作用会增加或消失，是由于与速度成比例的分子间的会合或分开的过程所造成的。

第30页/共59页3.2斯托克斯的工作

斯托克斯（GeorgeGabrielStokes,1819－1903）是英国的数学家、力学家、物理学家。他的父亲是一位牧师，他是8个孩子中最小的一个。1841年他毕业于剑桥大学，他的数学总是全班第一。从1849年起在剑桥大学担任卢卡斯讲座教授，1851年当选为英国皇家学会会员1854年任学会秘书，1885－1890任学会主席。他是继牛顿之后担任过这三个职务的第二人。

第31页/共59页斯托克斯在积分学中提出了重积分的斯托克斯公式，在在光学、弹性力学等方面都作过工作。他最重要的工作是在1845年，导出了与纳维相同的黏性流体运动方程。他的推导方式与纳维不同，是从连续的模型出发，得到的黏性流体运动方程带有两个常数。他和纳维得到的方程被后人称为纳维――斯托克斯方程。

第32页/共59页他得到的方程是如果流体是可压的，则还应当有表征与之间关系的一个常数。利用这个常数可以消去。如果流体是不可压的，则应将此方程与连续性方程联合求解。第33页/共59页后来在1851年，斯托克斯推出计算一个小球在黏性流体中运动阻力的公式，即阻力式中为黏性系数，为小球的半径，为小球的速度。这个公式可以应用于计算在重力作用下自由降落时最终速度，也可以用于用实验的方法来确定流体的黏性系数。第34页/共59页关于黏性系数的问题可以追溯到牛顿的《自然哲学的数学原理》。在该书的第三篇第九章《流体的圆形运动》的一开头，给出了一条假设说：“由于流体各部分之间缺乏滑润性而产生的阻力在其他情况相同时与流体各部分彼此分开的速度成正比例。”斯托克斯在推导黏性流体运动方程时，引进了流体剪应力与剪应变速度成正比例的关系。这个关系就是牛顿上述假设的更准确的具体表示。所以后人将这种流体称为牛顿流体，以区别于那种剪应力与剪应变速度不是线性关系的流体。后者也称为非牛顿流体。

第35页/共59页1839年哈根（G.H.L.Hagen，1840－1841）、1840年法国力学家泊萧叶（JeanLeonardMariePoiseuille,1797－1869）分别发表了关于管道中流动的实验结果与得到的流动速度分布公式。这个公式是纳维――斯托克斯方程的解。这个解有很多应用，后人也称为哈根――泊萧叶解。这个解是距管心为r处流体的速度式中为沿管长的压力降R为管的半径。从式中可以看出，在管的截面上速度是按照抛物线分布的。第36页/共59页兰姆（HoraceLamb,1849－1934）是英国力学家，伦敦大学土木与机械工程的教授。他在板壳理论方面做过一些研究工作，他最重要的工作是1878年的巨著《流体运动的数学理论》在1895年增订再版，改名为《水动力学》。这本书是至19世纪为止经典流体力学方面成果的总结，至今仍有重要的参考价值。

第37页/共59页§4流体力学若干重要问题的研究进展

4．1气体状态方程的研究

4．2空气动力学的发展4．3雷诺及雷诺数

4．4弹道学的研究4．5马赫在气体力学上的工作

第38页/共59页4．1气体状态方程的研究19世纪的前半叶，纳维――斯托克斯方程已经建立。之后在实验与求解方面有重要的进展，这一节我们举一些最重要的结果。早期关于空气的弹性性质的研究是从英国科学家波意尔(RobertBoyle,1627－1691)开始的。他在1660年发表了著作《关于空气的弹性及其效应的物理力学实验》（ExperimentsPhysico-Mechanical,TouchingtheSpringofAiranditsEffects），书中介绍了利用一个空气泵进行的一系列精细的实验，并且证明了声音在真空中不能传播、托里拆利大气实验是与空气有关、生命与燃烧现象是依赖于空气的、空气具有弹性性质等重要结论。两年后1662年在这本书的第二版中，波意尔把上述空气的弹性性质更加精确化为：空气的体积变化与压力成反比。这就是后人称为的波意尔定律。第39页/共59页在波意尔的工作中，还没有注意到气体的体积与温度的关系，直到1802年，法国学者盖·吕萨克（JosephLouisGay-Lussac,1778－1850）进行了一系列实验说明温度与气体密度的关系。他本来是要了解气体吸收的热与气体内部的热的关系，结果得到了在体积不变时，气体的压力与温度成正比的结论。这就是后人称为的理想气体的状态方程。盖·吕萨克是法国综合工业学校毕业的。关于气体的绝热膨胀的研究是泊松弄清楚的，他给出了气体绝热膨胀时体积与压力的关系，后来拉普拉斯利用这个结果改正了牛顿计算声速的错误，得到了正确计算声速的公式。第40页/共59页4．2空气动力学的发展

1878年，英国人瑞利（LordRayleigh,1842－1919）研究了绕一个圆柱体的流动问题。他发现如果在平行流之外，加上一个环行流动则会产生一个垂直于原来流动方向的作用力。同时，19世纪由于炮弹的旋转效应，炮兵们已经熟知的以一位德国学者叫马格努斯命名的效应就是这个现象。现在看来，打乒乓球、网球、高尔夫球在球旋转时也能遇到类似的现象。如何利用与深入研究这一现象却孕育着现代空气动力学，成为近代航空工业的理论基础。

