2023年高考最后一轮复习微专题16 立体几何经典题型精练（原卷版）

微专题16立体几何经典题型精练【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.(1)求证：E为棱SC的中点；(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.例2．（2023·浙江·三模）如图，四面体的棱平面，．(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为，线段与平面相交，求平面与平面所成锐二面角的正切值．例3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中.(1)求证：平面；(2)在上，求一点，使二面角的大小为.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：(1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；(2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值．例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.(1)求证：；(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.例6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，几何体中，均为正三角形，四边形为正方形，平面，，M，N分别为线段与线段的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【过关测试】1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥在以为直径的圆上，平面为的中点，(1)若，证明：⊥；(2)当二面角的正切值为时，求点到平面距离的最大值.2．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥中，，，，，平面平面.(1)证明：；(2)若是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的大小.3．（2023秋·河南开封·高三统考期末）如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧.(1)证明:平面;(2)若,,,试问在线段上是否存在点,使得与的面积相等？若存在,求到的距离;若不存在,说明理由.4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且.将沿着DE折起，形成四棱锥，其中点A对应的点为点P，如图2.(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得∥平面PDE？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.(1)求证：；(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.7．（2023·陕西渭南·统考一模）在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点满足．(1)证明：GF平面ABC；(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．8．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点.(1)设为的中点，求证：平面；(2)若，直线与平面所成角的正切值为，求多面体的体积.9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.(1)求证：平面ABCD；(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.(1)求证：；(2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.11．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.12．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．13．（2023·上海·高三专题练习）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.(1)设平面平面，证明：；(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.14．（2023秋·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．(1)求CE的长；(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．15．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考期末）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．16．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，O为BD中点．(1)求二面角的正弦值；(2)E为内的动点（包含边界），且平面，求OE与平面所成角的正弦值的最大值．17．（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.18．（2023秋·天津北辰·高三校联考期中）如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长．19．（2023秋·海南·高三海南华侨中学校考阶段练习）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.(1)若N是棱PC中点，完成：（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：（ii）求证：平面AMN；(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.20．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图，在直角梯形中，，，平面，，．(1)求证：；(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．21．（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）如图，在三棱柱中，平面.(1)求证:;(2)若，直线与平面所成的角为，求二面角