点睛2016年最后三小时讲义

1k阶（水平，铅直，斜234直角坐标累次积分交换次序和与极坐标转换5广义积分，级数的敛散性判断6多元函数的连续，偏导，可微分1导数的定义和各种导数的计算：复合函数，隐函数，反函数，高阶导数（2积分的定义及其计算：不定积分及其原函数的计算（注意：分段点的连续性3各种微分方程的求法：可分离变量，齐次微分方程，一阶线性微分方程（注意：x1计算题：极限计算（幂值函数，变限积分，泰勒，洛必达法则。2证明题：不等式的证明，方程根的证明3费马引理的证明，微分中值定理（费马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，4多元函数微分：抽象形式的和复合函数的偏导数和全微分5多元函数的极值：无约束条件的，隐函数极值，等式约束条件的（拉格朗日乘子法6多元函数二重积分：累次积分交换次序，转换为极坐标形式计算。（注意：积分区域78（极限的反问题（求表达式中的参数：1结合 ；2结合 axln(1【例题1已知x0是函数f(x) xbsin 的可去间断点则a,b的取值范围是 （A）a1,b为任意实 （B）a1,b为任意实（C）b1,a为任意实 （D）b1,a为任意实答案：选（D解由题意可知limaxln(1x)存在，而考

xbsinxax(x

x2

x3 (a1)x

x2

x3limaxln(1x) xbsin xb(x

(1b)x

x3 所以只有当b1,a为任意实数时，该极限存在，选（D2】f(xx0处连续，且

ex1xf(x)ln(1x2)

0，则 （A）f(x)在点x0处不可 （B）f(x)在点x0处可导且f(0)（C）f(x)在点x0处可导 （D）f(x)在点x0处可导且f(0)2

[1x1x2o(x2)]1xf 1f

f(x)

所以lim ．由于f(x)在点x0处连续，故得f(0)1，因

limf(x)f(0)limf(x)11 f(xx0f(01，选21线2斜渐近线与水平渐近线在同一侧不能同时存在3左右斜渐近线可能不同。【例题3】设f(x) x2sin2xx,则曲线yf(x)有 解：

f(x)limx2x2sin2

x)t2t2sin2t

sin2

y0

f(x)lim

1)

1(sin1(sinxx2sin2 x2sin2x2sin2sin2x2sin2xlimf(x2xx2sin2sin2x2sin2x 间断点：1直接的函数求间断点，一般而言，分子分母能约去的点是可去间断点，带绝对2sinxcos【例题4】设函数f(x) 2，则f(x)的可去间断点、跳跃间断点x(x2x （A）x2,x0,x （B）x0,x1,x（C）x0,x2,x （D）x1,x0,x sinx （D．

sin1limcos2x x1x(x2)(x x limf(x)

sinx 2

1 limf(x)

sinx 2

1 x0x(x2)(x x0x(x2)(x sinxcos

f(x) x2x(x2)(x5】f(x

x2e(n1)1 ，则点x0为f(x)的 x2,f(x)limx2

1,x

x

1

x6】f(xF(x0(2uxf(xuduF(xx 解：令xut F(x)x(x2t)f(t)(dt)x0f(t)dt20tf(t)dt

F(xxf(tdtxf(xf()xxf(x0（在0x之间0xdx,I20f(xdx,I20f(x)2（A）I1I2 （B）I1I3．（C）I2I3 （D）I3I1

02f(x)

I3

2f(x)tanxdx的大小顺序为 000 0

解：II 2f(x)(sinxcosx)dx(42)f(x)(sinxcosx)dx4 而2f(x)(sinxcosxdx4

4f

x)(sinxcosxdxI1I24f(x)f(x)(cosxsinx)0 当0x42xx0f(x的单调性及cosxsinxI1I2又当0x2tanxsinxf(x0,I3I18】D(xyx2y21,I1xydxdy,I2(ex2y21)dxdy I3ln(1xy)dxdy,则三者大小依次为 D（A）I1I2 （B）I1I3 （C）I3I1 （D）I3I2x2 x2ln(1xy

xy xy2

1,I3I1I2，选（C9】

f(x2y2dyR f(x2y2 坐标形式的二次积分为

arctan

4

0f(r) （B）

f(r)

