几种不同类型行列式的计算

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摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最终由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

关键字:排列；行列式；范德蒙行列式；拉普拉斯定理；加边法（升阶法）；数学归纳法。

ThecalculationmethodofNdeterminant

Abstract:Determinantisanbasicandimportantsubjectinadvancedalgebra,itisveryusefulinmathematic.Itisveryimportanttoknowhowtocalculatedeterminant.Thepaperfirstintroducedthebasicnatureofdeterminant,thenintroducedsomemethods,Finally,withtheotherdeterminantofknowledgeonthelinksinseveralotherways.,throughthisseriesofmethodswillfutherenhanceourunderstandingothedeterminat,onourlearningwillbringveryusefulhelp.

Keywords:Determinant;VandermondeDeterminant;Matrix;Eigenvalue;Laplacetheorem;Factorial;Auxiliarydeterminantmethod前言

行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的二个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特别形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精华。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而透露其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特别的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法，这将在文中一一讨。

第一章行列式的定义及性质

1.1行列式的定义

1.n级排列

a11a21?an1a12?an2?a1na2n??a22???(?1)?(j1j2?jn）a1j1a2j2?anjnj1j2?jn?ann(1)基本概念:排列,反序,反序数,排列的奇偶性(2)主要结论

n级排列共有n!个,其中奇偶排列各占一半

对换改变排列的奇偶性

任意一个n级排列都可以经过一些对换变成自然顺序,并且所作对换的个数与这个排列有一致的奇偶性2.n级行列式的概念

其中j1j2?jn是1,2,?,n的一个排列,?j1j2?jn表示对1,2,?,n的所有排列求和

1.2行列式的性质

行列式的性质(1)有关行列式的转置行列互换,行列式不变(2)有关行(列)的变换互换行(列),行列式反号

用一个数乘某行(列),就等于用这个数乘这个行列式把某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变(3)有关按行(列)分解为两个行列式的和

假使某行(列)是两组数的和,那么行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式的这一行(列)分别是第一组数与其次组数,而其它各行(列)都与原行列式一致

(4)有关行列式等于零

两行(列)成比例,行列式等于零4.行列式依行依列展开

(1)基本概念:子式,余子式,代数余子式(2)主要公式

n?k?1naikAjk?D,i?j;???0,i?j.?D,s?t;???0,s?t.

?l?1alsAlt5.克拉默规则

若线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2???????????????ax?ax???ax?bn22nnnn?n11的行列式D?0,则它有唯一解

xj?DDj,j?1,2,?,n

其中Dj是把D的第j列换成常数项b1,b2,?,bn所得的行列式

其次章行列式的计算

n阶行列式的计算方法好多，除非零元素较少时可利用定义计算（①依照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观测所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

2.1利用行列式定义直接计算

00??02???0010?0000?0n例计算行列式

Dn??n?10

解Dn中不为零的项用一般形式表示为

a1n?1a2n??an?211nna?!.n(n?1)(n?2)2该项列标排列的逆序数t（n－1n－2?1n）等于

(n?1)(n?2)，

故Dn?(?1)2n!.

2.2利用行列式的性质计算

例：一个n阶行列式Dn?aij的元素满足aij??aji,i,j?1,2,?,n,则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由aij??aji知aii??aii，即aii?0,i?1,2,?,n

0?a12a120?a23??a2na13a230??a3n?????aaa1n2n3n故行列式Dn可表示为Dn??a13??a1n，由行列式的性质

?00?a12?a13??a1n0a12a13?a1na120?a23??a2n?a120a23?a2nA?A?，Dn?a13a230??a3n?(?1)n?a13?a230?a3n??????????a1na2na3n?0?a1n?a2n?a3n?0?(?1)nDn

当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.

2.3化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。由于利用行列式的定义简单求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般状况下，计算往往较繁。因此，在大量状况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

1?12?31?33?79?5例1计算行列式D?204?21．

3?57?1464?410?102解这是一个阶数不高的数值行列式，寻常将它化为上（下）三角行列式来计算．

?2??3?1??3??2?1?1?12?311?12?311?4??3?1??00?10?25??4?1?0?0204?1D204?1?2???3??00?10?2?4??2?0?00?21?530?21?5300022?20232?20

-12-32040-1001-10221-1-22-2

?4???3?10?0?13020?1?3401?1?21?12023?1?3401?1?2??1?2??1???1???6??12.?5??2?3??5??2?4?0?0000?10000?100002?60000?6

