高三直线与圆专题复习题

-5--5-直线与圆专题复习题考点一：直线的方程［考点］1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k］,k2存在，则l1#l2Ok1=k2，l［丄l2Ok1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式两平行直线l1：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0间的距离d=2^］点(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离公式逹年［典例］(1)“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,直线ax+2y=0与直线x+y=1显然平行，若直线ax+2y=0与直线x+y=1平行，由1=2工0，易得a=2.答案：C(2).若点(1,1倒直线xcosa+ysina=2的距离为〃，则d的最大值是.解析：依题意有d=lcosa+sin«—21=1j2sin(a+4)—21,于是当sin(a+n)=—1时，d取得最大值2+竝答案：2+百解题通法求直线方程的2种方法直接法：选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中的系数,写出结果.待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数.［练习］若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,—1),则直线I的斜率为（）TOC\o"1-5"\h\z,1»1a・3b.-3小3“2c.—2d・3解析：由直线l与直线y=1,x=7分别交于点P、Q,可设P(x151),Q(7,y)再由线段PQ的中点坐标为(1,一1)，可解得：X］=—5,,y1=-3•即直线l上有两点P(—5,1),Q(7,—1＋313),代入斜率公式可解得直线l的斜率为k=—一7=—3・答案：B2.直线l1：3x—y+1=0,直线l2过点(1,0),且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为()A.y=6x+1B.y=6(x—1)33C.y=4(x—1)D.y=—4(x—1)解析：设直线l［的倾斜角为a,则由tana=3可求出直线l2的斜率k=tan2a=1=121—tan2a3—4,再由直线l2过点(1,0)即可求得其方程.答案：D考点二：圆的方程［考点］1.圆的标准方程当圆心为(a,b),半径为r时，其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地，当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.圆的一般方程（DE\\Id2+E2—4Fx2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2—4F>0,表示以（一2，—刃为圆心’，2为半径的圆.［典例］(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,-'5)在圆C上，且圆心到直线2x-y=0的距离为警，则圆C的方程为.［解析］因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x2aW5—y=0的距离d=^=~5~，解得a=2,所以圆C的半径r=ICMI=\；4+5=3,所以圆C的方程为(x—2)2+y2=9.［答案］(x—2)2+y2=9(2)已知a^R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．［解析］由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或一1.当a=2时，方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+^=0，配方得(x+j+®+1)2=—4<。，不表示圆；当a=—1时，方程为x2+y2+4x+8y—5=0，配方得(x+2)2+(y+4)2=25，则圆心坐标为(—2，—4)，半径是5.［答案］(—2，—4)5解题通法求圆的方程的2种方法几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．［练习］1.与圆C：x2+y2—2x+4y=0外切于原点，且半径为2诉的圆的标准方程为.解析：所求圆的圆心在直线y=—2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，—2a)(av0)，又因为所求圆与圆C:：2+y2—2x+4y=0外切于原点，且半径为2\；5,所以\'a2+(—2a)2=2応，可得a2=4，则a=—2或a=2(舍去).所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y—4)2=20.答案：(x＋2)2＋(y—4)2=20考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系［考点］

判断直线与圆的位置关系的2种方法代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式力来讨论位置关系：J>0O相交；J=0O相切；J<0O相离；几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dvre相交；d=Y0相切；

d>r相离．［典例］⑴设直线y=x+2a与圆C：x2+y2—2ay—2=0相交于A,B两点，若IABI=^.'3,则圆C的面积为．［解析］圆C：x2+y2—2ay—2=0化为标准方程为x2+(y—a)2=a2+2,所以圆心C(0,a),半径r='ja2+2，因为IABI=2\；3,点C到直线y=x+2a，即x—y+2a=2a=0的距离〃二10^尹=诊解得a2=2,所以r=2,所以圆C的面积为nX22=4n.［答案］4n(2)已知直线l：x—<3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则ICDI=［解析］如图所示,rIC0•直线AB的方程为x—3y+6=0,3:.k=43,AZBPD=30°，从而ZBDP=60°.AB3在RtABOD中，TIOBI=2、T3,・\IODI=2.取AB的中点H，连接OH，则OH丄AB，:.OH为直角梯形ABDC的中位线，・IOCI=IODI，・ICDI=2IODI=2X2=4.［答案］4弦长问题的2种求解方法利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形,结合勾股定理d2+£|2=r2求解;若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2,y2)两点，则IABI=；'1+k2Ix1—x2I.［练习］1.已知直线ax+y—1=0与圆C：(x—1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为()A〒或一1B.—1C.1或一1D.1解析：选C由题意得，圆心(解析：选C由题意得，圆心(1,—a)到直线ax+y—1=0的距离.la—a—11\''2\'1+a22解得a=±1，故选C.2.已知直线l：x+ay—1=0(a^R)是圆C：x2+y2—4x—2y+1=0的对称轴.过点A(—4,a)作圆C的一条切线，切点为B,则lABI=()A.2B.4迈C.6D.2-帀解析：选C由于直线x+ay—1=0是圆C:：2+y2—4x—2y+1=0的对称轴，..圆心C(2,1)在直线x+ay—1=0上，.°.2+a—1=0,.°.a=—1,.°.A(—4,—1),.°.lACb=36+4=40.又r=2,.lABl2=40—4=36..lABl=6.解题通法直线和圆与其他知识的交汇高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新.厂

x+y—2^2三0,［典例］已知不等式组*02迈，表示平面区域◎，过区域Q中的任意一个点P,,W2应作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A,B,当四边形PAOB的面积最小时，cosZAPB的［解析］选B作出平面区域Q［解析］选B作出平面区域Q和单位圆x2+y2=1,l：x+y—2和'2=0,数形结合可得S四边形PAOB=2S^pao=2X!XPAX1=Pa.・•.当P到原点距离最小时，四边形PAOB的面积最小，此时PO丄1,且lPOl=2,故ZAPOn=盲，•：ZAPB解题通法求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想,常见类型有(1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值；(2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题；形如求ax+by,CX^dy等的最值，转化为直线与圆的位置关系.［练习］已知圆q：x2+y2—6x—7=0与圆C2：x2+y2—27=0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为.解析：AB的中垂线即为圆q、圆C2的连心线C］C2,又C/3,0),C2(0,3),C1C2的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0・答案：x