信号与系统习题解

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1.当取k(x,t)?JM(xt)时，其中JM(?)是M阶的第一类Bessel函数，相

应的采样定理如何表述？解：假设M?R且M??1,L?0，t1,t2,t3,t4?是方程JM?Lx??0的正根，则

JM?t1x?,JM?t2x??在区间?0,L?上构成一个完备正交系。

即当ti?tj时，

?L0xJM?tix?JM?tjx?dx?0

设x?t?是?上的一个信号，且存在区间?0,L?的一个函数??x?，使得

x?t???L0xJM?tx???x?dx

则x?t?可以按如下方式重构:

?x?t???x?t?S?t?

nnn?1Sn?t???L0xJM?tx?JM?tnx?dx?L0xJ2M?tnx?dx

2.当取k(x,t)?Pt(x)时，其中Pt(x)是Legendre函数，相应的采样定理又如何表述？解：

P0(x),P1(x),P2(x)?在区间[?1,1]上构成一个完备正交当t?0,1,2,3?时，

系。即当m?n时，

?1?1Pm?x?Pn?x?dx?0。

设x(t)是?上的一个信号，且存在区间[?1,1]上的一个函数?(x)，使得

x?t???1?1Pt?x???x?dx

则x(t)可以按如下方式重构：

??x?t???x?n?S?t?nn?0Sn?t???1?1Pt?x?Pn?x?dx

?1?1Pn2?x?dx第四章

1.用一条主线将本章介绍的所有变换的物理背景和数学生长点串在一起。

2.利用复变函数的知识给出几种求反Z-变换的方法。

??解：设X(z)??n???x(n)z?n收敛域为r?z?R

(1)留数法

??把X(z)在r?其中cn?12?z?R内展为洛朗级数X(z)??n???cnzn

?jX(z)?zn?1dzn?0,?1...?:z??(r???R)

对照两式有x(n)?c?n?12??j?X(z)zn?1dz??Res(X(z)zkz?akn?1)

其中ak为X(z)zn?1在区域：z(2)长除法设X(z)?P(z)Q(z)??(r???R)内的孤立奇点

为有理分式，收敛域为r??N(z)?M(z)Q(z)z?R

a.将X(z)?P(z)Q(z)化为带分式

b.将Q(z)化为

A(z)M(z)M(z)Q(z)?A(z)B(z)?C(z)D(z)，则X(z)?N(z)?的收敛域为zA(z)A(z)B(z)?C(z)D(z)

其中B(z)的收敛域为

z>r，

C(z)D(z)?R

将A(z),B(z)降幂排列，用B(z)去除A(z)，将B(z)以z的降幂排列

A(z)B(z)???(n)z?xn?0?n?(0)z0?x?(1)z?1?x?(2)z?2???x

C(z)D(z)将C(z),D(z)升幂排列，用D(z)去除C(z)，将

C(z)D(z)?1以z的升幂排列

??n????(n)z?n?x?(?1)z1?x?(?2)z2?x?(?3)z3??x

?(n)c.从而得x(n)?Z?1(N(z))?x(3)部分分式展开法设X(z)?P(z)Q(z)为有理分式

?N(z)?M(z)Q(z)a.将X(z)?P(z)Q(z)化为带分式

b.将Q(z)有理分解：

若Q(z)?(z?z1)(z?z2)?(z?zn)无重根，将

M(z)Q(z)?A1z?z1?A2z?z2???Anz?zn

中的系数A1,A2,?,An按如下公式求出

Ak?(M(z)Q(z)(z?zk))|z?zkn，

nk?1,2?,n,nl若Q(z)?(z?z将

1)1(z?z2)2?(z?zl)n1?n2???nl?n

M(z)Q(z)?A11z?z1???A1n1(z?z1)n1???Al1z?zl???Alnl(z?zl)nl

中的系数按如下公式求出

Ajk?1d(nj?k)(nj?k)(nj?k)!dz(M(z)Q(z)Ajk(z?zj)j)|z?zkn，k1?1,2,?,nj,j?1,2,?,l.

