网孔分析法结点分析法

网孔分析法结点分析法：23,25,212,223.2第二章

运用独立电流、电压变量的分析方法1.网孔分析法2.节点分析法3.含运算放大器的电阻电路5.回路分析法3§2－1网孔分析法

在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电阻构成的电路，可用b个支路电流变量来建立电路方程。在b个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流变量来建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，它的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得到网孔电流后，用KCL方程可求出全部支路电流，再用VCR方程可求出全部支路电压。4网孔分析法

网孔电流

网孔电流方程及列写规律

含受控源电路网孔电流方程的列写

含电流源电路网孔电流方程的列写51.网孔电流－指设想在电路的每个网孔里沿着构成该网孔的各支路循环流动的假想电流，如图中实线箭头所示。

网孔电流6网孔电流是完备的变量（求出网孔电流，所有支路电流可定）。如图中，i1=iA,i2=iB,i3=iC。如果某支路属于两个网孔所共有，则该支路上的电流就等于流经该支路二网孔电流的代数和。与支路电流方向一致的网孔电流取正号，反之取负号，即有

网孔电流是相互独立的变量。如图中的3个网孔电流iA,iB,iC,已知其中任意两个求不出第三个。这是因为每个网孔电流在它流进某一节点的同时又流出该节点，它自身满足了KCL，所以不能通过节点KCL方程建立各网孔电流之间的关系，也就说明了网孔电流是相互独立的变量。2.网孔电流是一组完备的独立变量7

1.网孔方程：设图中网孔电流

iA,iB,iC,其参考方向即作为列写方程的巡行方向。可按网孔列写三个KVL方程

网孔电流方程及列写规律

8网孔A

R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0网孔B

R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0网孔C

R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0

按未知量顺序排列，并将激励源移至等式右端，整理得

9

规律：观察上式可看出：iA前的系数(R1+R4+R5)恰好是网孔A内所有电阻之和，称它为网孔A的自电阻，以符号R11表示；iB前的系数(+R5)是网孔A和网孔B公共支路上的电阻，称它为网孔A与网孔B的互电阻，以符号R12表示，由于流过R5的网孔电流iA、iB方向相同，故R5前为“+”号；iC前系数(-R4)是网孔A与网孔C的互电阻，以R13表示，由于流经R4的网孔电流iA、iC方向相反，故R4前取“-”号；等式右端us1-us4表示网孔A中电压源的代数和，以符号us11表示，计算us11时遇到各电压源的取号法则是，在巡行中先遇到电压源正极性端取负号，反之取正号。

10

归纳总结得到应用网孔法分析具有3个网孔电路的方程通式(一般式)，即

如果电路有m

个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为

…11或写成矩阵的形式：

：网孔i与网孔j的公共电阻，称互电阻，可正可负，当该两个网孔电流在公共电阻上的方向一致时，互电阻为正，反之，互电阻为负。

在R矩阵中：：主对角线上的电阻称为自电阻，恒为正，为第i个网孔中所有电阻之和。等式右边为网孔中电压升的代数和。12

若每个网孔电流的方向一律顺时针或一律反时针绕时，则互电阻都为负值。

当电路中不含受控源时，R矩阵（称为电阻矩阵）为对称矩阵，含受控源时，R矩阵不对称。13网孔分析法计算步骤：1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。3．求解网孔方程，得到各网孔电流。4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。5．用VCR方程，求得各支路电压。14例1用网孔电流法求解电流iP82比较解选网孔为独立回路：i1i3i2RSR5R4R3R1R2US+_i15例2求图示电路中的电压uab。P77比较2.1.3含受控源电路网孔电流方程的列写16解

设网孔电流iA,iB

如图中所标，观察电路，应用方程通式列基本方程为由图可以看出控制量u0

仅与回路电流iB

有关，故有辅助方程（1）（2）将(2)式代入(1)式并经化简整理，得

（3）17解(3)方程组，得

所以

18例3列出网孔电流方程。

含电流源电路网孔电流方程的列写19解：本例中电流源支路仅属于一个网孔，则该网孔电流是已知的。可省掉该网孔的KVL方程。20例4对图示电路，求各支路电流。

解本题两个网孔的公共支路上有一理想电流源。可将图(a)电路伸缩扭动变形，使理想电流源所在支路单独属于某一网孔，如图(b)电路所示。理想电流源支路单独属于网孔B，设B