4

f(r) （D）

arctan

f(r) 【例题10】设函数f(x)在0,1上连续，则11f(t)f(x)dtdx （A）0f(x) （B）0xf(x) （C）0(1x)f(x) （D）0(1xf(x))A 0 0[x[ft()fx(d)t]dx]0xf[tdt(dx)0

xf(x [xxf(t)dt]00xf(x)dx0(1x)f(x)dx0f(x)dt

4D限的部分，则(xyxtanxy)dxdy DDD1

2xtanD1D

4(xyxtanxy)D1D

xydxdyxydxdyxydxdy0,xtanxydxdy D1 D3 D3(xyxtanxy)dxdyxtanxydxdy2xtanxydxdy 广义积分的敛散性：1 拆分积分区域，保证每个积分区域有且只有一个瑕点；2 1 1 max ,2dx,I2 min ,2dx 1 1 x【解】由于0x2dx, dx,1x2dx均收敛x1 1 故I10x2dx dx发散；I2 dx x2dx收敛 nln1p和 ，p1收敛；p nln n2 n

和nlnpn，p10p1p

13注意

(1)narc

1（为常数） )1（A）当0时发 （B）当 1 （C）当 （D）当 2

n解： arc 近似等价为n

1

nn当 时．limarc lim 10故 arc nn n nn

n1 nn n当 时， nn n

n n

arc

arc

arc

11nn 1n n且当 .时，级数 1发散，所以当 时， arc n

n1n n件收敛．当 时，级数 1收敛 arc n n1n n1【例题14】f(xyx2

sin(x2y2) x2y2

（

x2y2f(xy在点(0,0)fx(0,0),fy(0,0),f(xy在点(0,0)fx(0,0),fy(0,0),f(xy在点(0,0)fx(0,0),fy(0,0),f(xy在点(0,0)【解】因为在点(0,0)处附近，0f(x,y) sin(x2y2)

，而

0x2

所以limf(xy0f(0,0)f(xy在点(0,0又因为f(0,0)limf(x,0)f(0,0)lim00，同理f(0, ，所以偏导 x0 ),

x24

,x2y2

则f(x,y)在点(0,0)处 x2y2 解：由于limf(x,y)

1f(00)f(x,y在(00)

x0x4 fx(0,0)0fy(0,00,f(xy在(0,0【练习】f(xy在点(0,0)

f(x,y)x2

0f(x,y在点(00) 【解】f(xy在(00处连续，及

f(x,y)x2

0,f(00由

0得f(x,y) x2y2),由于 f(x,x2x2f(x,y)f(0,0)f(x,x2x2f(xy在点(0,0)f(xy)x2y2,满足x22x22

f(x,

x20f(xy在点x2又取f(x,y)x2y,0

, f(x,y)

x2 f(xy在点(0,0)f(xy在点(0,0)处未必取极值，故选 【答案】32

(0)

2

f(x3)f(x2．x【解】f(00f(40,f(8)0f(x仍是以4

f(x3)f(x2)

f(x3)f(8)f(x2)f

x

x f(x3)f(8)x3 f(x2)f(4)x2

lim x3

x x2

x

f(cosx)2yf(x在点(1,f(1 答案：y f(1)4f(xf(xf(1)f(1)4 yf(1) (x1),即y xt2t 16yy(x是由方程组eysinty0,

答案:解：在eysinty0两边对t求导，得eysintdyeycostdy eycos所 eysint由xt2t知dx2t1，故dy eycos 当t0时， (2t1)(eysint

17】f(u2x2u2y2u2z20确定了uxyzf可微函数，且fff0，则当xyz0时，uuuuuu x y z【答案】【解】f(u2x2,u2y2,u2z20xf(2uu2x)f2uuf2uu 解得uu x f1f2

