2023年高考最后一轮复习微专题17 圆锥曲线压轴小题（解析版）

微专题17圆锥曲线压轴小题【秒杀总结】1、求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．③几何法：寻找几何关系，将问题转化④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.【典型例题】例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设直线方程为，则，解得，即，即，设关于直线对称的点为，则，解得，即，，同理可得：点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；所以点之间为点的变动范围，因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，所以，即.故选：D例2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E，F，与轴的交点为.若，，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】设直线方程，，，，，，由得，，，，，，由解得或，或(舍)，故选:C例3．（2023春·全国·高三竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意如图所示：因为，所以，所以，因为为圆上两点，且圆的圆心半径为，所以，所以，因为为直线上一点，所以设，且所以有，解得：，又，所以，所以，所以点到直线的距离为：，因为，所以，又，所以所以，面积的取值范围为：.故选：A.例4．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线上，且满足.若，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以PH是的角平分线，又因为点H在直线上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，设的内切圆与轴的切点为，根据三角形内切圆的知识可知，则是双曲线的右顶点，所以的内切圆圆心在直线，即点H是的内心，如图，作出，并分别延长HP、、至点，使得，可知H为的重心，设，由重心性质可得，即，又H为的内心，所以，因为，则，所以双曲线C的离心率.故选：C例5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，由椭圆的定义得：，解得，因为，所以，两边同除以a得，解得，因为，所以，所以该离心率的取值范围是故选：D.例6．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______．【答案】．【解析】设，，，不妨设在轴上方，时，，，所以切线的方程为，代入得，又，∴，得，同理可得．因此直线的方程为，直线过定点，，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，由已知，，∴的最大值为，最小值为，时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．所以的范围是．故答案为：．例7．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆，过圆上一点作圆的切线交双曲线的渐近线于，两点（在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线离心率为______.【答案】【解析】如图，为圆的切点，连接，，，故，，又，过作渐近线的垂线，交渐近线于点，则，又由渐近线的性质，可得，根据勾股定理，可得，又因为，得到，得到，，，且，，得到，整理得，，，，整理得，，，解得故答案为：.例8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为_____________【答案】【解析】设直线交轴于点，如图，设的外接圆半径为，由，有，故，所以直线过的内心，设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、，由切线长定理可得，，，所以，，结合图形可得，所以，，故的内心的横坐标为，因为点在直线上，所以点为的内心.由可得，所以，，记，设，则，所以，，所以，点在直线上，又因为，故点与点重合，且有，由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等，故，同理可得，令，则，且，故.则双曲线的离心率.故答案为：.例9．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为______．【答案】【解析】设，，，则直线AP的斜率为，BP的斜率为，由题知，两式相减得，即，即，即，又，则，即，即，则，所以，即，则椭圆C的离心率为.故答案为：例10．（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是_____．【答案】【解析】如图，过点且与渐近线平行的直线为，依题意，只需到直线即的距离大于a即可，即，∴，∴所以双曲线的离心率的取值范围是故答案为：例11．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点.设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则__________.【答案】4【解析】易知的焦点为，直线斜率不存在时不符合题意；设过的直线的斜率为，则，将代入，得，即.设，，则，所以，又因为点，轴，所以点纵坐标为1，即，即所以，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，所以，即或（舍）故答案为：4例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.【答案】【解析】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，由题可知：．设，，则，由①②得，，，代入③整理得，，两边同时除以得，，即，即，解得，即．故答案为：例13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．【答案】【解析】如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，又，即化简可得，即，即时，有.故答案为：例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，过斜率为的直线与椭圆相交于、两点，若，则椭圆的离心率______．【答案】【解析】因为直线过且斜率为，所以直线为：，与椭圆：联立消去，得，设，则因为，可得，代入上式得消去并化简整理得：，将代入化简得：，解得，因此，该双曲线的离心率.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知为坐标原点，是抛物线上的动点，且，过点作，垂足为，下列各点中到点的距离为定值的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：设直线方程为，联立直线和抛物线方程整理得，所以又，即，所以可得，即；则直线过定点D（4,0）因为，则点H在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD中点（2,0）），故（2,0）到H的距离为定值故选：B法二：设直线方程为，联立直线和抛物线方程整理得，所以又，即，所以可得，即；又因为，所以的方程为，解得对于A，到点的距离为不是定值；对于B，到点的距离为为定值；对于C，到点的距离为不是定值；对于D，到点的距离为不是定值.故选：B2．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：，联立直线与椭圆方程，消去可得，所以，即，设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以，所以，即，所以，当椭圆的切线斜率不存在时，此时，，也满足上式，所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，又因为A为椭圆上顶点，所以，当点位于圆的上顶点时，，当点位于圆的下顶点时，，所以，故选:D3．（2023·江西·校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，的延长线交双曲线于点，若双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为双曲线的离心率为，即，令，则，所以，，不妨设点在双曲线的右支上时，如图，记，则由双曲线的定义得，所以，在中，，则，即，整理得，解得或（舍去），故，，在中，，则，即，整理得，解得，则，，所以；故选：B.4．（2023·湖南永州·统考二模）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取中点，连接，，，，则，恒成立，，又，，设，由得：，根据双曲线定义可知：，，，即，，，，又，，，则离心率.故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆C：的左，右焦点，过且倾斜角为的直线交椭圆C于点P，Q（P在第一象限），与的平分线分别交直线于点M，N，则M，N纵坐标比（