网孔电流iB

与is方向一致，则

21所以只需列出网孔

A

一个方程即可求解。网孔A

的方程为所以

22进一步可求得电流

23例5：列出网孔电流方程。24解法一：假设电压法本例中电流源接在两个网孔间，各网孔的KVL方程均不可省，注意在方程中不要漏掉电流源的电压。（补充方程）电流源的电压25解法二：重选独立回路法使电流为一个回路所拥有，则该电流就是电流源电流，可减少一个方程。26§2.1网孔分析法§2.2节点分析法§2.3含运算放大器的电阻电路第二章网孔分析和节点分析27§2.2节点分析法（结点）

节点电压

节点电压方程及列写规律

含受控源电路节点电压方程的列写

含电压源电路节点电压方程的列写281.节点电压(位)－任意指定电路中某个节点为参考节点后，其余节点相对于参考节点的电压降。

节点电压选节点4作参考点(亦可选其他节点作参考点)，则其余节点1，2，3对参考点的节点电压分别为un1,un2,un3。以节点电压为变量列方程求解电路的方法称为节点分析法。292.节点电压是完备的变量。已知un1,un2,un3。显然，这个电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流，都可应用已知的节点电位求出。例如，支路电流电导G5吸收的功率

这就说明了节点电位是完备的变量。303.节点电压是独立变量观察图可见，对电路中任何一个回路列写KVL方程，回路中的节点，其电位一定出现一次正号一次负号。例如图中

A

回路，由KVL列写方程为

将上式中各电压写为电位差表示，即有这就说明节点电压变量是相互独立的变量。31

节点电压方程及列写规律

设流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，可得节点1，2，3的KCL方程如下(1)32由支路VAR将各支路电流用节点电压表示，即

(2)33整理，得

将(2)式代入(1)式，得

34规律：以第一式为例，变量un1前的系数(G1+G5)恰是与第一个节点相连各支路的电导之和，称为节点1的自电导，以符号G11表示。变量un2前系数(-G1),是1与2节点间的互电导，以符号G12表示，它等于与该两节点相连的公共支路上电导之和，并取负号。un3

前系数(-G5)是节点1与节点3之间的互电导，以G13表示，它等于与节点1、3相连的公共支路上电导之和，并取负号。等式右端is1-is2，是流入节点1的电流源的代数和，以符号is11

表示，称为等效电流源。计算is11

时是以流入节点1的电流源为正，流出节点1的电流源为负。35

归纳总结得到应用节点法分析具有3个独立节点电路的方程通式(一般式)，即(7)同理可找出另两式的自电导、互电导、等效电流源，即

36

如果电路有

n

个独立节点，我们也不难得到列写节点方程的通式为

…(8)37

：连接在节点i与节点j之间的公共电导，称为互电导，恒为负。在电导矩阵G中：

：主对角线上的电导称为自电导，是连接在节点i上的所有支路电导之和，恒为正。

等式右边是流入节点电流的代数和。矩阵形式：38

当电路中不含受控源时，电导矩阵是对称的，当电路中含有受控源时，电导矩阵是不对称的。

节点方程对平面电路和非平面电路都适合，而网孔方程只对平面电路适合。39

例1如图示电路，求电导G1、G2、G3中的电流及图中3个电流源分别产生的功率。

40于是可得

解：41用克莱姆法则解方程组

42设通过电导G1、G2、G3

的电流分别为i1、i2、i3,参考方向如图中所标，由欧姆定律电导形式可算得3个电流分别为

可得43例：列出图示电路的节点电压方程。P82

含受控源电路节点电压方程的列写44解：45消去ux，整理得：若电路中含有受控源，列方程时可先将受控电流（压）源看作独立电流（压）源，列完方程后再将控制变量消去。与电流源串联的电阻可不列入方程462.2.4含电压源电路节点电压方程的列写例：求