,由对称性uu ,uu y f1f2 z f1f2u故

u

u

x y z【例题18设函数zz(x,y)由方程xz(yz)确定，xy0则xzyz 【答案】z xzzyz 解得xyx,yxy,xxyyz cosxsin3xdx 1cos2 1cos2xln(1cos2x)C2cosx(1cos2

cosxtt(t2解：原积分 1cos2x

1 t(1t2) 1 1 dt(t1t2)dt2tln(1t)C2cosxln(1cosx)C1 【例题19】lim(tan)3 23 n) 3 n

4(tan1)3132334

1 解：原式lim

1x3dx3

n

4 n arccosdx

8

1t1t11costx cotxt:0xx21arccos

dx dx

2costt 2costt 2dt2t 1 1

cos 2 2tdcos2t tcost22cos2tdt4 4 【例题21】极坐标曲线r 2 4【答案 【解】曲线在直角坐标系中的参数方程为

0x

0x1,故所求体积为V1y2dx0V1y2dx

sin)2

cos(sin)2 22 2(cos2sin2)dcos(cos2 cos2)2

4444(x3y313L （7xacos3t解：L的参数方程为yasin3t 0t222 7原积分

a3(cos4tsin4t)3acostsintdt012a 2(cos4tsin4t)costsint07

1 112a32

tsintdt2sintcostdt)12a3

cost

sin6

4a 【例题23】dy2x的通解 x (2xy)(yx)2c 2u解

y令uxuxdx

1

1

)du 两边积分.1n2u lnu1lnxC3 u y将ux1【例题24】设连续函数yy(x)满足y(x)1 dt，则y 1xy(t)1(2x)3 y3

dx1xy2

y(

1ydyc)1

y2c

1)1得c0x

y3y(2x)32 【例题25】设函数f(x)连续，且f(x)x210f(t)dt1，则0f(x)dx 2【答案

3F(x)

2xF(x)

13x xf(t)dt则F(x)0

F(xx2 x21(3即xf(t

3xC)

(1

x x3f(t)dt

x

1 f(x)dx x0,得C0,

再 x2 【例题26】 xx x1lnxx解：原式limx(xx11)lime(x1)lnx

lim(x1)lnx1lnxx x1lnxx x1lnxxlnxx xlnxx1limlnx112. 1x

1 【例题27】计算积分I 令t ，则I ()dt

)(1 dx 3311 I33112

3(1ex)(1x2

1

3 arctan ) 231 2 n1 【例题28设0x1，x max t ,证明limx存在并求此极限1 证：因为xn0maxxn1,tdt0xn1dtxn1，单调递增，设0 1，则x ,tdtxn1 dt1

x211 11 2 2设limxa，得到a11a2，解得a1，limx1.n n

ln(1x)【例题29（Ⅰ）设x0，证明函数f(x) 证：f(x)1( 1)x22x(ln(1x)2x2)2xx22(1x)ln(1x)x41 (1g(x2xx22(1xln(1x),g(00g(x)22x2ln(1x)22xln(1x)g(xx0g(xg(0)0,f(x)0f(xbbbf(xg(x在abg(x在区间上同号，则f(x)g(x)dxf(b

其中2 22f(x)xsinxdxf(xf(x，证明：在(0,内存在f(0 证：f(x在0,2上连续，故存在mM，使mf(xM m2xsinxdx2f(x)xsindxM2xsin 而2xsinxdx(xcosx)2f(x)2cosxdx1,所以m 2f(x)xsinxdxM ，使2xsinxf(x)dxf(1) 2 1由于mf(xMmf(xM,所以mf(xf(x)M. 2

使1f(x1f(x2f(2212),(1,20,f(【例题31】zf(xy,f(xyff在点(1,1) zf(xy,f(x,y))f(xy,f(x,y))f(x, 2z y,f(x, f12 y,f(x,y))f2(x, f21 y,f(x,y))f1(x,,,

f21(0,

yx2y4

1y

1x2fx(x,y)2xy1 f(0,0)y 2

y1,y x1)f(xy2

4yxy2xyL(xyxy6

4),，由

Lxy2x x24y24(22(22),2 2(2 2)f(2, 2)7,2 222223y1x1,0x2)f(xyx242xy25x25x6,2df5(x1)0x1,y1,

f(1,)

