与整数有关的平面几何问题

●数学活动课程讲座(省南陵县实验中学论相结合,是国内外数学竞赛试题中一类常见题型.解这类问题除了应用几何知识和整数的性质(,,质数和合数的性,完全平方数的性质等),

AB=AC.2BE=2AB,知点EAAC⊥ABABC为等腰直角三角形90.a2b1,,△ABC为等腰直角三角形,且∠ACB=90°.(3当a=1,b=32BD=BC数学的思想和方法下面结合例题作介绍

AB=

2B =3,即BE AB,例 在△ABC中,∠B是锐角,AD 边BC上的高,CE是边AB上的高.当2BD AE=BE-BA=1AB=1 2BAB都是整数时,ABC的形状,分析:解这类问题通常是从确定整数的取值范围入手,利用整数的离散性分类讨论为此设2BD=a,2BE=b,先根据已知条件 ab的取值范围,,ab的值

120.△ABC为等腰钝角三角形,120.a3b1,,△ABC为钝角三角形,且∠ACB=120.例 如图1,在矩形ABCD中,DEBGBEC=S矩形ABCD=nBC2 2B S四边形 :BC=a,AB=bab∈N+BRt△ADBAB>BDRt△BCEBC>B所以,0<abab为正整数,ab≤3.当a=b=12BD=BC2BEAB,DEBCAB的中点AD⊥BC,CE⊥ABBC=ACAB=ACABC为等边三角形当a=1,b=22BD=BC收稿日期:2007-12-17修回日期:2008-03-

已知n为正整数为有理数.求证:λ 图正整数分析:n与λ,这可以通过图形获得;再根据质数理论,得到λ为平行四边形.AB=a,BG=xS=S1,SEFGH=SBC=λaGC=λa-x因为Rt△ABGRt△,所以AB=BG. 故(λa-x)x=a21EGS△EFG

EF

ED

1+1+1 S GCλa-于是, 2S 不妨设x≥y≥z.z矩形EFGHλa- zS

+S矩形

+S

=S

, 1=xy+yz+zx≤22S+S矩形EFGH=(λa-x)a x(λa- 由式①得S矩形EFGH =

z3z为正整数,zxy=x+y1即x-1y-1)S矩形

x-1=2

x=3因此n=S矩形EFGH=λ

=λ

y-1=1

y=因为λ,不妨设

ppqq

a3b4c5a2+b2=c2由勾股定理的逆定理知,△ABC 三角形质),,λ,q

q2为既约分数.但q2为正 注1:此题的等价形式是 的三边长为整数且周长的值是因此,λ=p为正整数 注:由n=λ2,n为正整数,λ为有理数 得到λ为正整数是解本题的关键3ABC1三边BCaCA=bAB=cabc都是整数,求证:△ABC为直角三角形.(第三届北方数学邀请赛分析:如何将条件简单而内容丰富的几何问题转化为代数问题,以及转化后的代数问题怎样处理是解决此类问题的难点.为此2:p=1(a+b+c2由S△ABC=p(p-a)(p-b)(p-=pr=

圆半径2,求三角形三边长”是笔者编制的数学问题初140.46、面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存,请证明共有几个.(1994,初中数赛分析:本题可用代数法求解先根据条件列出方程组,再通过解方程组求出三角形的三边长从而,证得满足条件的直角三角形不仅存在,而且唯一.证明:c,两直角边长分别为ab,面积为S.则a≤b<c<a+b a+b+c=6 a2+b2=c2 故p-a)(p-bp-c)=p-a=xp-b=yp-c=z

S=2

ab(整数) xyz=x+y+z即(2x)(2y)(2z)4(2x2y2z).2x2y2z都是整数,42x+2y+2z)是偶,,2x2y2z中至少有一2x2y2z的奇偶性相同,2x2y2z都是偶数.从而xyz都是整数.

由式①有2c<a+b+c=6<3c,得2<c< a+b2=(6-c2,a2+b2+2ab=36-12c+c2c2+4S=36-12c+c2从而,3c=9-S 从而,3c=7或8.a+b=113ab=此方程组无解,故此情况不可能a+b=10若3c=8,则S=1.此时 ab=

a+b=16-l (l-8)2≤0.l8.此时a+b,这样的四边形有如下四个a=1,b=7,l=8;a=2,b=6,l=8a=3,b=5,l=8;a=4,b=4,l=(2在四边形ABCDAC⊥ABACCDAB=a,由(1a53c=83

,b

5+73

CD=8-a,BC2=AB2+AC2=a2+82AD2=CD2+AC2=(8-a)2+82其中a为正整数,1≤a形例 已知四边形ABCD的面积为32ABCDAC的长都是整数且它们的和为这样的四边形有几个(2003,初中数赛分析:注意到四边形ABCD的个数由ABCDAC的长的三元数组的个数来确定.因此,可从确定四边形ABCD的形状入手.:1)2AB=a,CD=b,AC=(abl均为正整数,a≤bABC上的高为ha,△ACD 图DChbS四边形ABCD=S△ABC+S

AB2+BC2+CD2+=a2+(a2+82)+(8-a)2+[(8-a)2+82=4a2-32a+256=4(a-4)2+192,a4(=b上述平方和最小,且最小值为192.例 如图3,⊙O的直径的长是关于x2+2(k-2)x+0k是整数的最大整数根,P外一点,过点P 图⊙O的切线PAPBC,A为切点BC是割线PBC⊙O的交点.PAPBPC的长都是正整,PB的长不是合数,PA2+PB2+PC2分析:先求出直径的值,PB不是合数,分情况进行讨论.:x2+2k-2)x+k=0= ≤1 x1x2,x1>x22aha+2 a+bl x1+x2=-2(k-2),x1x2=kha=hb=l,上式等号成立此时AB∥CD,ABCD为梯形或平行四边形,且AC为它们的高.64≤(a+b)l

2x1x2+x1+x24即(2x1+1)(2x2+1)=9=9×1.x1>x2,2x1192x211x1=4,x2=注意到0<BC≤4,且PAPBPC为 60,周长比等于相似比,即为a=11.,BC=PC-PB为正整数.所以,BC=1,2,3,4.PA2=PB·PC=PB(PB+BC) PA2=PB2+PB于是,PB2<PA2<(PB+1)2,PA2=PB2+2PB于是,PB2<PA2<(PB+1)2,

5,ABC的各边长均为自然数,且AB的长度和AC的长度互质△ABC的外接圆过A的切线交BC的延长线于点D.ADCD的长度都是有理数,但不是整数.(1994,澳大利亚初中数学)(提示:BC=aAC=bAB=cPA2=PB2+3PB )

AD

c2-

,CD

.c2- PA- PA+PB=3PBPB不是合数而PA-PB<PA

EFGH内接于PA-PB=1,PA+PB=3PB;PA-PB=PB,PA+PB=PA2PB

PA-PB=3PA+PB=PB

BC=ab个两位数),EF=cAD=已知abcd恰 图是从小到大的四个连续正整数ABC此时,PC=PB+BC13所以PA2+PB2+PC2

面积(1997,省初中数学竞赛)提示:b=a+1,c

ab×dab+PA2=PB2+4PB (10a+a+1)(a+于是PB12<PB24PB=

10a+a1+a3=a2a1a<(PB+2)2

5.于是

24224.综上所述PA2+PB2+PC21.如图4,=90°CD是高.已知整数,BD113△BCD与Rt△ACD 图周长之比(2002,初中数学竞赛(提示设BC=a,CA=b,AB=ca2113cc11k2.a112kbk·k2-112k2-112=m2.得k61

已知一个直角梯形的上底是3