圆的方程习题精讲附有详细答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——圆的方程习题精讲，附有详细答案圆的方程习题精选精讲

（1）标准方程——请看圆心和半径

从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中，我们能看见它的图形特征：圆心即定点（a，b），半径即定长r.a，b确定了圆的位置，r确定了圆的大小.

确定一个圆需要三个条件，1个圆心相当2个条件，而半径只相当1个条件.

求过点A（5，2）和点B（3，-2），圆心在直线2x-y=3上的圆的方程.点A和点B已知相当2个条件，圆心在已知直线上只相当1个条件.三个条件已知，圆的方程可定.

设圆心为（a，b）,则有

?2a?b?3?2222(a?5)?(b?2)?(a?3)?(b?2)??a?2解得?

b?1?即圆心为（2，1）.

由距离公式得半径r2=(2?5)2?(1?2)2?10

因此所求圆的方程为(x?2)2?(y?1)2?10.

具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程.假使还有某个条件未能确定，则得到的是“圆系〞（圆的集合）方程.当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件〞求出圆系方程，再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最终确定.

（2）一般方程——看圆的代数式特征假使把圆的标准方程称作圆方程的“几何式〞，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式〞.

圆的一般方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0①这是一个缺“混合二次项xy〞、且x2和y2两项系数相等且不为零的二元二次方程.它的图形是否为圆，还有限制条件.

D??E?1?将①配方得整理得?x????y???D2?E2?4F②

2??2?4?E??D22（1）当D?E?4F?0时，依②知①表示以??，??为圆心，

2??21D2?E2?4F为半径的圆；2（2）当D?E?4F?0，①表示点圆??222222??E??D，??；

2??2（3）当D?E?4F?0，①不表示任何图形.

已知方程x2+y2-2(m+3)x+22(1-4m2)2y+16m4+9=0表示一个圆.

(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程.

(1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即：

1

4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-210.（3）直线与圆的位置关系——由心线距确定判断直线与圆的位置关系有两种方法：

①几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断

d?r?相交，d?r?相切，d?r?相离

②代数法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“Δ〞进行判断：

??0?相交，??0?相切，??0?相离的距离为22,求直线l的倾斜角的取值范围.

圆（x-2）2+（y-2）2=18的圆心为A（2，2），半径为r=32.当A到l的距离d=2时，圆上恰有三个点到l的距离为22；当d2时，圆上有两点到l的距离为22.

如右图，当d=AC=2时，OA=22，?AOC=30°，∴?COx=15°.

在另一极端位置l′时，其倾斜角为75°.∴所求角的范围为[15°，75°]

圆x2?y2?4x?4y?10?0的圆心为（2，2），半径为32.∵圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22，∴圆心到直线的距离小于或等于2.

3?164747??,?0?r?.(2)r=?7?m???7777???x?m?31202

(3)设圆心为(x，y)，则?消去m得：y=4(x-3)-1，∵-0)，Q(x，y).

PQ|OP|1??，∵OQ为∠AOP的平分线，∴

QA|OQ|3∴Q分PA的比为

1.31?x?3?0?3?3(x?1)?x?014?4?1?x?x?1???033即?∴?

14??y?yy0??00?3?33??y0?y?141??3?

16?3?162y?1.又因y0>0，∴?x????9?4?939∴Q的轨迹方程为(x?)2?y2?(y?0).

4162x02＝１，且y02设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=方程为y=x2tan

?，则OQ直线2?=kx①2sin?sin?kPA＝(x－3)②,∴直线PA方程为y=

cos(?3)cos??32k?k2?(x?3)??k(x?3).消去k有由Q满足①②且k=tan.由②得y=1?221?k2k2?1?321?ky?(x?3)3,∴x2+y2－x?0，由图知y>0.y=x222y?1x23故所求Q点轨迹方程为x2＋y2－x=0(y>0).

24

上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法.（2）待定系数法——把方程（组）带进几何

当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程.其基本思路是：先定性，再定型，最终定量.

求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.

22??x??1?x??6?x?y?6x?4?0解方程组?得?或?

22y?3y??2???x?y?6y?28?0?∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2).

设所求圆方程为：x2＋y2＋dx＋ey＋f=0

??(?1)2?32?d?3e?f?0?d??1?????(?6)2?(?2)2?6d?2e?f?0??e?7∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋

?d?f??32e??????????4?0??2?2?7y－32=0.

