2023年经济数学基础新版资料

经济数学基础复习题

微分部份

一、填空题：

1、函数丫=，4一/+ln(x+l)的定义域是(―1,2］。

2、函数/“)=—3—的间断点为％=1和x=2。

x2-3x+2

3、若/(x)在［。,句上连续，在(。力)上可导，且/'(x)<0,则/(X)在上的最大值为

f(a)。

x—6

4、函数/(%)=—的连续区间为(-00-2)U(—2,6)U(6,+oo)

9x-4x-12-----o------------------

5、函数/(X)=Y-l的单调下降区间是(8,0)。

6、1im~~sinx=0o

X->8X

7、曲线y=4,则在x=4处的切线方程为光-4y+4=0。

8、曲线y=/+1在点(0,2)处的切线方程是尤-y+2=0。

9、已知y=cos(3+x),y"=-cos(3+x"。

10、若某商品的收入R是销售量的函数R(q)=24-0.0542,则当°=10时，边际收入

R'(q)=_l_。

二、单项选择题

1.已知/(X)=f-x+l,g(x)=」，则g(/(0))=(A)。

x+l

111

A.—B.1C.-1D.---

22

2.设需求函数。(p)=200e包吗则在〃=10时需求弹性EJT°=(C)。

A.—0.15B.1.5C.—1.5D.200

3、下列函数是奇函数的是(B)。

A.y=ln(14-x2)B.y=x+sinx

C.y=D.y=x-smx

4、当xf+oo时，下列变量中是无穷大量的有(C)。

1r2

x

A.ln(l+-)B.e~-iC.D.

XX+1

5、下列各函数中为偶函数的是(D)。

1-Xex+e

A.y=x2sinx+1x

B.y=IT%C.y=xeD.

「x

6、lim.=©

iosino2x

]_

A.0B.2CD.oo

2

7、函数/(，)=符］的定义域是⑻。

A.(L+oo)B.(1,2)IJ(2,4-oo)C.(0,+oo)D.(2,+oo)

8、下列计算对的的是(A)。

A.limxsin—=0B.lim(l+x)'=e

XTOxXf00

sinxD.lim(l+：)*=e

c-lim7=1

00Xx->0X

9、若函数f(*)在点*。处可导,则(B)是错误的.

A.函数F(x)在点xo处有定义B.limf(x)=A,但ALf(x0)

C.函数f(x)在点Xo处连续D.函数/■(x)在点痛处可微

10、当Xf+OO时，下列变量中的无穷小量是(A)。

B.史

A.C.1D.sinx

X

p

11、设需求函数q=100e2,则需求弹性=(c)。

p_p_

A.-50^B.100pe5D-4

三、计算题

中1・X24-x-6

1、求

].(x—2)(x+3)x+32+3

解：原式=

1叫X-l)(x二2)11粤二工

分—Jx+1—1

2、

求1JIPF7-

解:原式="IPWE幕鲁=IjlPs1nx(忌T+1)

・尤」11

im^—lim/—r.7二o

XTOsinxnoJx+1+12

sinx

3、计算lim

xfOsin4%

sinx

解:原式='limT-=」xl=l

4史产sin4x414

4x

2

人求卿(二T

X+]2.1.x-l..11

解:原式=]im(*1

A-»lx-1

2

5、求limd—)2xo

Xf8X

2^x2-

解:原式=lim(i+=)24=1im(i+=)2]4=e，

XTB-%X—>00—X

i?