I1、I2、I3、I4。47解：本例中电压源的一端接在参考节点，则另一端所在节点电压是已知的。可省掉该节点的KCL方程。解得：48例：列出求解电路的节点电压方程。49解法一：假设电流法本例中电压源接在独立节点间，各独立节点的KCL方程均不可省，注意在方程中不要漏掉电压源支路的电流。（补充方程）电压源支路的电流50解法二：重选参考节点51试列写电路的结点电压方程(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=GSUS-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3

=0－GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3

=－USGS例UsG3G1G4G5G2+_GS312变换为节点1的KCL52213设参考点用结点电压表示控制量。列写电路的结点电压方程例解iS1R1R4R3gu3+u3_R2+－riiR5+uS_把受控源当作独立源列方程；53§2.1网孔分析法§2.2节点分析法§2.3含运算放大器的电阻电路第二章网孔分析和节点分析54§2.3含运算放大器电阻电路

运算放大器概念

运算放大器的电路符号及模型

运算放大器的输入方式

理想运放552.3.1运算放大器概念运算放大器（Operationalamplifier简称为Op）是用集成电路技术制作的一种多端元件，早期，它用来完成对信号的加法、微分、积分等运算，故称为运算放大器，目前它的应用已远远超出此范围，是现代电子技术中应用非常广泛的一种器件，被制成体积很小的集成块在电路中实现一定功能。

运算放大器的主要作用是把输入电压ui放大一定倍数后再输出，u0/ui的值称为放大倍数，或增益，运放的增益很高。

运算放大器实质上是一个电路相当复杂的多级放大器，关于它的内部构造及其工作原理等后续课会详细讨论，在电路分析中，只把它作为一种元件看待，着重它的端口特性。56集成运算放大器57

符号7654321+15V－15V8个管脚：2：倒向输入端3：非倒向输入端4、7：电源端6：输出端1、5：外接调零电位器8：空脚单向放大58

应用信号的运算电路比例、加、减、对数、指数、积分、微分等运算。产生方波、锯齿波等波形信号的处理电路信号的发生电路有源滤波器、精密整流电路、电压比较器、采样—保持电路。592.3.2运算放大器的电路符号及模型－＋Au-u＋uo＋－A(u＋-u_)u_u＋Ri＋－uoRo在电路符号中，‘＋’端为同相输入端，用u＋表示同相端的输入电压；‘－’端为反相输入端，用u-表示反相端的输入电压（＋、－并不表示电压的极性）;uo为输出端电压;A为增益（放大倍数），一般在105107之间。

在电路模型中，Ri为输入电阻，一般在106以上，Ro为输出电阻，一般在10100之间。60电路模型

Ri—输入电阻

R0—输出电阻

A—电压放大系数

负端接地

受控源=AUb

正端接地

受控源=-AUa

当运算放大器的放大倍数为无限大时称为理想运放

理想运放的特点：

+Ua-+Ub+RiR0+U0A(Ub-Ua)+_(1)由于A→∞，而U0为有限值

Ub－Ua＝0

输入电压为零（2）输入电阻无限大输入电流为零（3）输出电阻为零61

1、虚短：两输入端电压差为零，即：同相端电压等于反相端电压。

ud=u+-u-=0

或u+=u-2、虚断：两输入端不取电流。

i+=i-=0

注:对实际运放有:u+≈u-

i+=

i-≈03理想运放特点:分析含理想运放的电路必须用到它的这两个特性。并与结点电压法相结合62在a,b

间加一电压ud=u+-u-，可得输出uo和输入ud之间的转移特性曲线如下：实际运算放大器的特性Usat-Usat-Uo/VUd/mV0实际特性au+u-uoo+_ud_+A+b63Usat-Usat-Uo/VUd/mV0分三个区域：①线性工作区：|ud|