22??x??1?x??6?x?y?6x?4?0解方程组?得?或?

22??y??2?x?y?6y?28?0?y?3∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2).设所求圆方程为：(x－a)2＋(y－b)2=r2

1?a??2?(?1?a)2?(3?b)2?r2??7????(?6?a)2?(?2?b)2?r2??b??∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－

2?a?b?4?0???2178??r?4?32=0.

设所求圆方程为：x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2+6y－28)=0即：

66?4?28?x?y??01??1??1??33???∴圆心为??,??又∵圆心在直线x－y－4=0上∴

1??1????33????4?0∴λ=－71??1??x2?y2?∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0（3）几何法——与向量或三角沟通

直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是

半径2=弦心距2+半弦长2.

5

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知

|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x2?6x?y2?2y?0关于直线OB对称的圆

的方程；（1）设

??u2?v2?1?|AB|?2|OA|AB?(u,v),则由、,即????|AB|?|OA|?0?4u?3v?0,?0得

0?u?6?u??6,或?.由于OB?OA?AB?{u?4,v?3},?v?8?v??81x.2所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.

（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y?由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x,y）则

y?1?x?3?2??0??x?1?22,得,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.???y?3?y?1??2??x?3（4）参数法——与函数或不等式接轨

当动点P（x,y）直接找不出坐标x,y之间的关系时，可设动点P（x,y）满足关于参数t的方程

?x?x(t)（t是参数）③?y?y(t)?则由方程组③消去参数t，即求得动点P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.点P（x，y）在圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A（2，2），B（2，-2）是平面上两点，求AP?BP的最值.

∵AP?(x?2,y?2),BP??x?2,y?2?,

∴AP?BP=?x?2,y?2???x?2,y?2???x?2???y?2??y?2??x2?y2?4x

2设x2+y2+4x=k，即（x+2）2+y2=4+k，视为以K（-2，0）为圆心，4?k为半径.(问题转化为求半径的取值范围)

∵x、y在圆?x?1???y?1??1上运动，而点K（-2，0）在圆C外，

2222又两圆心距为(?1?2)?(?1)?10

当圆K与圆C内切时4?k取最大值，最大值为10+1，此时k=（10+1）

2

-4=7+210.

当圆K与圆C外切时4?k取最小值，此时有4?k+1=10，k?7?210.即x2+y2+4x的最大值为7+210，最小值为7?210.

6

习题精选精讲圆标准方程

已知圆心C(a,b)和半径r，即得圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2；已知圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2，即得圆心C(a,b)和半径r，进而可解得与圆有关的任何问题.

一、求圆的方程

例1(06重庆卷文)以点(2,?1)为圆心且与直线3x?4y?5?0相切的圆的方程为()

(A)(x?2)2?(y?1)2?3(B)(x?2)2?(y?1)2?3

(C)(x?2)2?(y?1)2?9(D)(x?2)2?(y?1)2?9解已知圆心为(2,?1)，且由题意知线心距等于圆半径，即d?∴所求的圆方程为(x?2)2?(y?1)2?9，应选(C).

点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2即得圆的方程.

二、位置关系问题例2(06安徽卷文)直线x?y?1与圆x2?y2?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是()

(A)(0,2?1)(B)(2?1,2?1)(C)(?2?1,2?1)(D)(0,2?1)

解化为标准方程x?(y?a)?a，即得圆心C(0,a)和半径r?a.

2226?4?53?422?3?r，

2a2?2a?1?2a2，解得?2?1?a?2?1，注意到a?0，∴0?a?2?1，故

选(A).

点评：一般通过比较线心距d与圆半径r的大小来处理直线与圆的位置关系：d?r?线圆相离；d?r?线圆相切；d?r?线圆相交.

三、切线问题

例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆x?y?4x?2y?为()

22∵直线x?y?1与已知圆没有公共点，∴线心距d?a?1?r?a，平方去分母得

5?0相切的直线方程211x(B)y?3x或y??x3311(C)y??3x或y??x(D)y?3x或y?x

335522解化为标准方程(x?2)?(y?1)?,即得圆心C(2,?1)和半径r?.

