线性代数第四讲特征值和特征商量

线性代数第四讲特征值和特征商量第1页，共53页，2023年，2月20日，星期二教材：线性代数（赵树嫄主编）

作业P---198（A）1.(2),(5),2,3,5,6,

8,9,13,14作业P---200（B）

1,2,7,8.第2页，共53页，2023年，2月20日，星期二4.1方阵的特征值和特征向量第3页，共53页，2023年，2月20日，星期二

引言：用矩阵来分析经济现象和计算经济问题时，经常需要讨论矩阵的特征值、特征向量。因此，本章将进一步讨论方阵的内在性质，介绍矩阵特征值的有关理论，讨论矩阵在相似意义下化为对角矩阵的问题。加深对矩阵的认识和理解，以便更好地使用矩阵解决线性代数中的问题。第4页，共53页，2023年，2月20日，星期二非零向量称为A的对应于特征值的特一.矩阵的特征值和特征向量

定义1

设A是n阶矩阵，如果有数和n成立，则称数为矩阵A的特征值(eigenvalue)维非零列向量，使关系式（1）征向量(eigenvector)。第5页，共53页，2023年，2月20日，星期二注意：3.零矩阵的特征值只能是数0第6页，共53页，2023年，2月20日，星期二也是A的对应于特征值的矩阵A的特征向量的基本性质是矩阵A的属于特征值若向量的特征向量，则性质1是非零向量，并且特征向量。第7页，共53页，2023年，2月20日，星期二说明第8页，共53页，2023年，2月20日，星期二也是A的对应于特征值的都是矩阵A的属于若向量特征值的特征向量，且性质2则特征向量。第9页，共53页，2023年，2月20日，星期二也是A的对应于特征值的特征向量。都是矩阵A是一组数，且若向量的属于特征值的特征向量，性质3则第10页，共53页，2023年，2月20日，星期二系数行列式如何求出矩阵A的特征值和特征向量？由表明是n元齐次线性方程组，改写为的非零解n元齐次线性方程组有非零解第11页，共53页，2023年，2月20日，星期二而是关于的n次多项式。一定有n个根。（k重根算作k个根），所以在复数范围内它第12页，共53页，2023年，2月20日，星期二从一元n次方程n元齐次线性方程组的非零解，就是A的关于

的特征向量中解出的，便是A的特征值，相应的给出如下定义：第13页，共53页，2023年，2月20日，星期二（4）特征方程（5）方程组称为A的关于的特征向量（1）称为A的特征多项式（2）（3）称为A的特征方程称为A的特征矩阵的解.称为A的特征值（特征根）的非零解向量第14页，共53页，2023年，2月20日，星期二求n阶方阵A的特征值和特征向量的步骤（1）求特征方程的全部根，它们就是A的所有特征值。第15页，共53页，2023年，2月20日，星期二（2）对于A的每一个特征值，求解齐次线性方程组设它的一个基础解系为则A的关于的全部特征向量为其中是不全为零的任意数第16页，共53页，2023年，2月20日，星期二第17页，共53页，2023年，2月20日，星期二得同解方程组为第18页，共53页，2023年，2月20日，星期二第19页，共53页，2023年，2月20日，星期二得同解方程组为第20页，共53页，2023年，2月20日，星期二第21页，共53页，2023年，2月20日，星期二的特征值和特征向量练习1

求矩阵解第22页，共53页，2023年，2月20日，星期二所以A的特征值为第23页，共53页，2023年，2月20日，星期二当时，解方程组得同解方程组为第24页，共53页，2023年，2月20日，星期二第25页，共53页，2023年，2月20日，星期二当时，解方程得基础解系第26页，共53页，2023年，2月20日，星期二第27页，共53页，2023年，2月20日，星期二二.有关特征值与特征向量几个重要结论定理1

方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值注意：虽然A与AT有相同的特征值，但特征向量却不一定相同第28页，共53页，2023年，2月20日，星期二的n个特征值是n阶方阵定理2

设（1）（2）推论n阶方阵A可逆A的n个特征值都不为零。第29页，共53页，2023年，2月20日，星期二的特征值，且设是矩阵A的特征值，仍为则是A的属于的特征向量.定理3的特征向量.是方阵的属于第30页，共53页，2023年，2月20日，星期二仍为A*的属于若方阵A可逆，且的特征向量。则结论是A-1的特征值，且仍为A-1的属于是A*的特征值，且的特征向量第31页，共53页，2023年，2月20日，星期二两个特征值为设3阶方阵例2且，已知A的，求A+I

的行列式。解设A的第三个特征值为则由定理3知第32页，共53页，2023年，2月20日，星期二即矩阵A+I的特征值为（+1）即分别为第33页，共53页，2023年，2月20日，星期二设A为3阶方阵且已知

练习2则第34页，共53页，2023年，2月20日，星期二已知解故即，A可逆。的特征值为第35页，共53页，2023年，2月20日，星期二的特征值为即，第36页，共53页，2023年，2月20日，星期二的s个不同的特征值.是n阶方阵定理6

设是A的分别属于则线性无关的特征向量，第37页，共53页，2023年，2月20日，星期二的m个互不相同的特征值.是n阶方阵定理7

设是矩阵A的属于特征值则向量组线性无关的线性无关的特征向量，第38页，共53页，2023年，2月20日，星期二定理8设是矩阵A的k重特征值，则A的属于的线性无关的特征向量至多有k个。结论：（2）一个n阶方阵最多有n个线性（1）如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A有n个线性无关的特征向量无关的特征向量第39页，共53页，2023年，2月20日，星期二k及特征向量所对应的特征值例3设向量是矩阵的逆矩阵的一个特征向量，试确定常数第40页，共53页，2023年，2月20日，星期二即

用A左乘上式两边，有解设即得第41页，共53页，2023年，2月20日，星期二得即故第42页，共53页，2023年，2月20日，星期二例4

设矩阵其行列式|A|=-1，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于一个特征向量为试确定a,b,c和的值第43页，共53页，2023年，2月20日，星期二解由于属于特征值的一个特征向量，则用A左乘上式两边，有为第44页，共53页，2023年，2月20日，星期二得或解得第45页，共53页，2023年，2月20日，星期二由|A|=-1，并将b=-3,a=c代入|A|中，得求出=1由第46页，共53页，2023年，2月20日，星期二练习３

设矩阵已知A有特征值求x的值和Ａ的另一个特征值第47页，共53页，2023年，2月20日，星期二而解：第48页，共53页，2023年，2月20日，星期二故解得第49页，共53页，2023年，2月20日，星期二向量所对应的特征值练习４

设是矩阵的一个特征向量，试确定a,b及特征第50页，共53页，2023年，2月20日，星期二即得方程组解

设第51页，共53页，2023