,f(0,1)f(2,0) f(xyD上的最大值为7，最小值为2 【例题33】求幂级数(n1)2n(xa

1

收敛．所以幂级数的收敛域为1,3S(x(n1)2n(x1),1x则(x1)S(x)

(x1)n1,求导((x1)S(x))

(1)n(x1)n1x

n1(n 1 x((t1)S(t))dtx1tdt,即(x1)S(x)x2ln(1x12ln 1x2ln(1x)12ln2

xS(x)

x x

.（I） axn S(x)nanxn1

xn1

(n1)xn1S(x)

(n1)xn1S(x)

即得S(x)S(x) (1

,1x1,S(0)a0（II）S(xex

2dxC)ex(3e

Cex 3 (1

x 1

1

5S(0C2,

S(x)2ex 1

,1x【练习】设幂级数anxn在(，yy(x 证：yaxnynaxn1，yn(n1)axn xy1xy2y0知n(n1)anxn1nanxnnanxn12anxn 所以n(n1) na(n1) 2a0，即有(n1)2 (n2)a （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知n2a(n1) an1 n1 a n1 a n1 n1a (n (n (n1)2(n n,n,n(n1)(n n1 (n 故anx1 x1 xe (n 【练习】yx

yxn1（x0,n1为整数）围成图形的面积记为an数的和(1n1ana

(xnxn1)dx

1 a

(

2n 2n1 2

2n1

2n)(1111)(1111 2

1(1111 112 S(x

n1，收敛域为，收敛域为当1x1S(x)

1x2

,故S(x)arctanx,从而S(1) 4 因此Sn(1)n1an 【练习】f(xf(xx2x(1etxf(tdt0（Ⅰ）f(xf(xf(x2f(x1f(00f(0（Ⅱ）f(x 证：由于f(x)x2xf(t)dt2exxetf(t)dt f(xf(x)12f(x)2exxetf(t)texexf(x)12exxetf(t)dt 由1知2exxetf(tdtx2xf(tdtf(x xf(x)1x20f(t)dtf x由2f(xf(x12f(xf(x),f(xf(x2f(x又由1f(0)0,由2f(0)解：f(xf(x2f(x)1知对应齐次方程的特征方程为r2r20解得特征根为

1,

2y*ay*12f(xf(x2f(x1f(xCexCe2x1 f(00f(01得C2,C1f(x2ex1e2x1 【例题35】设函数f(x)xx,1x1，将f(x)展开成级数，并求级 112a01xx)dx112 n2[xsinnx1

cosnx1

bn1(xx)sinnxdx1xsinnxdx21xsinnxdx xd(cosn n

(1)n1[xcosn

cosnxdx] 0 2 n所 xx [22 n

1x n在上式中取x0,得0 22 n

1),即02(2n1)22 所以(2n1)28ydydydttdy dt y ) (t ) (t )tt t dx 特征方程为r210，解得riy*atb，并代入上述方程得a1,b0，y*t．所以上述方程的通解为yC1costC2sintt. yCcosexCsinexex 36】f(xf(1)1,f(1)7f(x I 解：P(xy)32f(xy,Q(x,y)x2f(x11xf由题设知PQ，即32f(x2xf(xx2f(x11f(x11xf 得x2f(x)9xf(x)21f(x)0.．解此方程得f(x)Cx3Cx7 f(11,f(17知C0,C1,f(x)x7 I

(4x8)dy32x7ydx

L(

d(4x8y)4x8y(0,3)【练习】（）Px2y2z21P与平面0x1P的轨迹Cxz0，从而n0，故2x2z0xz0P点轨迹C为x2y2z2 （II）方法1C:x cost,ysint,z cost,t:02 12Czdx2xdyydz0 costsint12

sin2)dt 21212【例题37】I(x2)dydzzdxdy，其中x2y2z21x0,y0【解】补y0(x2z21,x0x0(y2z21,y0)1I(1

)(x2)dydz设与1及2围成空间立体为，由(x2)dydzzdxdy2dv2 1

(x2)dydzzdxdy0,zdxdy 因此I200)5(x2)dydz2dxdy

dv，其中t:49ztt0，求曲线u

Dt(z):4(t2z2 9(t2z2

1, tF(t)3z2dv2dvt

z

dxdy242t3t

D(z 3tz 18tz2(t2z2)dz16t324t516t38(3t52t3 F(t8(3t46t2F(t96t(1t2),F(t0，得t1F(1565当0t1F(t0；当t1F(t0，所以曲线uF(t的凹区间为(0,1 5【练习】设函数f(x)g(x)f