22设过坐标原点的切线方程为y?kx，即kx?y?0，∴线心距

(A)y??3x或y?7

d?2k?1k2?1?r?51，平方去分母得(3k?1)(k?3)?0，解得k??3或，∴所求23的切线方程为y??3x或y?半径来处理切线问题.

四、弦长问题

1x，应选(A).3点评：一般通过线心距d与圆半径r相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的

例4(06天津卷理)设直线ax?y?3?0与圆(x?1)2?(y?2)2?4相交于

A、B两点，且弦AB的长为23，则a?.

22解由已知圆(x?1)?(y?2)?4，即得圆心C(1,2)和半径r?2.

a?12AB2222)?r，∴(∵线心距d?，且d?(，即)?(3)?2222a?1a?1(a?1)2?a2?1，解得a?0.

点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r所组成的直角三角形中处理弦长

AB22)?r2.问题：d?(22a?1五、夹角问题

例5(06全国卷一文)从圆x?2x?y?2y?1?0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()

22133(B)(C)(D)025222解已知圆化为(x?1)?(y?1)?1，即得圆心C(1,1)和半径r?1.

设由P(3,2)向这个圆作的两条切线的夹角为?，则在切线长、半径r和PC构成的

(A)

直角三角形中，cos?225点评：处理两切线夹角?问题的方法是：先在切线长、半径r和PC所构成的直角

?2，∴cos??2cos2??1?3，应选(B).5三角形中求得

?的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角?问题.222六、圆心角问题

例6(06全国卷二)过点(1,2)的直线l将圆(x?2)?y?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k?.

22解由已知圆(x?2)?y?4，即得圆心C(2,0)和半径r?2.

设P(1,2)，则kPC??2；∵PC?直线l时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l的斜率k??1kPC?2.28

点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆

心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.

七、最值问题例7(06湖南卷文)圆x2?y2?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是()

(A)30(B)18(C)62(D)52

解已知圆化为(x?2)2?(y?2)2?18，即得圆心C(2,2)和半径r?32.

设线心距为d，则圆上的点到直线x?y?14?0的最大距离为d?r，最小距离为

d?r，∴(d?r)?(d?r)?2r?62，应选(C).

点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d与圆半径r的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为d?r，最小距离为d?r.

八、综合问题

例8(06湖南卷理)若圆x?y?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线

22l:ax?by?0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是()

???5????](C)[,](D)[0,](A)[,](B)[,124121263222解已知圆化为(x?2)?(y?2)?18，即得圆心C(2,2)和半径r?32.

∵圆上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为22，∴

a?r?22?2，即a2?4ab?b2?0，由直线l的斜率k??代入

ba2?b2?5?2?2?3，tan?2?3，得k?4k?1?0，解得2?3?k?2?3，又tan1212?5?]，应选(B).∴直线l的倾斜角的取值范围是[,1212d?2a?2b点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距〞的七字歌得到正确而迅速地解决.经过两已知圆的交点的圆系

例1．求经过两已知圆：x?y?4x?6?0和x?y?4y?6?0的交点且圆心的横

坐标为3的圆的方程。

解：设经过两已知圆交点的圆系的方程为：

x?y?4x?6??(x?y?4y?6)?0（??-1）

22222222221，令=3得???1??1??312222∴所求圆的方程为：x?y?4x?6?(x?y?4y?6)?0即

322x?y?6x?2y?6?0

其圆心的横坐标为：x?例2．设圆方程为：

(??4)x?(??4)y?(2??4)x?(12??40)y?48??164?0其中??－4求证：不管?为何值，所给圆必经过两个定点。

9

22证明：把所给方程写为：

4(x2?y2?x?10y?41)??(x2?y2?2x?12y?48)?0

这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：

x2?y2?x?10y?41?0x2?y2?2x?12y?48?0所以，不管?为何值，所给圆必经过这两个圆的两

个交点轴对称

轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。

例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。

分析：此题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。但此题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可

y以轻松解决。

解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由kl?3，得：P1kBC??，

3∴直线BC的方程为：y??D?(0,4)B1x?4，将其与直线y=3x-1联立，解得：3oP'CA(4,1)x?37?。,?,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）

22??显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：2x?y?9?0，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。

y解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在

反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），故直线AB的方程易求得为：y??3x?4。它即为反射光线方程。4(0,4)B例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线的分别方程为

x?2y?0和x?y?1?0，求BC所在的直线方程。

PoCA(410

分析：此题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。

解：设∠B、∠C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L1对称，AC与BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应当在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。