1?a1a2a3?ana11?a2a3?an例2计算n阶行列式D?a1a21?a3?an．

?????a1a2a3?1?an解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是一致的，且各列的结构相像，因此n列之和全同．将第2，3，?，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．

1??a1?a2???an?a2a3?an1a21??a1?a2???an?1?a2a3?ann11?a2D?1???i?1?1?ai?2,?,n?a1?a2???an?a23?an???1?a?i?1???????a?2i?1??1??a1?a2???an?a2a3?1?an1a21a2a3?ann010?0nn?i???1???1?1?i?2,?,n??a?i?000???a?i??1?1?i?1??1???????i?1??ai.i?1000?1

abb?bbab?b例3计算n阶行列式D?bba?b?????bbb?a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，?，n列都加到第1列上，行列式不变，得

a3?a3?1?a3???a3?ananan?1?ana?(n?1)ba?(n?1)bD?a?(n?1)b?a?(n?1)b10?[a?(n?1)b]0?0bab?bba?b0?0bba?b?????b0a?b?0bb11bab?bbba?b?????bbb?ab?[a?(n?1)b]1?a?????b00?a?b?1?[a?(n?1)b](a?b)n?1

例4：浙江大学2023年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2023年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：

12Dn?3?n234?1345?2????n?1n1?n?2n12?n?1

[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

解：

12Dn?3?n111?1?n111?1???111?n?11?n1?11(i?2,?,n)ri?r1100??n100?0???10?n?1?n0?012?n?1?1?01???n0?0010?0?n00?(i?2,?,n)120??n01n(n?00?r1?1rn?????n?1)2??nin?20?000?n?n?1?n?00?n0?(n?1)(n?2)?12n?n(n?1)2?(?n)n?1?(?1)?(n?1)n(n?1)2?nn?1???1?2

2.4降阶法（按行（列）展开法）

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

123?181920232?171819例1、计算20阶行列式D20?321?161718??????202318?321[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直

至化许多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有好多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

0?n?n0??0000解：

12D20?3?20232?1913(i?2,?,20)321?18100?00???181716?191817?2122?122?00202318?1122?20?21?(?1)ci?1?ci(i?1,?19)123?19201?1?1??1?111?1??1?1???111?111??1?1111?1?1?120?00?????3???1?14?202320?1ri?r1?218??21?21800

a00a0?0000a?00?????000?a0100?0a例2计算n阶行列式Dn?0?01

解将

Dn

按第1行展开

a0Dn?a0?00a?0?0a0??(??0?a0n?10010?0aa?)???00

a00000???0??10nn?200?a?(?1)?a?ann?2nn?1(?1)a.

a0例3计算n（n≥2）阶行列式

0a0?0行

00a0?0000a?0?????展

000?0开

00100?a，

得

．

D?0?1解

a0a?0

????按

00?000?a第一

0a?00?????D?a0?0???1?1?n?01?．a0再将上式等号右边的其次个行列式按第一列展开，则可得到

D?a???1?n1?n??1??n?1??1an?2?a?ann?2?an?2?a?1?．

2

2.5递（逆）推公式法

递推法是根据行列式的构造特点，建立起推下去，从而求出最终利用

，

的值。有时也可以找到得到

的值。

与与

的递推关系式，逐步，

的递推关系，

［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的一致结构假使没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

???10?00?????1?000?????000?000???????00例1计算行列式Dn?.

???1?????解：将行列式按第n列展开,有Dn?(???)Dn?1???Dn?2,

Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2),Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2),

1x11x2x22??????1xnxn2例4计算行列式Dn?x1x1x12

?n?2n?x2x2n?2?xnn?2nnxn解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式

1x1x1x1x1x1n21x2x22???????1xnxnxnxn21yy2P(y)??n?2n?1n?x2n?2n?1?n?2?yyn?2n?1n=

x2x2nn?1nxny?(y?x)?(xii?11?j?i?ni?xj)

易知Dn等于P(y)中yn?1的系数的相反数,而P(y)中yn?1的系数为

nn??k?1xk?(xi?xj),因此,Dn??k??1xk?(xi?xj)

1?j?i?n1?j?i?n

例5、计算n阶行列式

(a?n?1)(a?n?1)Dn??a?n?11n?1n?2(a?n?2)(a?n?2)?n?1n?2??(a?1)(a?1)?n?1n?2aan?1n?2?a1

a?n?21??a?11解：显然该题与范德蒙行列式很相像，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，?,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，?,2行对换，继续仿此作法，直到最终将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+?+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到