c.求出所有的Z?1((z?zj)k)?AjkZnj?1((z?zj)?1k)，进而得出

lx(n)?Z?1(N(z))???j?1k?1AjkZ(1(z?zj)k)

3.写出拉普拉斯变换的正反变换公式，并用Laplace变换替代Fourier变换，改写其次章中图解法求频谱的方法。

解：设x(t)为(??,??)上的有限分段函数，每一段上是一个多项式。1）.找出x(t)的所有不连续的分段点tt1j(j?1,2,?,s1)11,t12,?,t1s1，在休止点

处，根据x(t1j?0)?x(t1j?0)的取值画箭头:

当当

x(t1j?0)?x(t1j?0)?0时，箭头冲上;时，箭头冲下。

x(t1j?0)?x(t1j?0)?0

2）.对x(t)逐段求导(忽略分段点)得x'(t)，求出x'(t)的新的不连续的分段点t21,t22,?,t2s2，在休止点t2j(j?1,2,?,s2)处，根据x'(t2j?0)?x'(t2j?0)的取值画箭头:

当当……

n）.假使首次在各个分支上出现x(n)(t)?0，中止求导，x(t)的n阶广义导数依照如下公式给出:

x'(t2j?0)?x'(t2j?0)?0时，箭头冲上;时，箭头冲下。

x'(t2j?0)?x'(t2j?0)?0

dx(t)dtnns1???j?1s2(n?1)(t?t1j)[x(t?t2j)[x(0)(t1j?0)?x(t2j?0)?x(0)(t1j?0)](t2j?0)]???j?1sn(n?2)(1)(1)

?????j?1(0)(t?tnj)[x(n?1)(tnj?0)?x(n?1)(tnj?0)]仿照Fourier变换的证明，易证得

?dnx(t)?nnL???sL?x(t)??sX?s?n?dt?又

L??(t?a)????????(t?a)e?stdt?e?sa

m?sa所以L??所以

(m)(t?a)??sL??(t?a)??sem

?dnx(t)?X?s??nL??nsdt??1s1??sj?1?1e?st1j[x(0)(t1j?0)?x(1)(0)(t1j?0)](1)s2??j?1snse?2?st2j[x(t2j?0)?x(t2j?0)]

????j?1se?n?stnj[x(n?1)(tnj?0)?x(n?1)(tnj?0)])4.从讲义中找出Hilbert变换的定义，并对瞬时频率与频率进行区分。5.给出含参变量积分?0Tsin(?(v?t))e2?j2?fvdv的数值解的程序。

6.在窗口Fourier变换和小波变换中，对基底进行局部修正起到了关键作用，分别对两种变换中的修正方法进行描述。7.证明Walsh函数列{Wal(k,t),k证明：

?0,1,2,...}是L2([0,1])的完备正交基。

正交性易证，见讲义，略。

下面证完备性。将区间[0,1]等分为2n份：??i上取常值的所有函数所组成的空间为Mn0,?1,?,?2n?1，记在每一小段

，显然Mn是一个2n维的线

性空间且{Wal(k,t),k?0,1,2,?,2?1}?Mnnn。由Walsh函数列的正交性知，

{Wal(k,t),k?0,1,2,?,2?1}是Mn空间中的线性无关函数，又恰好数目为

nn2n个，所以{Wal(k,t),k?0,1,2,?,2?1}是M上的完备正交基。又区间[0,1]?上的所有阶梯函数组成的线性空间D稠于L2([0,1])，而?Mn稠于D，

n?1所以由{Wal(k,t),k?0,1,2,...}张成的线性子空间稠于L2([0,1])，所以

{Wal(k,t),k?0,1,2,...}是L2([0,1])的完备正交基。

第五章

1．编译一种FFT程序，并与Matlab中附带的FFT比较速度，调

整你的程序，使之达到与Matlab中的程序一致的速度。假使在GPU环境中，你能提高多少?