198,?),A2(?3,0)（过程略）55于是BC方程可求得为：4x?17y?12?0

利用对称性可求得：A1(直线和圆

1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆

x2?y2?4x?4y?7?0相切，求光线L所在直线方程．

解：已知圆的标准方程是(x－2)＋(y－2)＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)＋

2

(y＋2)＝1。

设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。

由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即d?2整理得12k?25k?12?0,解得k??2

2

2

|5k?5|1?k2?1．

34或k??．故所求的直线方程是4334y?3??(x?3)，或y?3??(x?3)，

43即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．

2．已知圆C：x?y?2x?4y?4?0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．（14分）

．解：圆C化成标准方程为:(x?1)2?(y?2)2?32假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）

由于CM⊥L，∴kCM?kL=－1∴kCM=b?2??1，即a+b+1=0，得b=－a－1①

a?122直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0∴CM=b?a?3∵以AB为直径

2的圆M过原点，∴MA?MB?OMMB2?CB2?CM2?9?(b?a?3)，

2OM22?a2?b2

(b?a?3)2∴9??a2?b2②把①代入②得2a2?a?3?0，∴

23a?或a??1

2当a?3,时b??5此时直线L的方程为：x－y－4=0；当a??1,时b?0此时直线L的

22方程为：x－y+1=0

故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0或x－y+1=0．

3．（12分）求过点P（6，－4）且被圆x?y?20截得长为62的弦所在的直线方程．

11

22解：设弦所在的直线方程为y?4?k(x?6)，即kx?y?6k?4?0①

则圆心（0，0）到此直线的距离为d?|6k?4|．

21?ky由于圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△，所以(|6k?4|21?k代入①得切线方程?7x?y?6?(?7)?4?0或

1717)?(32)?20．由此解得k??227或k??1．17或

Ox?x?y?6?(?1)?4?0x?y?2?0．

4

．（

12

分

）

，已

即知

7x?17y?26?0圆

C:

P

及

直

线

l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4.?m?R?

?x?1?2??y?2?2?25（1）证明:不管m取什么实数,直线l与圆C恒相交；

（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．．解:(1)直线方程l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4,可以改写为m?2x?y?7??x?y?4?0,所以直

线必经过直线2x?y?7?0和x?y?4?0的交点.由方程组??2x?y?7?0,?x?3,

解得?

?x?y?4?0?y?1

即两直线的交点为A(3,1)又由于点A?3,1?与圆心C?1,2?的距离d?5?5,所以该点在

C内,故不管m取什么实数,直线l与圆C恒相交.

(2)连接AC,过A作AC的垂线,此时的直线与圆C相交于B、D.BD为直线被圆所截得的

最短弦长.此时,AC?5,BC?5,所以BD?225?5?45.即最短弦长为45.又直线AC的斜率kAC??1,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程

2为:y?1?2?x?3?,即2x?y?5?0.

5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

?x2?y2?x?6y?m?0解：由y?5y2?20y?12?m?0??x?2y?3?0?y1?y2?4???12?m

y1y2??5?又OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=4m?27

5PQOx∴

4m?2712?m??0解得m=3.556.已知圆C：(x+4)+y=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N.∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.

2

2

12

设圆D的方程为x2?(y?b)2?r2(r?0),那么M(0,b?r),N(0,b?r).

由于圆D与圆C外切,所以2?r?16?b2?b2?r2?4r?12.又直线MA,NA的斜率分别为kMA?b?r23,kMB?b?r23.

b?r?tan?MAN?43r43r?2323???3??MAN?.为定

b?rb?r12?b2?r24r31?2323?b?r值

7．（14分）已知圆x2?y2?x?6y?m?0和直线x?2y?3?0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将x?3?2y代入方程x?y?x?6y?m?0，得5y?20y?12?m?0．

