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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.已知是双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线的两支分别交于两点(A在右支,B在左支)若为等边三角形,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知集合,则为()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在,内的学生人数为()A.800 B.1000 C.1200 D.16006.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲7.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.8.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格9.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以倍的塔高,恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度约为A. B.C. D.10.函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象()A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位11.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.12.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在长方体中,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.14.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.15.在平面直角坐标系中,点的坐标为,点是直线:上位于第一象限内的一点.已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为,则点的坐标__________.16.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了”.丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的导函数的两个零点为和.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.18.(12分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.19.(12分)已知函数(1)已知直线:,:.若直线与关于对称,又函数在处的切线与垂直,求实数的值;(2)若函数,则当,时,求证:①;②.20.(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.(1)求椭圆的方程;(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.21.(12分)如图,四边形为菱形,为与的交点,平面.(1)证明:平面平面;(2)若,,三棱锥的体积为,求菱形的边长.22.(10分)求下列函数的导数:(1)(2)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设过点作圆的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.【详解】设过点作圆的切线的切点为,,所以是中点,,,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.2、D【解析】
根据双曲线的定义可得的边长为,然后在中应用余弦定理得的等式,从而求得离心率.【详解】由题意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示,然后用余弦定理建立关系式.3、C【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可.【详解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b⇒logab<1,logab<1⇒a>b,∴a>b是logab<1的充分必要条件,故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键.4、B【解析】
先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.5、B【解析】
由图可列方程算得a,然后求出成绩在内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1,得,解得,所以成绩在内的频率,所以成绩在内的学生人数.故选:B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用,属基础题.6、D【解析】
根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.7、B【解析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.8、D【解析】
先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.9、D【解析】
设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以,该金字塔的侧棱长为,所以需要灯带的总长度约为,故选D.10、C【解析】
根据正弦型函数的图象得到,结合图像变换知识得到答案.【详解】由图象知:,∴.又时函数值最大,所以.又,∴,从而,,只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象,故选C.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求.11、B【解析】
可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.12、D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、C【解析】
根据确定是异面直线与所成的角,利用余弦定理计算得到答案.【详解】由题意可得.因为,所以是异面直线与所成的角,记为,故.故选:.【点睛】本题考查了异面直线夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14、【解析】
结合题意先画出直角坐标系,点出所有可能组成等腰直角三角形的点,采用排除法最终可确定为点,再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,其中点与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去,只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图像单调,将,代入的表达式有由知,因此.故答案为:【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式,数形结合思想,属于中档题15、【解析】
依题意画图,设,根据圆的直径所对的圆周角为直角,可得,通过勾股定理得,再利用两点间的距离公式即可求出,进而得出点坐标.【详解】解:依题意画图,设以为直径的圆被直线所截得的弦长为,且,又因为为圆的直径,则所对的圆周角,则,则为点到直线:的距离.所以,则.又因为点在直线:上,设,则.解得,则.故答案为:【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.16、丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)最大值是.【解析】
(1)求得,由题意可知和是函数的两个零点,根据函数的符号变化可得出的符号变化,进而可得出函数的单调递增区间和递减区间;(2)由(1)中的结论知,函数的极小值为,进而得出,解出、、的值,然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】(1),令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.又因为,所以当时,,即;当或时,,即.所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)由(1)知,是的极小值点,所以有,解得,,,所以.因为函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.所以为函数的极大值,故在区间上的最大值取和中的最大者,而,所以函数在区间上的最大值是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值,考查计算能力,属于中等题.18、(1),;(2).【解析】
(1)由条件得出方程组,可求得的通项,当时,,可得,当时,,得出是以1为首项,2为公比的等比数列,可求得的通项;(2)由(1)可知,,分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】(1)由条件知,,,当时,,即,当时,,是以1为首项,2为公比的等比数列,;(2)由(1)可知,,当n为偶数时,当n为奇数时,综上,【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得,以及其前n项和,注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和,属于中档题.19、(1)(2)①证明见解析②证明见解析【解析】
(1)首先根据直线关于直线对称的直线的求法,求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程,解方程求得的值.(2)①构造函数,利用的导函数证得当时,,由此证得.②由①知成立,整理得成立.利用构造函数法证得,由此得到,即,化简后得到.【详解】(1)由解得必过与的交点.在上取点,易得点关于对称的点为,即为直线,所以的方程为,即,其斜率为.又因为,所以,,由题意,解得.(2)因为,所以.①令,则,则,且,,时,,单调递减;时,,单调递增.因为,所以,因为,所以存在,使时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增.又,所以时,,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以时,,单调递增;时,,单调递减,所以,即,因为,所以,所以时,,即时,.【点睛】本小题考查函数图象的对称性,利用导数求切线的斜率,利用导数证明不等式等基础知识;考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想,数形结合思想和应用意识.20、(1);(2)【解析】
(1)又题意知,,及即可求得,从而得椭圆方程.(2)分三种情况:直线斜率不存在时,的斜率为0时,的斜率存在且不为0时,设出直线方程,联立方程组,用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.【详解】(1)由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知,,∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.又,解得.∴椭圆的方程为(2)由(1)可知圆的方程为,(i)当直线的斜率不存在时,直线的斜率为0,此时(ii)当直线的斜率为零时,.(iii)当直
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