2．编译随机产生素数的程序，并求出对应素数p的倒序重排q。是

否存在正整数N，使得所有不超过N的素数的倒序重排也不超过N?假使不唯一，给出这样的N的集合。3．写出快速相关的程序。

4．将圆周卷积替代线性卷积的来龙去脉以及实现的技巧写出来。5．从网上获取知识，写出矩阵的Kronecker乘积的综述，特别指

出已知的应用和潜在的应用。

6．将本章中“求上(下)确界的问题转化为求矩阵的最大特征根问

题〞的技巧整理出来，并探寻当前研究论文中使用该技巧的其他例子(越多越好)。

第六章

1.因果线性时不变连续系统的微分方程为

dy(t)dt22?6dy(t)dt?8y(t)?2x(t)，

试用傅里叶分析法求系统对x(t)?te?2tu(t)的响应。解：

对方程两边做拉普拉斯变换s2Y(s)?6sY(s)?8Y(s)?2X(s)又X(s)?于是

Y(s)?2(s?2)(s?6s?8)221(s?2)2

?2(s?2)(s?4)3??1/4s?2??1/2(s?2)2?1(s?2)3??1/4s?4

上式两边做拉普拉斯逆变换得

y(t)?????????1414e?2tu(t)?12te2?2t12?2t1?4tu(t)??teu(t)?eu(t)24?e?4t[(1?2t??2t)e?2t

]u(t)2.试计算AR、MA、ARMA模型的传递函数，并写出高斯白噪声信号通过AR、MA、ARMA模型的功率谱。解：

设高斯白噪声?(t)的均值为零，方差为?21)

AR(p)-过程：

X(t)???akX(t?k)??(t)

k?1p运用第十二讲Z-变换提到的后移算子的方法，可知其传递函数为

H(z)?11?a?11z?...?apz?p

进而可求得X(t)的功率谱密度为

S(?)?H(ej?)2?2,??????

2)MA(q)-过程：

qX(t)??bkX(t?k)??(t)

k?1运用第十二讲Z-变换提到的后移算子的方法，可知其传递函数为H(z)?1?b?1?q1z?...?bqz

进而可求得X(t)的功率谱密度为

S(?)?H(ej?)2?2

3)ARMA(p,q)-过程：

pqX(t)???akX(t?k)??bl?(t?l)??(t)

k?1l?1运用第十二讲Z-变换提到的后移算子的方法，可知其传递函数为?1?qH(z)?1?b1z?...?bqz1?a1z?1?...?apz?p

进而可求得X(t)的功率谱密度为

S(?)?H(ej?)2?2

第七章

1.用代价函数统一认识各种判决准则。见讲义第三十讲其次部分

2.匹配滤波器从数学角度看就是一个满足如下积分方程

?T0h0(z)R(t?z)dz??2s(T?t),0?t?T

的函数h0(t)，所以匹配滤波器的设计就是给出该积分方程求解的一种算法。请设计一种好的算法。(读者可以仅就功率谱Sn(t)(?)?情形给出解)

提醒:上述积分方程求解问题虽然是数学中的问题，但数学系一般不专门开设积分方程求解的课程，而只有微分方程数值解的相关课程，原因是积分方程往往可以转化为微分方程来求解。本章的积分方程也不例外。在匹配滤波器一讲我们遇到的积分方程为

2?????22的

?或写为

T0Rn(t)(t?z)h(z)dz?s(T?t),0?t?T

?T0Rn(t)(t?z)h(z)dz?s(t),0?t?T(1)

称为第一类Fredhlom积分方程。今后我们还会遇到积分核为

Rn(t)(t?z)?N02?(t?z)?Rc(t)(t?z)

的情形(白噪声与非白噪声两部分的自相关函数的叠加)，此时对应的积分方程称为其次类Fredhlom积分方程。还有一类特别的积分方程

?T0fj(s)Rn(t)(t?s)ds??jfj(t),0?t?T(2)

称为齐次积分方程。

对于第一类Fredhlom积分方程(1)，它的解可以用具有同一核的齐次积分方程(2)的待征函数和特征值来表示，称为形式解或解析解。

假设积分核是正定的，此假设保证所有规范化的特征函数构成L2(0,T)中的规范完备正交基底。假使h(t)和s(t)能量有限即平方可积，那么就有Karhunen-Loeve