f(x)1g(x),f

g(x)1f(x)2f(0)0,g(x)0（求y Ⅱg g

(x0)y【解法】（Ⅰ）f(x1g(x),g(x)1f(x),f(x1f(x), f(x)4

f(x0,f(xC1e2C2e2（其中C1C2为任意常数f(00 C2C1f(xC1e2e2),g(x2f(x)C1(e2e2), f e2e

yg(x)

exxxe2eex ex （Ⅱ）所求旋转体体积为V (

2 e

0

1t(t (t1)t 11 而t(t t(t t(t (t t (t1)2,V4[ln

1

(4ln2t t1

【练习】yOzyf(z)(f(z0,0z12)z轴旋转一周所得旋/3 z

(m2sV(t)zf2(u)du,S(t)f2(z) f2 dS(t)2f(z)df(z) . z综合上列两式,得df(z) f 2(z1 lnf(z) ln(z1)lnC,即f(z) z12由于容器的底面积为16f(0)4,进而得C4y ,0z12

V

(4z1)2dz16

(z1)dz8(z1)2

3

【练习】某公司第t年有净资产WW(t（万元，资产以每年0.05的速度连续增长．同时，公司每年支付职工工资300万元．讨论当W0分别为5000万元，6000万元，7000万元时，净资产W(t)的变化特征．解（Ⅰ）由于净资产的增长速度资产自身的增长速度职工工资增长支付速度，所dW(t)0.05W300W

分得lnW60000.05tlnC，故W6000Ce005t．由于W(0W0CW06000W6000(W06000)e005t,t0当W05000万元时，W(t为减函数，并预示公司在若干年后会破产；当W06000万元时，恒有W(t)6000万元，表明收支平衡．,,C,则满足AQC的可逆矩阵Q为 0

0

0

1 0 1 0 （D）1 1

1

1

1

A 0B，B 0 0 2列加到第3列，即B 1A 0 1 0 0 0 故Q 0 0 知，120,31,41于是有2EA的特征值全大于零，可见2EA为正定矩阵，,,．若令P3,2,，则P1A*EP等于

【详解】由A，知A* 1,i1, i 可见A*E的三个特征值为 1

21,i1,2,3.1320,3

2

EP

1

【例4】已知n阶矩阵A合同于对角矩阵 ，则必有 ) n （D）A的秩为n ii ,（DPPTAPAPT1P1TT 1 T 故有APPPTT 1 T 【例5】若f(xxx)x2xx)2[xa4)x2x]22xxax)2 定，则a的取值范围是 （A）a （B）a （C）a x12x2x3f(xxx0f(xxx0xa4)x2x 0 0

2xx

因为系数矩阵的行列式 a 2(a2)290，故方程只有零解，故对任 X0f(x1x2x30.故对任意的a 【6f(xxxxxTAx1AA22 A,0(A22A)3223)02230，故有3 fz2z2z 【证明】（1）因为AE正定，故AE的特征值i0（i1,2,3,,n），故A的特征值为征值为uii+110（i1, (2)因(EA1)TET(A1)TE(AT)1EA1EA1A特征值为征值u+11（i1, ,n），故A1的特征值1 Ax的通解为1,2,1Tk1,2,3TB,,，试求 By12

1

12231

122330从而rBr1,2,33r1,2,3,122r1,2,321

1又因1,2,3,3 12.,知 是By12的解0 0

0 01 1 230,B 203 0 10 1 1122知 , 30 01 1 1 y k k kk0 13 20 10 0 1 1 a【9

0,B ba,bcXAB

0 01 2 1 a b c 所以当a1,b2,c1ATXTBTXAB

x1x22x3T1的等价方程为T

xx

通解为(1 k 1 1 x1x22x3T0的等价方程为T

xx

通解为 2k 2 2

xx2x32的等价方程为 通解为(1 1 k)T，3xx 1 1 1k3

，故X 2 ，k,k,k为任意常k 2 3 1 k2 【例10】设有向量组（Ⅰ）(1,1,a)T,(1,a,1)T (a,1,1)T （Ⅱ）102)T(1a12)T(1,1a)T，问a为何值时，向量组 与（Ⅱ）a0时,将向量组（Ⅱ）用向量组（Ⅰ）表示 a a 1 1 1 2 1 1 1 2(a 2(a1) 1 1当a1时(,,,,,) 0 r(