6^已知y=*"求火一)。

71

sin-[sin—]]11sin—

解yr=ex-(sin—)'=ex-cos—•(—)r=——-cos-*

xxxxx

c2.%

y(±)=-_TTcos-JT-esin—2=0

7142

7、已知y=ln=+Jf+J),求y'(0)。

解y'=----\.(x+ylx2+e2)'•[1+r^-——=-(x2+e2)']

X+J厂+c~26+e2

-----/•(1H---/.-2x)

x+y/x2+e22ylx2+e2

y(o)=-

e

8、设丁=-/皂=,求、'(0)。

vl4-X

I----i----e'Jl+x---广.•(1+x\•e'

O•Jl+x-(Jl+x)•e，_2jl+x

1+x1+x

e*Jl+x----

________2Vm

一}+x

y(o)=|

9、己知y=cos2x-sin3x,求y，(0)。

解yr=(cos2x)'-(sin3x\=2cosx•(cosx)r-cos3x-(3x)r

=—2sinxcosx—3cos3x

y'(0)=-2sin0cos0-3cosO=-3

10、设函数y=y(x)由方程孙=*，拟定，求dy。

解方程两边求导(町)'=(ex+y)'

x-y+yr-x=ex+y•(x+y\

y+xyr=ex+y*(1+yf)

y，=一y

ex+y-y

/.dy=----------dx

11、设y=y(x)由方程盯一/+/=1拟定，求dy。

解方程两边求导(孙)'一(1)'+(/)'=0

y+孙,_/+ey-y'=0

y'=3

x+ey

,ex-y.

・・ay=-------；dx

x+ey

12、设y=y(x)由/+盯+/=3拟定，求dy°

解方程两边求导(y2)，+(孙)，+(/)=o

2y•y'+y+盯'+3-=0

，3x2+y

y=---------

x+2y

3/+y

dy=-dx

x+2y

13、设y=y(x)由方程xy2+18x=6拟定，求dy。

解方程两边求导(孙2y-(3y)f+(I8x)f=0

y2+2芍•y'-3y'+18=0

2xy-3

.，r+i8,

..dy=------------dx

•2孙-3

14>设函数y=Jl+sine",求dy。

fxf

解y=­/1-(1+sine)

2jl+sine*

=­/1-cose**(ex)f

2Vl+sineA

excose"

2jl+sine"

,excose".

・・dy=—,rdx

2jl+sine"

15、设函数y=y(x)由方程y?+M孙=51!12%拟定，求dy。

解方程两边求导(y2)f+(Inxy\=(sin2x)f

2y-yr+--(y+Ayr)=2cos2x

盯

,_2xycos2x-y

y

x+2xy2

dy=2xycos2x-ydx

x+2xy

四、应用题

3

1.某产品的总成本函数为C(q)=K•/+8,其中K为待定系数，已知产量＜7=9吨时，总成

本。=62万元，问产量为什么值时，产品的平均成本最低？

3

解由题得/T-92+8=62：,K=2

Cg)=2疗+8两=%=2[2+日

qq

______1Q______

(C(q))'=-—-7令(C(q))'=O,解得g=4

救q-

答:产量为4吨时，产品的平均成本最低。

2.某产品的边际成本为c'(q)=4q+5(万元/百台)，固定成本为18万元，求：(1)平均成本

最低时的产量；(2)最低平均成本。

2

解C(q)=Vc'(q)dq+c0=1(4q+5)dq+18=2q+5g+18

JOJO

____1Q____1Q

C(q)=2q+5+—(。⑷)'=2--r

qq

令(函)'=0,解得q=3

丽=2x3+5+史=17

3

答：(1)平均成本最低时的产量为3百台；(2)最低平均成本为17万元。

3.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(g)=20+4g+0Ol/(单位：元)，单位销售价

格为p=14-0.0lq，问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少？

解R(q)=pq=14"0.01q2,£⑷=R⑷_。(幻=《3？+电_2G

r(^)=-0.04^+10令Z/(q)=0,解得q=250

A(250)=-0.02x2502+10x250-20=1230

答:产量为250件时利润最大,最大利润为1230元。

积分部份

一、填空题

1、函数/(x)=sin2x的原函数为-；cos2尤+c。

2、若f(x)的一个原函数为》一冷,则f\x)=-4e~2x.