222m?12．??5∵OP⊥OQ,∴x1x2?y1y2?0,而x1?3?2y1，x2?3?2y2，∴

设P?x1,y1，Q?x2,y2，则y1,y2满足条件：y1?y2?4,y1y2?x1x2?9?64．y1y2?y1??y2?15，3），半径r?．

228．（14分）求圆心在直线x?y?0上，且过两圆x2?y2?2x?10y?24?0，

∴m?3，此时Δ?0，圆心坐标为（－

x2?y2?2x?2y?8?0交点的圆的方程．

解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组

（0，2）．因所求圆心在直线x?y?0上，故设所求圆心坐标为(x,?x)，则它到上面的两上交点

（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有(?4?x)2?(0?x)2?x2?(2?x)2，

即4x??12，∴x??3，y??x?3，从而圆心坐标是（－3，3）．又r?(?4?3)2?32?10，故所求圆的方程为(x?3)?(y?3)?10．

22?x2?y2?2x?10y?24?0?22?x?y?2x?2y?8?0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B

解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为2x?y?3?0，

它与直线x?y?0交点（－3，3）就是圆心，又半径r?10，

22故所

求圆的方程为(x?3)?(y?3)?10．解法三：（用待定系数法求圆的方程）同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．

222设所求圆的方程为(x?a)?(y?b)?r，因两点在此圆上，且圆心在x?y?013

上，所以得方

?a??3?(?4?a)2?b2?r2?222程组??a?(3?b)?r，解之得?b?3，??a?b?0??r?10故所求圆的方程为(x?3)2?(y?3)2?10．

解法四：（用“圆系〞方法求圆的方程．过后想想为什么？）设所求圆的方程为x2?y2?2x?10y?24??(x2?y2?2x?2y?8)?0(???1)，

2(1??)2(5??)8(3??)即x2?y2?可知圆心坐标为x?y??0．

1??1??1??1??5??(,?)．1??1??

因圆心在直线x?y?0上，所以

1??5????0，解得???2．1??1??将

???2代入所设方程并化简，求圆的方程x2?y2?6x?6y?8?0

9．(12分)已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆的方程．

r

⑴设圆心P（a，b），半径为r，则|b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所

2

22

以2b＝a＋1；

|a－2b|

(2)点P到直线x－2y＝0的距离d＝，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）

5

22

＝2b－a＝1．

?a＝b，?a＝1，?a＝－1，所以?22所以?或?

?2b＝a＋1，?b＝1，?b＝－1．

所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．

10已知圆C与圆x2?y2?2x?0相外切，并且与直线x?3y?0相切于点

Q(3,?3)，求圆C的方程

设圆C的圆心为

(a,b)，则

?b?3?3??a?3?a?4或?a?0???b?0?b??43?r?2或r?6a?3b???(a?1)2?b2?1??2?所以圆C的方程为(x?4)2?y2?4或x2?(y?43)2?36

11.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为

.解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.

14

5，求该圆的方程.5|y1－y2|=|x1－x2|=得2b2－a2=1

(y1?y2)2?4y1y2?2r2?a2=2，得r2=a2+1

①令y=0，得x2－

②由①、②，

2ax+a2+b2－r2=0，

(x1?x2)2?4x1x2?2r2?b2?2r，得r2=2b2

又由于P（a，b）到直线x－2y=0的距离为±1.

5|a?2b|5，得d=，即a－2b=?555?2b2?a2?1,?2b2?a2?1?a??1?a?1综上可得?或?解得?或?于是r2=2b2=2.

?b??1?b?1?a?2b?1;?a?2b??1所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.

12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为＝2b2，

又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1

又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝

2r，故r2

|a?2b|，5所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，由此有??a?b22?2b?a?1解方程得??a?1?a??1或?由于r2＝2b2，知r＝2，

?b?1?b??1于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

13.（2023北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．

.答案：2

解析：圆心到直线的距离d＝＝3－1＝2

圆的方程例析

.求圆心坐标和半径

求以下各圆的圆心坐标和半径:（1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；

22

（3）x+y+2ay－1=0.

我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解：（1）配方

15

|3?4?8|＝3∴动点Q到直线距离的最小值为d－r

5

∴圆心为半径为r=.

（注意：这里字母

（2）配方得（x+a）2+y2=a2，∴圆心为（-a，0），半径为r=a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）.

（3）配方得x2+（y+a）2=1+a2，∴圆心为（0，-a），半径为r=

22

探讨方程x+y+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状.

解：配方得x2+（y+a）2=a2-1，当a1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r=的圆；当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）；当-12.求圆的标准方程

已知一个圆经过两点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程.