<

则

uo=Aud②正向饱和区：③反向饱和区：ud>

则uo=Usatud<-

则uo=-Usat是一个数值很小的电压，例如Usat=13V,A=105，则=0.13mV。近似特性注意64例：比例器图示为反向放大器，试求图中运放电路输出u0与输入us的关系。P87u065解：节点2的方程为：

－G1u1＋(G1+G2)u2－G2u3=0因为u+=u－，可知反相端相当于接地，故得：u2=0u0由此可得：66例：下图表示一个由理想运算放大器模型构成的加法器，它可以对输入电压us1,us2,…..usn进行加法运算。67解：根据KCL，并注意到ud=0和i_=0,可得：或：令：则有：

此式表明输出电压u0在数值上等于输入电压us1,us2,…usn之和。这就是加法器命名的依据。电流68

节点分析法特别适用于分析含运放的电路，在理想运放的情况下，请注意以下规则：(1)在运放的输出端应假设一个节点电压，但不必为该节点列写节点方程；

(2)在列写节点方程时，注意运用u+=u-

及i+=i-=0两式，以减少未知量的数目69例：电压跟随器①输入阻抗无穷大(虚断)；②输出阻抗为零；应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。③uo=ui。电路A电路B特点+_+_uiuo_++70例可见，加入跟随器后，隔离了前后两级电路的相互影响。P89A电路R2RLR1+_u2+_u1+_u1R1R2RL+_u2_++71例：非倒向比例器u+=u-=uii+=i-=0uo=[(R1+R2)/R2]

ui

=(1+R1/R2)ui(uo-u-)/R1=u-/R2根据“虚短”和“虚断”

uo与ui同相当R2=，R1=0时，

uo=ui，为电压跟随器输入、输出关系与运放本身参数无关。结论RiuiR1R2u+u-i-+_uo+_i+_++72例：减法运算u-=u+i-=i+=0i1=if解得：+_uoR2Rfi-u+u-R1R3ui1ui2i1if_++73uouiR1R2例1：求图示电路中运放的输入和输出关系。123解：列节点方程：解法二：2点虚地i1i2说明：利用运放特点分析电路可简化计算补充练习74例2、求uo和ui的关系。uoR1R2uiN解：列N点节点方程75例3 求uo与u1、u2和u3的关系。u1u2u3uoR1R2R3RfN解：N点虚地76例4、求uo和ui的关系。P88R1uiuouiR1R2R4R3123（解法一）（解法二）i1i2i4i377

在以上的研究中可以发现，电路中的许多变量、元件、结构及定律都是成对出现，并且存在相类似的一一对应的特性。这种特性就称为电路的对偶性。譬如，对电阻元件，其元件约束关系是欧姆定律，即

u=Ri

或i=Gu

如果将一个表达式中的u与i对换，R与G对换，就得到另一个表达式。§2.4电路的对偶性了解78

电路中结构约束是基尔霍夫定律，在平面电路中，对于每个节点可列一个KCL方程

而对每个网孔可列一个KVL方程

这里节点与网孔对应，KCL与KVL对应，电压与电流对应。具有这样一一对应性质的一对元素（电路变量、元件参数、结构、定律等），可称为对偶元素。电路中的一切公式和定理都是从电路的结构约束和元件约束推导出来的。既然这两种约束都具有对偶的特性，那么由它们推导出的关系显然也会有对偶特性。从上述讨论中可知，如果电路中某一定理、公式或方程的表述是成立的，则将其中的元素用其相应对偶元素置换所得到的对偶表述也成立。

79电压电流KVLKCL磁链电荷开路短路电阻电导串联并联电感电容网孔节点电压源电流源回路割集CCVSVCCS树支连支VCVSCCCS电路的对偶特性是电路的一个普遍性质，电路中存在大量对偶元素。以下是一些常用的互为对偶的元素：

80

对于图示电路，图(a)的网孔方程(网孔电流均为顺时针方向)和图(b)的节点方程分别为

比较可看出，它们的形式相同，对应变量为对偶元素，所以通常把这两组方程称为对偶方程组。电路中把像这样一个电路的节点方程与另一个电路的网孔方程对偶的两电路称为对偶电路。显然图(a)、(b)两电路是对偶电路。