）A． B． C． D．－1【答案】A【解析】由题可知，如图所示，，过且倾斜角为的直线方程为联立直线和椭圆方程整理得，解得或又因为P在第一象限，所以，，所以直线的方程为，又因为点在的平分线上，即点到直线与直线（轴）的距离相等，又点直线上，设所以，即，解得或（舍）；同理，直线的方程为，设，点到直线与直线（轴）的距离相等，，即，解得或（舍）；所以故选：A.6．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（

）A．① B．②③ C．①② D．①③【答案】C【解析】如图：在椭圆上任意一点P作平行于的直线，与球交于F点，与球交于E点，则，是过点P作球的两条公切线，，同理，，是定值，所以是椭圆的焦点；①正确；由以上的推导可知：

，，平面，是直角三角形，，即，，②正确；就是平面与轴线的夹角，在中，椭圆的离心率，由余弦函数的性质可知当锐角变大时，变小，③错误；故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知点满足，且点Q恒在在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示：由题意可知，，设，则，，由椭圆定义可得，，在中，由勾股定理可得，即，即，因为点在椭圆内，则，又因为，所以，，令，则在上单调递增，若方程在内有实根，则，所以，，所以，，因为点在椭圆内，且，则，即，所以，，，因此，.故选：C.二、多选题8．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（

）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32【答案】ABD【解析】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，因为，，则四边形为矩形，有，当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A正确；因为，则，当且仅当时取等号，因此四边形周长的最大值为，B正确；设直线方程为：，，由消去y得：，则，，同理，因此，C错误；四边形面积，当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确.故选：ABD9．（2023春·浙江·高三开学考试）已知F为双曲线的右焦点，P在双曲线C的右支上，点．设，，，下列判断正确的是（

）A．最大值为 B．C． D．存在点P满足【答案】BCD【解析】A：设，于是，设，得，于是（其中），所以，解得，即，A错误；B：,，,，令，则，当，即时，，B正确；C：，而，所以，C正确；D：当P纵坐标接近0时，很小而很大，当P纵坐标很大时，接近而很小，故必存在点P满足，D正确.故选：BCD．10．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为B．若点，则的面积为C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆D．的最小值为【答案】AB【解析】A:由，，则其中点为，所以，则圆的标准方程为，化为一般式方程为①，又圆的一般式方程为②，而，①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；B：由直线的方程为，则点到直线的距离，．故B正确；C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为，则满足椭圆定义，故圆心的轨迹为椭圆．故C错误；D：设，，则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，所以的最小值为，故．故D错误.故选：AB.11．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（