求圆的方程，需要确定圆心和半径，我们可以先设定圆心的坐标，再利用它到A、B两点的距离相等来确定，从而求得圆的方程.解：设点C为圆心，∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，

∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）.又∵该圆经过A、B两点，∴

|CA|=|CB|.解得a＝－2，

∴圆心坐标为C（－1，－2），半径r＝.

22

故所求圆的方程为（x＋1）＋（y＋2）=10.3.求圆的一般方程

△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，5）、B（－2，－2）、C（5，5），求其外接圆的方程.

此题与圆心坐标和半径没有关系，我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三个顶点都在其外接圆上，所以可以联立方程组，从而求得圆的方程.解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意得方程组解得D＝－4，E＝－2，F＝-20.∴△ABC的

22

外接圆方程为x＋y－4x－2y-20=0.

通过这部分知识的学习，我们要把握圆的标准方程，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径；把握圆的一般方程及圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径

如何确定圆的方程已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程.

根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P1P2的坐标已知，且P1P2为所求圆的直径，所以圆的半径很简单求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：

16

解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r.由中点坐标公式，得a＝＝6.∴C（5，6），再由两点间距离公式，得

＝5，b＝

∴所求的圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2

＝10.解法2：设P（x，y）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1（4，9）、P2（6，3），∴圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0，

22

化简得（x－5）＋（y－6）＝10，即为所求.

解法3：设P（x，y）是圆上任意一点.由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形，

∴（x－4）＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2，化简得x2＋y2－10x－12y＋51＝0.

∴（x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求的圆的方程.解法4：设P（x，y）是圆上不同于P1、P2的任意一点.∵直径上的圆周角为直角，∴PP1⊥PP2.（1）当PP1、PP2的斜率都存在时，

2

（2）当PP1、PP2的斜率有一个不存在时，PP1、PP2的方程为x＝4或x＝6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（*）.又P1（4，9）、P2（6，3）也满足方程（*），

2

所以，所求圆的方程为（x－5）＋（y－6）2＝10.

此题我们分别采用了4种解法求解，其中解法2技巧性最强；解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆周角是90°〞这一结论；解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路圆的切线方程

在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗？

求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程.解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4，过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4.

又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4.

将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.

解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.∵圆心（0，0）到切线的距离是2，

17

∴＝2，解得k＝－.∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.

当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.

∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.

∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.

故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x

222

－a）＋（y－b）＝r上一点A（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y

2

－b）＝r；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.假使关于k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应当将该直线补上.大家做题的时候必需依照我们所讲的认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就此题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，

＝2，解得k＝－，故所求切

线方程为－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存

例题】求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．错解1：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，4）.又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3．

（1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2，∴所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.

（2）若两圆内切，则圆心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1．∴（a－2）2＋（4－1）2＝1，这个方程无解．故探讨（1）中，两个方程均是所求圆的方程．

错解2：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）.

又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3．

由于两圆相切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2，

222

或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2.

18

∴所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.或（x-2-2）2+（y＋4）2=16或（x-2+2）2+（y＋4）2=16.

此题简单出错的有两个地方：其一是只考虑了所求圆的圆心在x轴（y＝0）上方，疏忽了圆心在直线y＝0下方的可能，遗下了漏解的隐患，如错解1．其二，只考虑了两圆外切，没有考虑两圆内切的状况，解题是不严密的，如错解2．因此在审题、解题时，一定要全面、细致地分析研究，努力战胜马虎大意、主观片面．正解：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）.又已知圆的方程化为标准式为：

（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3．

22

（1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）+（4-1）=72，得a=2±2，

222

或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2.∴所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.或（x-2-2）2+（y＋4）2=16.或（x-2+2）2+（y＋4）2=16.

（2）若两圆内切，则圆心距＝R-r＝4－3＝1．∴（a－2）2＋（4－1）2＝1，或（a－2）2＋（－4－1）2＝1，这两个方程都无解．故探讨（1）中，4个方程均是所求圆的方程

正确判断两圆的位置关系

已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系.

要判断两圆的位置关系，我们寻常有两种方法：一种是判断两圆的交点个数，假使它们有两个交点，则相交；有一个交点则外切或内切；没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和或两半径差的绝对值的大小关系，来判断两圆的位置关系.