3、己知①(x)=Jexs,——in2，-dt，则,①'(x)=sI-i-n-2-x7。

Vl+rVl+x

4、微分方程y'+Ly=0的通解为y=£。

XX

5、Ji。"sinx+5)dx-10o

二、单项选择题

y'-’y=0的通解是y=(B)o

1、微分方程

X

A£

B.CxC.F2D.X+2

XX

2、若［：(2x+Z)"x=2,贝摩=

(A)o

A.1B.-1C.0D.-

2

3、1"%=(C)»

A.+ooB.0C.1D.-1

4、若/(x)是可导函数，则下列等式中不对的的是(D)。

A..(J/(xmy=/(x)B.Jf\x)dx=f(x)+c

C..i/(jf(x')dx')=f(x)dxD."f(x)=/(x)

5.下列积分值为0的是(A)。

1X-Xt

A.「色工心B.I"&一；dxC.j(x3+cosx)drD.

J-i2J-i

(£+sinx)6k

-n

三、计算题

rl2

1.求定积分Lxe~xdx。

解xx

jxe~dx=-^e~~d(一炉)=-3"/+c

_J_1

[xe~x2dx=----e~x21-^1011

Jo7

乙02222e

2.求不定积分Jxsin2xdx。

解列表(+)Ysin2尤

7

1c

——cos2x

2

1.c

(+)~0-A——sin2x

4

r.-,1_1.

・・xsin2xax=—XCOS2XH—sin2x+c

J24

3.求定积分r(lnx+2)—

2

解j(lnx+2)—dlr=jinAz/(lnx)+j—dx=^]n21n|x|+c

J(lnx+2)—^Zx=(-^In2x+211忖=1

x

4求定积分dx

]_21_____

2222

解-——dx=-[(4+x)2d(4+x)=(4+x)+c=，4+/2+c

+x22」

=V5-2

「2

5.求定积分f,上x加X。

Jl1+x2

解[2^v^=-f2—i-vJCl+x^^-lnll+x2!=-ln5--ln2

Il+x22J'l+x2211,22

6.求不定积分Jxedxo

fxe~2xdx=--xe~2jc--e-2x+c

J24

7.计算不定积分：jxy/2+x2dx.

解jxy/2+x2dx=^fy/2+x2d(2+x2)=-(2+x2)2+c

8.求不定积分：Jxln(x+l)<lr。

解列表(+)ln(x+l

(-)

x+l

=x211

卜ln(x+l)dx=g/ln(x+1)-gJdx~ln(x+l)-92+—x-—ln|x+l|+c

22

9.解可分离变量的微分方程：了="+1

解原微分方程可化为e-ydy=exdx

两边积分得一6一，'="+。

/.y=—ln(-ev+c)

10.已知/?>°，且IM疝=L求b的值。

解jlnxdr=xln九一元+c

pb

Jlnxdx=b\nb—b-(\-\nl-1)=hlnb-b+1

综合已知得bln/?—b+l=l,即bln〃一b=0,又b>G,：.b=e

x

11.求微分方程y'=Je'的通解。

y-

解原方程可化为y'dy^xe'dx

两边积分得-y3=xex-ex-i-c

3

1,

原微分方程的通解为-/=xe*-ex+c

3

12.计算可分离变量的微分方程：虫==。

dx3y2

解原方程可化为3y2dy=xe'dx

两边积分得y3=xex-ex+c

原微分方程的通解为y3=x/-"+c

四、应用题

1.已知边际收入为R'(q)=72-1.2q,求：(1)取得最大收入时的产量；(2)最

大收入；(3)取得最大收入时的价格。

解R(q)=£R'(q)dq=£(72-\.2q)dq=72g-0.6/

(1)令R'(q)=0,解得q=60

(2)/?(60)=72x60-0.6x602=2160

….R(60)