当a2时（Ⅰ，Ⅱ） 2

当a1且a2时r(Ⅰ)r(Ⅱ 1而 a a

此时r(Ⅱ)=3 a 综上，当a1a2时（Ⅰ）与（Ⅱ）(2)当a0时 (,,,,,)

12 012 1 1

12

22

3,223,222证明：1与2A为n阶实对称矩阵，证明1与2正交【证明（1）设k11k22 即k111k222 211得k22112,2 k2 代入1中得k11 又10k1 1 1(A)T()TTAT 1 1两边右乘以有：TATTT)T 1 2 1 因，所以T0，即与正交 【例12】设A AE

1 a 3

a 3

a 4(a)(410,2a,3只有2个线性无关的特征向量A的特征值有重根a0或 a0A

3

A的特征值为0, 1 求解(A0E)x

2求得基础解系为

特征值0 0 1量为

2，其中k21 1 1 求解A4E)x

1 1 1 0

0 01 0,特征值40,1 1

当a4 A

A的特征值为0, 求解A0E)x

7 0 1 7 特征值0对应的特征向量为k32 1 1

k3不为0求解A4E)x

1

0 0 0 1 特征值4对应的特征向量为k40 1 1

k4不为0Axb对应的齐次方程的通解为k1(2,1,0)Tk2(2,0,1)T的特征值有0（二重，对应的两个无关的特征向量为：12,1,0)T(2,

.(1,2,

Ax

1

29，29

9A 一个特征值，1,2,2)TP,,， P1APA

其中

9 P1

12 5 4

APP1

4 9 1 4A100PP1100P100P1999AQTAQQ1AQ1 且

求正交矩阵Q【详解】（1）A的三个特征值为12132A1232 AaaAAaAaAaAa2a，可见aa1是属于特征值23

T一个特征向量．设1的特征向量为x ，则由A为实对称矩阵知xa0 2 即xx

0

，将a

10 10

1 (,

2111, 10

,单位化：

(1,1)

20

11

16

1

11,

2

,3

1111

221212

6 6261616

则Q,,

于 A,,, 1 2 3 3 12 2 1 1 0 1 2从而(A*)1 A ，故二次型xT(A*)1xxxxxxx．A 2 1 1 2A 0 AA*)11A1A,知A*)11(i12,3)，即11,1．故A*)1A 2

2【例15】已知 是矩阵A 1 试确定参数ab及特征向量 2 1

311,由对应三个分量相等， a3 1 1b2解得21211b21,b05a31a 2由（1）解得的a3,b0AA

1

E

可见1

的三重根，但秩r(EA)=2,应的特征向量线性无关的向量的个数。从而1对应的线性无关特征向量只有3r(EA)A 【例16】设二次型f(x,x,x)xTAx，A为实对称矩阵，A的主对角线元和为 11且AB0，其中B （

2【详解】(1AB0，有r(Ar(B) 1 1又B 3 2，故r(B)2，故r(A) 2 0r(1，故120AA的主对角线元和为3，所以由特征值的性质有123333A的特征值。又由AB0

A10A101

A10A101 11

0对应的两个无关的特征向量.设特征值 0 0 x1x2x3 xx0 33的一个特征向量为31,1,

1

，

，

11111 11

0 2令Q2令Q123QTAQ 0AQ0 0222 3（2）所用的正交变换为xQy，为f3y23【例1】设A与B是两随 P(B)0.6且P(A|B)0.5，则P(AB) (A) P(

0.5P(B)0.6PAB)所以 B)1P(AB)1P(B)P(AB)0.70.002,0.001，则当接受信号不清时，最有可能发出的信号为（）. PA0 PA1 PA2 PA3