1n(n?1)1a?n?2?n?2n?1n?2n?1??1a?1?n?2n?11a?aan?2n?1a?n?1?(a?n?1)(a?n?1)Dn?(?1)2

(a?n?2)(a?n?2)??(a?1)(a?1)上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

n(n?1)nn?(1)Dn?(?1)

2?1?j?i?n[(a?n?i)?(a?n?j)]?(?1)2?1?j?i?n(i?j)

2.7加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

它要求：1保持原行列式的值不变；2新行列式的值简单计算。根据需要和原

行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个一致的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的状况。

x?a1a1a2x?a2a2?a2?????ananan?x?an1第i行减第1行例1计算n阶行列式Dn?a1?a1

1a1?ana1x0?0a20x?0?????an00?x解：Dn?0?0n?1Dni?2,?,n?1?1??1

1???j?1ajxa1x00a20x0????an00x000naj??n?x?1???

j?1x??

1?a1111?a21?1111?a3?1?????111?1?an例2计算n（n≥2）阶行列式Dn?1?1，其中

a1a2?an?0．

解先将Dn添上一行一列，变成下面的n?1阶行列式：

10Dn?1?0?011?a11?1111?a2?1?????111?1?an．显然，Dn?1?Dn．

1?1将Dn?1的第一行乘以?1后加到其余各行，得Dn?1??11a10?0101?a2?0?????1ai?1100．?an??1因ai?0，将上面这个行列式第一列加第i（i?2，?，n?1）列的

n倍，得：

1?1Dn?Dn?1??1??1a1n?1?0??1???i?1ai???01a10?00a2?010a2?0?????????0100??an1??i?11ai1a10?010a2?0?????100?an

00?0??a1a2?an?1???an0n?i?11???ai?

2.8数学归纳法当

与

是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利

用不完全归纳法寻觅出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。由于给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）

x0?1x?0an?10?1?0an?2?????00?xa200??1a1?x例1计算n阶行列式Dn??0an

解：用数学归纳法.当n=2时，D2?xa2?1x?a1?x(x?a1)?a2?x?a1x?a2

2假设n=k时，有Dk?xk?a1xk?1?a2xk?2???ak?1x?ak则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得

Dk?1?xDk?ak?1?xk?1?x(x?a1x2kk?1???ak?1x?ak)?ak?1?a1x???ak?1x?akx?ak?1

k由此，对任意的正整数n，有Dn?xn?a1xn?1???an?2x2?an?1x?an

cos?112cos?1?00012cos??00??????000?2cos?1000?12cos?例2计算行列式

Dn?0?00.

解：D1?cos?,D2?cos2?,于是猜想Dn?cosn?.

证明：对级数用其次数学归纳法证明.

n?1时,结论成立.假设对级数小于n时，结论成立.将n级行列式按第n行展开，有

cos?1Dn?2cos??Dn?1?(?1)2n?112cos?1?00012cos??00??????000?2cos?1000?01n?1?0?00?2cos??Dn?1?(?1)2n?1Dn?22n?1?2cos??cos(n?1)??(?1)?cos[(n?1)???]?cosn?cos(n?2)?.

?2cos??cos(n?1)??cos(n?1)?cos??sin(n?1)?sin?例3计算行列式

解：

猜测：证明

（1）n=1,2,3时，命题成立。假设n≤k–1时命题成立,考察n=k的情形：

故命题对一切自然数n成立。

2.9拆开法

拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个繁杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。

a1??1a22????anan?an??n例1计算行列式Dn?a1?a1a2???a2

a1a2a2??2?a2????anan?an??n?1?0?0a2a2??2?0????anan?an??na1?0?0a2????anan?解：Dn?a1?a1?2?0?n??1Dn?1

??a1?2??n??1Dn?1=????1?2??n?1??n?i?1ai???i?．

1?x1y12?x1y22?x2y2?2?xny2????n?x1ynn?x2yn?n?xnyn1?x2y1?1?xny1例2计算n（n≥2）阶行列式Dn?．

解将Dn按第一列拆成两个行列式的和，即

1Dn?1?12?x1y22?x2y2?2?xny2????n?x1ynn?x2yn?n?xnyn?x1y1x2y1?xny12?x1y22?x2y2?2?xny2????n?x1ynn?x2yn?n?xnyn．

再将上式等号右端的第一个行列式第i列（i?2，3，?，n）减去第一列的i倍；

其次个