解法一：将两圆的方程联立得，

由（1）－（2）得x＋2y＋1＝0（3）由（3）得x＝－2y－1，把此式代入（1），

2

并整理得y－1＝0（4）方程（4）的判别式Δ＝02－4×1×（－1）＝4＞0，

所以，方程（4）有两个不同的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程（3），得到x1，x2.

因此圆C1与圆C2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系.

解法二：把圆C1的方程化为标准方程形式为（x＋2）2＋（y＋2）2＝10，圆C1的圆心坐标为（－2，－2），半径长r1＝.

22

把圆C2的方程化为标准方程形式为（x－1）＋（y－4）＝25.圆C2的圆心坐标为（1，4），半径长r2＝5.

圆C1和圆C2的连心线的长为：

圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋

，两半径之差r2－r1＝5－

.

而5－＜3＜5＋.即r2－r1＜3＜r1+r2.

在解法1中，我们只要判断出圆C1与圆C2有几个公共点即可，不需要求

19

出公共点的具体坐标，也就是说只需要判断出方程（4）的判别式大于0，而不需要求解方程

直线与圆的位置关系解析

假使曲线C：x2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是．

通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围，下面我们分别从代数和几何两个方面来求.

解法一：（代数法）由

消去y得2x2+2（a-1）x+a2-2a=0，

≤a≤1+

.

由Δ=4（a-1）2-8（a2-2a）≥0，即（a－1）2≤2得1-

∴实数a的取值范围是1-≤a≤1+.解法二：（几何法）圆C与直线x+y+a=0有公共点，圆心（0，－1）到直线的距离不大于半径，

∴实数a的取值范围是1-≤a≤1+.

直线与圆的位置关系的判定方法有：①代数法：利用二次方程的判别式判断；②几何法：依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.

直线2x－y＋1＝0与圆O∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是（）.A．相切B．相交且过圆心C．相离D．相交不过圆心

要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r＝6，圆心到直线的距离为d＝

从而知0＜d＜r，所以直线与圆相交但不过圆心.故正确答案为D

求圆的切线方程的几种方法

在高中数学人教版其次册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一

点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。

例：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。

解法一：利用斜率求解

20

15．（Ⅰ）∵kAB??2,AB?BC,

22,∴BC:y?x?22.22（Ⅱ）在上式中，令y?0,得：C(4,0),∴圆心M(1,0),．又∵AM?3,．∴外接

∴kCB?（Ⅲ）∵P(?1,0),M(1,0),∵圆N过点P(?1,0),，∴PN是该圆的半径，又∵动圆

圆的方程为(x?1)2?y2?9.

N与圆M内切，∴MN?3?PN,即MN?PN?3,．

∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a?3，c?1，25x2y2?1．b?a?c?,∴轨迹方程为?954442211．用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视

图，则这个几何体的体积最多是▲cm3．

图1（俯视图）图2（主视图）

第11题图

15．（本小题总分值14分）

如图，已知圆心坐标为M(3,1)的圆M与x轴及直线y?3x均相切，切点分别为

A、B，另一圆N与圆M、x轴及直线y?3x均相切，切点分别为C、D．（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

yDN

B

M

OCAx15．（本小题总分值14分）

解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为(3,1)，∴M到x轴的距离为1，

26

即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为(x?3)2?(y?1)2?1，设⊙N的半径为r，其与x轴的的切点为C，连接MA、MC，

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即

r1??r?3，则3?rrOC=33，则⊙N的方程为(x?33)2?(y?3)2?9；

（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，

33即：圆心N到该直线的距离d=，(x?3)，x?3y?3?0，

3233则弦长=2r2?d2?33．另解：求得B（，再得过B与MN平行的直线方,）

223程x?3y?3?0，圆心N到该直线的距离d?=，则弦长=2r2?d2?33．

2此弦的方程是y?（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）

27

如图1，设切线的斜率为k，则k?kOM??1.?ky0OM?,?k??x0x0y0经过点M的切线方程是：y?y?x00?y(x?x0)0整理得x?y2y20x0y?x0?0.由于点M在圆上，所以x220?y0?r2.所求的直线方程为：x0x?y0y?r2.当点M在坐标轴上时上面方程同样适用。解法二：利用向量求解