P

【例3产品X是一个随量,其分布函数与概率密度数分别为F(x),f(x).产品已记为(x，

f；1F设某产 的失效率函数为(x)，其中0为参数，求产 X的数((x)limP(xXxx|X

P(xXxx,XxP(XlimP(Xxx)P(Xx)limF(xx)F(x) f1F(

x1 1F将(x)代入得 1F

ln1F(x) 两边积分得xdt xln1F(t)dt xCln1F(x)，即1F(x)exC，F(0)PX0)0,得C0 F(x)1ex1 服从指数分布，所以EX1 A发生概率为p，不发生的概率为1p0p1.Y为A首次发生时前面的试验次数，则E(Y) 1p【解析】解法1：Y的所有可能取值为0,1, E(Y) kpq kE(Y) kpq kk k 11 2 1.解法2：若记X为A首次发生的试验次数，其概率分布为：PXkpqk-1,k1, X~GepEX)

.X与YXY1p 1E(Y)E(X)1 1 若取出n个（n10，其中次品个数记为Y，则下列正确的是（EX（C）EX

EXH(n,10,H(n,10,X~X~B(n,5【分析】由题 故EXEYn42 EXE

5

Y服从超几何分 ，【例6】设X的概率密度f(x)Aex2(x)，则E(X2eX)

343 【分析】由f(x)dxAex2dxAex2dx

A1f(x)1ex2

2(x) 2X~N0,1 2 EX2eX

x2ex1ex2dx

x2

1 e4 x2 1 22121e4EY

1(其中Y~N(,)21 e4DYEY2 1 1 1 e4 e4 2【例7】设X为非负的连续型随量，对任意t0，下列正确的是（ （A）P(Xt)1 （B）P(Xt) （C）P(Xt)1 （D）P(Xt)1 【分析】设随量X的密度函数为f(x)， P(Xt) f(x)dx f 11 xftt1１xftt x2 量X的分布函数为F(x) x,0x1，2 1（I）PX0,PX求YFX)PPX1F(1)F(10)111 F(xX0,X1X(0,1)f(xF(x12EXEX0PX0 101PX001x1dx11 FYyPYyPFXyFX

XX,0X 1当0y1FyP1XyPX2yF(2yy 当y1时，FY(y)PX1F(10) 010a1b若随机{X0}与{XY1}互相独立，令Umax{X,Y},Vmin{X,Y},P{UV1} 【答案】先求出X,Y的联合分布列，再求出(U,VP{UV因为{X0}与{XY1P{X0XY1P{X0}P{XY1P{X0,Y(a0.4)(0.10.4)0.4.又a0.40.1b1，综上得a0.4,b 0101 0101P{UV1}P{U0,V1}P{U1,V0}00.5P{UV1}P{XY1}0.10.4XX\Y下列命题是X与Y独立的充要条件的为 p

（D）pij0（i,j1,2

X与Ypijpipj,i,jp11p12p1，即行成比例，排除

0，排除（B）p X\Y中必成立的个数为（EXYEXfX|Y(x|y)fXP{Xx,Yy}1FX(x)FY(f(x,y)fX(x)fY fXfX(x|y)f(x,y)fX(x)fY(y)f(XYf(YPP{Xx,Yy}1P{(X1P{(X(Yy)}=1P{(X(Y(Y 1,X 1,Y 均匀分布，令U0,X0.5,V0,Y0 讨论U,V求U与Y1,(x,y) f(x,y)0,其 ，求（U,V）的联合分布列P(U0,V0)PX0.5,Y018P(U0,V1)PX0.5,Y018P(U1,V0)PX0.5,Y038P(U1,V1)PX0.5,Y038由联合分布列可得，U,V先计算cov(U,YEUYEUEY， EUYuyf(x,

2

dxxydy0故cov(U,Y0U,V0已知X,YX与Y不独立且不相关的是（X与YX与Y（B（C（D）计算cov(X,Y)EXYEXEYf(x,y)1EXYEXY xyf(x,y)dxdy dxdy，其中被积函数GGS所