(3)n=-----=Jo

60

答乂1)取得最大收入时的产量为60；(2)最大收入为2160;(3)取得最大收入时价格为36。

2.己知某商品的边际收入为C⑷=400-q(元/件)，边际成本为C0=100(元/件)，假设

生产的产品所有售出。求：(1)利润最大时产量；(2)在此基础上再生产100件产品利润的变化。

1,

解；R'(g)=4()0—q；.R(q)=AOOcj--q2

VC'(^)=100C(q)=100q

1,

•••L^=R(q)-C(q)=3QOq--q2

(1)L'(q)=R(q)-C'(q)=300-q

令L'(q)=0,解得q=300

(2)L(400)-£(300)=4000-4500=-500

答：(1)利润最大时产量为300件乂2)在此基础上再生产100件利润将减少500元。

线性代数

一、填空题

(20-I]rii、(1-1]

1.设A二3-52,B=-10,则A3=89

U3；[16)

<0T2,

2.线性方程组4乂=力(8工0)有无穷多解的充足必要条件是秩(同)=秩(^^〃.

3.设A是3阶可逆矩阵，则（2A）T='AT。

2

4.设A=（l2）,B=[；J,Cr=（20-1）则ABC=（4）。

-1116~

5.设线性方程组A乂=依且入=0-132，则f1时，方程组有唯一解。

00?+10

6.若线性方程组AX=8（0H0）有唯一解，则AX=0的解为X=0。

7.设A,3为两个已知矩阵,且矩阵（/一8）可逆,则方程4+"=乂的*=（/—8尸4。

二、单项选择题

1.设A是四阶方阵，秩（4）=3,则（C）o

A.A可逆B.A有一个零行

C.A的阶梯形矩阵只有一个零行D.A至少有一个零行

2.设A是3阶可逆矩阵，则（2A）T=（D）o

C.-2*D.'A”

A.21

232

3.齐次线性方程组A3x4X4*=0解的情况为（A）。

A.有非（）解B.只有。解

C.无解D.也许有解，也也许无解

4.设A,3是同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是（D）.

A.（AB）T^ATBrB.（AB）-'=A-'8~'

C.（ABr）r=ATBD.GWV=（b）’刀

:解的情况是（C兀

5.线性方程组《12

'内_/=

A.无解B.只有。解C.有唯一解D.无穷多解

6.设A是机x〃矩阵，B是左x/矩阵，若等式（D）成立，则故意义。

A.m=nB.k=lC.m=ID.n=k

三、计算题

q12、

1.设矩阵A=122,求A1

J23,

’112100](112100、

解：(A:1)=122010-010-110

3001J101

u21-10b

’1022-10、<10021-2、

-010—110f010-110

-11J1001

、00100-11,

’21-2、

A-1=-110

,0-11,

221I—10、

(12、B=[[，且AX=2BJ求矩阵X。

01

解(A:/)=

1--1

:；:H；2)

(i_口

•.A-1=1i,

I2)

(1T]j_2_2]_(-2-4

矩阵X=

1-2102-13

7

为+28=-1

3.求线性方程组■-兀+%-3工3=2的系数矩阵的秩。

.2%一12+5演=°

"102>(102](102

解A=-11-3f01—1-01—1

「-15)10

-11)1000

•••系数矩阵的秩为2.

4.设A七1彳-｝），求（4。

-3

解AB'=

23

(■『=

1021F21

5.设矩阵4=-124,B=-13，求（21-不）庆

11J|_0

33

'200、’1-13、

解2/=020A，=021

、002,J41,

'11-3、

21-Ar=00-1

-2-4

7

1-3Y2n(\-5、

(21-")6=00-1-13=0-3

一41103)10

「2

xx—3X2+4X3=1

当为什么值时,方程组有解？有解时求出解。

6./I2x,一乙+3X3=2

Xj—2X2+3%3=2+1

(\-341、(\-34

解A2-13205-5o

-23丸+1,01-1

-34(\01n

o1-1001-10

o1-1000

当4=0时,方程组有解,

X,——X->+1

解为413(其中心是自由未知量)

x2-x3

(\1、

(12-3

7.设A=0-2，B,求（84）。

(0-12

2

(\1、

12—3、’-5-3、

解BA=0-2

0-12、42>

720J

J5-3

,42

1-1f11T-0101

2

10-2451-25f

015