如图2，设切线上的任意一点p的坐标?x,y?∵OM?PM，OM?（x0,y0),PM?(x0?x,y0?y)?OM?PM?0?x0?（x0?x）?y0?(y0?y)?0整理得：x?y220x0y?x0?y0.由于点M在圆上，所以x220?y0?r2.所求的直线方程为：x0x?y0y?r2.（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）

解法三：利用几何特征求解

如图2，设直线上不同于M(x0,y0)的一点P(x,y)∵OM?PM

?OM2?PM2?OP2?x20?y20?(x?x0)2?(y?y0)2?x2?y2整理得：x?y2y20x0y?x0?0.由于点M在圆上，所以x220?y0?r2.所求的直线方程为：x0x?y0y?r2.当P和M重合时上面方程同样适用。解法四：用待定系数法求解1、利用点到直线的距离求解

设所求直线方程的斜率为k,则直线方程为：y?y0?k(x?x0),即：kx?y?y0?kx0?0⑴原点O(0,0)到切线的距离等于半径y0?kx01?k2?r化简整理得：(r2?x2k?r2?y20)k2?2x0y00?0⑵由于x20?y220?r所以⑵式可化为：y2?2xx20k20y0k?0?0解得：k??x0y代入⑴式0整理得x220x?y0y?x0?y0.由于点M在圆上，所以x220?y0?r2.所求的直线方程为：x0x?y0y?r2.当斜率不存在时上面方程同样适用。2、利用直线与圆的位置关系求解：

21

图1

图2

设所求直线方程的斜率为k,则直线方程为：y?y0?k(x?x0),即：kx?y?y0?kx0?0（1）?kx?y?y0?kx0?0由?2消去y得22?x?y?r(1?k2)x2?2k(y0?kx0)x?y0?k2x0?2ky0x0?r2?0??4k2(y0?kx0)2?4(1?k2)(y0?k2x0?2ky0x0?r2)?0整理得：(r2?x0)k2?2x0y0k?r2?y0?0⑵由于x0?y0?r2所以⑵式可化为：y0k2?2x0y0k?x0?0解得：k??x0代入⑴式y0222222222222整理得x0x?y0y?x0?y0.22由于点M在圆上，所以x0?y0?r2.

所求的直线方程为：x0x?y0y?r2.当斜率不存在时上面方程同样适用。

这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。

同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，好多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。

巧构思妙解题

解题不可只是下苦功夫，要动点脑筋、施点小计，才能使题目得以迎刃而解。本文就直线与圆的问题举数例说明。

例1.已知两点A(?2，0)，B(0，2)，点C是圆x2?y2?2x?0上的任意一点，则?ABC的面积最小值是_________.

分析：简单先想到假设点C的坐标，求点C到直线AB的距离，然后将三角形面积化成函数来求最小值。想法当然不错，但繁而不巧，细心想一想，便可知AB的长为定值。只需点C到直线AB的距离最小，即圆心到直线AB的距离与半径的差，这样可以轻松求出答案为：3?2.

例2.过点A(3，1)和B(1，3)，圆心在直线2x?y?0上的圆的方程为_________.分析：若先假设圆的方程，再根据已知条件求出圆的方程，此法可行，但运算不简单，实际上，圆心除了在已知直线2x?y?0上，还在线段AB的垂直平分线上，简单求出圆心是（0，0），圆的方程即：x?y?10.

222例3.已知直线l：x?y?2?0与圆C：x?y?4ax?2ay?4a?0，设d是圆

22C上的点到直线的距离，且圆C上有两点使d取得最大值，则此时a?_______，d?______.

分析：只有直线过圆心时，圆上才能有两个点同时到此直线的距离最大，其距离即半径。这样将圆心坐标(?2a，a)代入直线l的方程即可求得a??2，所以圆半径即所求的d?2.

例4.直线a?x?1??b?y?1??0与圆x?y?2的位置关系是_________.

22分析：直线过定点(?1，?1)，此点在圆上，过圆上一点的直线与圆有一个或两个

22

交点，故应当填：相交或相切。

例5.在直角坐标系中，射线OA，OB的方程是x?y?0(x?0)，x?y?0(x?0)。动点P在?AOB内部，且点P到?AOB两边的距离的平方差的绝对值等于1，则动点P的轨迹方程是（）

1A.xy?.B.

21xy?.C.

2