81网孔方程和节点方程的对偶性82惟一解：电路中各电压、电流是根据两类约束所建立电路方程的解答。但需注意，并非每个电路(模型)的各电压、电流都存在唯一解。有些电路可能无解，或有多个解答。一般来说，当电路中含有纯电压源构成的回路时，如图(a)所示，这些电压源的电流解答将不是唯一的；当电路中含有纯电流源构成的结点时，如图(b)所示，这些电流源电压的解答也不是唯一的。图

不存在惟一解的电路举例831.网络图论BDACDCBA哥尼斯堡七桥难题图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。2.5回路分析法84大家公认，图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）于1736年发表了论文《与位置几何有关的一个问题的解》，文中提出并解决了七桥问题，为图论的形成奠定了基础。今天，图论已广泛应用在计算机学科、运筹学、控制论、信息论等学科中，成为对现实世界进行抽象的一个强有力的数学工具。在哥尼斯堡一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，证明上述走法是不可能的。

852.电路的图抛开元件性质一个元件作为一条支路元件的串联及并联组合作为一条复合支路543216有向图65432178R4R1R3R2R6uS+_iR586图的定义(Graph)G={支路，结点}电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。图中的结点和支路各自是一个整体。移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。结论87从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。(2)路径(3)连通图图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。88(4)子图若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。树(Tree)T是连通图的一个子图且满足下列条件：连通包含所有结点不含闭合路径89树支：构成树的支路连支：属于G而不属于T的支路树支的数目是一定的连支（共有支路）数：不是树树对应一个图有很多的树明确90回路(Loop)L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路。12345678253124578不是回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数；1）对应一个图有很多的回路；3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。明确91基本回路(单连支回路)12345651231236支路数＝树支数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连支结论92例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。876586438243注意网孔为基本回路。93了解割集分析法树支电压的特点独立性由树的定义可知：不存在任何闭合回路，但所有节点仍然连通。所以：树支电压不能用KVL约束。即，就KVL而言，树支电压是独立的。完备性

选定树后，任意增加一个连支，必定会和某些树支构成回路。所以，当知道所有树支电压后，就能求出所有连支电压。即：树支电压是完备的。节点电压就是某个树的树支电压94二、割集方程什么是割集？P15

对于一个电路的连通图，若切割某些支路，就会使图形成为两个分离的部分，但只要少切割其中的任一条支路，图形仍是连通的，这些被切割的支路集合就叫做割集。每个割集可列写一个KCL方程即，KCL的推广形式广义节点

若切割线恰好围绕单个节点，则为KCL的一般形式。95什么是基本割集？

使每个割集只包含一个树支，这样的割集称作基本割集。因为:树支数=n-1个所以：基本割集数=n-1个，可以列写n-1个KCL方程。又因为：树支电流是各自的，其它割集没有所以：基本割集方程是独立的。

963.注意：若电路中有电压源，最好把电压源支路选作树支，则电压源电压就会成为已知树支电压，方程数目减少。不能选作树支的电压源的处理方法同前面所讲。

97二、连支电流的特点

1、独立性

2、完备性选定树后，每次只接上一条连支，就会构成一个闭合回路，且这个回路是由一条连支和若干条树支构成的。连支电流称为“基本回路电流”。例：三种树组成三种不同的基本回路:一、基本回路：

基本回路数=连支数=网孔数=b-（n-1）§2-5回路分析法98三、利用连支电流或独立回路电流列写基本回路方程因为：连支电流数=b-（n-1）个所以：基本回路电压方程=b-（n-1）个称为回路分析法。回路方程形式和网孔方程近似，网孔电流也是连支电流的一种。99例：电路如图，求电流i1解:当电路存在m个电流源时，若能选择每个电流源电流作为一个回路电流，就可以少列写m个回路方程。选择原则:每个电流源支路只流过一个回路电流。选择三