）A．若直线的斜率为，则B．使得为等腰三角形的点有且仅有四个C．点到两条渐近线的距离乘积为D．已知点，则的最小值为5【答案】ABCD【解析】对于A，由题意可知，，设则直线的斜率为，令，，令在单调递减，对.对于B，当，则满足条件的有两个；当，则满足条件的有两个，易得不存在满足，满足为等腰三角形的有4个，B对.对于C，渐近线：即，，C对，对于D，根据双曲线的定义，，所以，所以，当三点共线时，有最小值，此时，D对，故选：ABCD.12．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，过双曲线：右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于，两点，交轴于点，、分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，则下列结论错误的是（

）A．B．C．D．若存在点，使，且，则双曲线的离心率为【答案】ABD【解析】先求双曲线上一点，的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．由，得，所以，则在，的切线斜率，所以在点，处的切线方程为：，又有，化简即可得切线方程为：．不失一般性，设，是双曲线在第一象限的一点，，是切线与渐近线在第一象限的交点，，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是，联立：，解得：，联立：，解得：，则，又因为，所以，即，C错误；由，可知，是，的中点，所以，B正确；易知点的坐标为，则，当点，在顶点时，仍然满足，A正确；因为，所以，，因为，则，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以离心率，D正确．故选：ABD．13．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（

）A．当时， B．当时，C．存在使得 D．存在使得【答案】ABD【解析】对于选项A.当时,过抛物线的焦点的直线方程为:,设该直线与抛物线交于,两点,联立方程组,整理可得:,则,由抛物线的定义:,故A正确.对于选项B.当时,过抛物线的焦点的直线方程为:,设该直线与抛物线交于,两点,联立方程组,整理可得:，则,则,所以，由抛物线的定义:又因为直线与抛物线的准线交于点,则，即，故B正确.对于选项C.设过抛物线的焦点的直线方程为:与抛物线交于两点,联立方程组,整理可得:则,，所以.若,则,故不存在，使得,故C不正确.对于选项D.设过抛物线的焦点的直线方程为:与抛物线交于两点,联立方程组,整理可得:,则，,若,因为,,即,则,即:,可得:,即:,则,解得:,解得:.故存在使得,故D正确;故选：ABD.三、填空题14．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，若在抛物线C上，且满足，则的最小值为______.【答案】9【解析】抛物线的焦点为，依题意，不妨设直线的倾斜角为，且，由抛物线定义得：，即，同理，，因此，令，，令，，由得或，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，此时，于是得，所以当时，取得最小值9.故答案为：915．（2023·四川凉山·统考一模）如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率__________．【答案】【解析】由题可知，，设切线，，由，可得，所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又两切线斜率之积等于，所以，即，所以，又，所以.故答案为：.16．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）平面二次曲线方程的一般形式为．已知曲线表示中心在坐标原点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆上，则该矩形面积的最大值为______.【答案】【解析】由表示中心在坐标原点的椭圆，故设椭圆焦点为，根据椭圆定义可得，移项平方去根号，化简可得：，对应可得：，解得，，所以焦距，，，所以该矩形面积的最大值.故答案为：17．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则与（为坐标原点）的面积之和的最小值是_________.【答案】【解析】根据题意直线AB斜率存在，设其方程为，设，，由，得，求导得，则抛物线在点A处的切线方程为，整理得：，同理得抛物线在点B处的切线方程为，则由，解得，即两切线的交点，由消去y整理得，则，，则，点P在直线上，则，则直线AB的方程为，过定点，且，设，则，则，，，，当且仅当，即时等号成立，则与的面积之和的最小值为.故答案为：.18．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.①当时，有；②当时，有；③可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有__________.【答案】①②【解析】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，所以，从而，即，因为点在直线上运动，所以，则，①当时，点三点共线，由于，所以，所以，由题意知，所以，故①正确；②当时，即，所以，即，解得，又，得，所以②正确；③若是等腰直角三角形，则或或为直角，因为，当时，则，得，此时，不是等腰直角三角形，由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，此时，，,,即，故不是等腰直角三角形，综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，故答案为：①②.19．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______．【答案】【解析】由点A在椭圆C上，且，设点，且，，则，同理，设角平分线