线性代数行列式的展开计算

线性代数行列式的展开计算第1页，共57页，2023年，2月20日，星期二第2页，共57页，2023年，2月20日，星期二决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是,如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解第3页，共57页，2023年，2月20日，星期二第三节行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结第4页，共57页，2023年，2月20日，星期二例如一、余子式与代数余子式第5页，共57页，2023年，2月20日，星期二启示:三阶行列式可按第一行“展开”.对式适当重新组合,易见该三阶行列式也可按第一列“展开”.第6页，共57页，2023年，2月20日，星期二余子式和代数余子式Aij

叫做元素aij

的代数余子式.定义

在n

阶行列式中,把元素aij

所在的第i

行和第

j

列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij;Aij=(–1)i+jMij,记第7页，共57页，2023年，2月20日，星期二在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第8页，共57页，2023年，2月20日，星期二第9页，共57页，2023年，2月20日，星期二引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第10页，共57页，2023年，2月20日，星期二定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行（列）展开法则这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.第11页，共57页，2023年，2月20日，星期二证明第12页，共57页，2023年，2月20日，星期二例1计算行列式解按第二行展开，得第13页，共57页，2023年，2月20日，星期二例2试按第三列展开计算行列式解将按第三列展开,则有其中第14页，共57页，2023年，2月20日，星期二解其中所以第15页，共57页，2023年，2月20日，星期二例3第16页，共57页，2023年，2月20日，星期二第17页，共57页，2023年，2月20日，星期二例4计算行列式解第18页，共57页，2023年，2月20日，星期二第19页，共57页，2023年，2月20日，星期二例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1第20页，共57页，2023年，2月20日，星期二证明对

n

作归纳法.当n=2时，结论成立.设对于n–1阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看

n阶的情形.在n阶范德蒙德行列式中，第n

行减去第n–1行的a1

倍，第n–1行减去第

n–2行的a1

倍.也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1

倍，有第21页，共57页，2023年，2月20日，星期二按第1列展开，并把列的公因子(ai–a1)提出，得第22页，共57页，2023年，2月20日，星期二上式右端行列式是n–1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(ai–aj)因子的乘积，其中2≤

j<i

≤

n.故证毕第23页，共57页，2023年，2月20日，星期二例6计算解第24页，共57页，2023年，2月20日，星期二推论

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn

=0,i

j

,或

a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.第25页，共57页，2023年，2月20日，星期二有关于代数余子式的重要性质：或其中第26页，共57页，2023年，2月20日，星期二例取第一行元素第27页，共57页，2023年，2月20日，星期二思考第四行各元素余子式之和为分析以表示中元素的余子式，则有第28页，共57页，2023年，2月20日，星期二1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

三、小结第29页，共57页，2023年，2月20日，星期二1.

直接用定义公式计算;

2.

利用性质化为三角行列式;

3.

利用展开式定理降阶.到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式.行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能.行列式有以下三种计算方法:第30页，共57页，2023年，2月20日，星期二行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.

行列式的计算在这三种方法中,方法1

主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2

适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算;方法3

主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.当然在计算一个下面看几个例子.第31页，共57页，2023年，2月20日，星期二

下面举几个n

阶行列式计算的例子.

例设证明递推关系式

Dn

=nDn-1-

n-1n-1Dn-2(n>2).第32页，共57页，2023年，2月20日，星期二按Dn

的第n

列展开,

得证明第33页，共57页，2023年，2月20日，星期二展开,即为上式中n

的代数余子式是与Dn

同类型的n-1阶行列式Dn-1

,而对n-1

的余子式按第n-1行第34页，共57页，2023年，2月20日，星期二

n-1Dn-2

,

至此我们得到Dn

=nDn-1-n-1n-1Dn-2

.

证毕关系式在计算数学中常被引用.Dn

是常见的n

阶三对角行列式,所证的递推第35页，共57页，2023年，2月20日，星期二

例计算n

阶行列式第36页，共57页，2023年，2月20日，星期二=D1+(n-1)=n+1.这是一个三对角行列式,

在这里i

=2,i

=i

=1(

i=1,2,···,n),由果可得

Dn=2Dn-1

-

Dn-2.适当移项可得关于Dn

的递推关系式Dn

-

Dn-1=Dn-1

-

Dn-2=Dn-2

-

Dn-3=···=D2

-

D1.因

D2=4-1=3,D1=2,D2

-

D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···

的结解第37页，共57页，2023年，2月20日，星期二第四节Cramer法则一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、Cramer法则三、小结第38页，共57页，2023年，2月20日，星期二设线性方程组则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、齐次与非齐次线性方程组的概念第39页，共57页，2023年，2月20日，星期二二、Cramer法则定理1

如果线性方程组的系数行列式不等于零，即第40页，共57页，2023年，2月20日，星期二其中Di是把系数行列式D中第i

列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为第41页，共57页，2023年，2月20日，星期二例1

用Cramer法则解方程组解:第42页，共57页，2023年，2月20日，星期二第43页，共57页，2023年，2月20日，星期二89-50第44页，共57页，2023年，2月20日，星期二第45页，共57页，2023年，2月20日，星期二程的个数与未知量的个数不等时,

就不能用克拉通过上述例子,

我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n

阶行列式,这个计算量是相当大的,

所以,

在具体求解线性方程组时,

很少用克拉默法则.另外,

当方程组中方默法则求解.第46页，共57页，2023年，2月20日，星期二但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,

并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.第47页，共57页，2023年，2月20日，星期二

定理1

如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理.式D

0,

则(1)一定有解,

且解是唯一的.二、线性方程组有解的条件定理1

的逆否定理为:定理1′如果线性方程组(1)

无解或有无穷个不同的解,则它的系数行列式必为零.的系数行列第48页，共57页，2023年，2月20日，星期二全为零时,

线性方程组(1)叫做齐次线性方程组.线性方程组b1

,

b2

,

···

,

bn不全为零时,线性方程组(1)

叫做非齐次线性方程组;当b1

,

b2

,

···

,

bn

右端的常数项第49页，共57页，2023年，2月20日，星期二对于齐次线性方程组(2)x1=x2=···=xn=0

一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组(2)

的零解.第50页，共57页，2023年，2月20日，星期二

定理2′如果齐次线性方程组(2)有非零如果一组不全为零的数是做齐次线性方程组(2)的非零解.

齐次线性方程组(2)一定有零解,但不一定有非零解.对于齐次线性方程组(2)

有以下定理.

定理2

如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D

0,则齐次线性方程组(2)没有非零解.解,则它的系数行列式必为零.的解,则它叫第51页，共57页，2023年，2月20日，星期二例2

问取何值时，齐次方程组有非零解？解第52页，共57页，2023年，2月20日，星期二齐次方程组有非零解，则所以