第41页/共59页瑞利

LordRayleigh

1842－1919

第42页/共59页关于马格努斯（HeinrichGustavMagnus,1802－1870），值得顺便介绍一下。他是德国人，在物理、化学、力学方面都做过重要的工作。他对气体的热膨胀、液体的沸腾、蒸汽的形成、热电效应、光学、磁学以及流体力学都有贡献。他又是我们前面提到的亥姆霍兹的老师。由于他的家庭比较富有，他自费购买实验设备供年轻人研究。他的热情与友善使在他周围吸引了一群有为的青年学者。后来形成了柏林物理学协会。

第43页/共59页后来大约在上世纪末和本世纪初，有三个人同时独立地研究了这个空气运动产生的升力问题。他们是：茹可夫斯基（НиколайЕгоровичЖуковский,1847－1921）,俄国的力学家

兰彻斯特（FriderickWilliamLanchester,1868－1946）,英国的著名工程师库塔（M.WihelmKutta,1867－1944）,德国的数学家

第44页/共59页茹可夫斯基（НиколайЕгоровичЖуковский,1847－1921）是俄国的力学家，先在俄国、后来到法国巴黎接受教育。1872年担任莫斯科技术学院的力学教授，1876年获硕士学位，1882年获博士学位，1866年到莫斯科大学当力学教授。

第45页/共59页由于他有深厚的数学基础，1902年建成莫斯科大学的风洞，1902－1909年之间他独立地建立了升力的理论基础。这个理论将机翼看为无限长的柱体，只要讨论它的一个截面便可以了，因之也称为二元机翼理论。茹可夫斯基把空气看为理想的无黏性流体的无旋的位势流动，即流体的每个微团在运动时都不产生旋转，而且两个速度分量是一个函数对坐标变量的导数。在这种情形，求解流动的速度场的问题可以化归为求解平面上的拉普拉斯方程的问题。

第46页/共59页而拉普拉斯方程的解又可以看为一个复变函数的实部或虚部。茹可夫斯基巧妙地引进一个复数变换即这个函数将z平面上的单位圆变换到w平面上的机翼形状。这个变换后人也称为茹可夫斯基变换。有了这个变换，绕机翼的流场便可以化归于绕圆柱的流的问题。而后者在简单的贴近柱面有环流量的情况是很容易求解的。最后茹可夫斯基得到机翼的升力计算公式为，其中U为无穷远处的来流速度，为流体的密度。第47页/共59页由于他的这些工作，被誉为“俄罗斯航空之父”。茹可夫斯基有许多著作问世：《液体动力学》（1876）、《飞鸟降落》（1891）、《机翼螺旋桨》（1898）、《飞机稳定性基本理论》（1920）、《推进螺旋桨涡流理论》等。

第48页/共59页兰彻斯特（FriderickWilliamLanchester,1868－1946）是英国的著名工程师，也是1899年成立的英国兰彻斯特汽车公司的总工程师与总经理。1894年，他关于升力的涡旋理论被认为是升力理论最早的结果。在1907－1908年他写成了《飞行（AerialFlight）》一书在人类的航空史上有一定影响。库塔（M.WihelmKutta,1867－1944）是德国的数学家，以求解常微分方程的龙格－库塔方法而出名。由于他曾经关心过滑翔试验，所以对升力问题产生了兴趣。在1902年就这个问题发表过一篇文章。第49页/共59页4．3雷诺及雷诺数

雷诺（OsborneReynolds,1842－1912）是英国著名的力学家、物理学家、工程师。1867年毕业于剑桥大学王后学院。1868年任英国曼彻斯特大学的教授。1877年成为英国皇家学会会员。

第50页/共59页雷诺在流体力学上最重要的贡献是发现了黏性流体流动的相似律。他引入了一个常数，这个常数后来被德国物理学家索墨菲（ArnoldSommerfeld,1868－1951）于1908年提议称为雷诺数，式中为流体的密度，为黏性系数，U为流速，L为特征长度，称为运动黏度。雷诺数是一个无量纲数，对于几何相似的流动，只要雷诺数相同，则流动相似。早在1851年，斯托克斯已经注意到这个数的重要性。1883年雷诺通过管道中的流动实验发现，在适当的雷诺数之下，管道中的流动总是从层流转变为湍流。说明这个数的重要性。第51页/共59页4．4弹道学的研究抛体的自由运动最早是伽利略研究的，伽利略当时已经注意到球体在以较小的速度运动时，阻力与速度的一次方成比例。欧拉1736年出版了他的《力学或运动科学的分析解说》（两卷本），其中第一卷是关于质点在真空中和有阻尼的介质中的自由运动，是关于弹道研究的早期的系统论述。在1745年欧拉又出版了他的著作《炮兵新原理》，其中包含了关于运动物体所受的空气阻力的两个结论：其一是物体在理想流体中飞行时，没有阻力，这个结论是不正确的，后来一般地被