2023年高考数学大招16拐点偏移

大招16拐点偏移

大招总结

若函数f（x）在定义域内连续且二阶可导，且（为）=0,则（与j（%））是函数/⑴的一个

拐点。若/（5）+/（%）=2/5）,有/=土产,则拐点不偏移；若

/（内）+/（W）=2/（x（））,有%>'；：,则称拐点右偏;

若/（王）+/（W）=2/（/）,有/<五产，则称拐点左偏.

T帛

/lX

x2

/7

1X

\0

/7X\

|)

\1-r

拐点末偏移:此时/（玉）+/（工2）=2/（玉））=玉）=~

拐点偏移:此时/•(%)+，(々)

解决此类问题和极值点偏移类似，也相当于是对称化构造，而且一阶导/'(X)极值点右偏(左

偏)对应拐点右偏(左偏)，偏移方向是相同的，因此一般的解题步骤如下：

1.分析/(%)单调性，也就是分析/U)

2.求解函数拐点，即令f'(x)=O求出拐点玉，

3.构造F(x)=/(x)+/(2x0-x)，证明.(或,，)2/(%)恒成立

4.得出结论

典型例题

例1.已知函数/(x)=e(x2+。),其中。＞0,

⑴讨论的/(划单调性；

⑵若/(%)在R上单调递增,且存在为,使得/(%)=0,若/(x,)+/a)=4e,证明:

再+x2„2.

解⑴由题可知/'(x)=e2+2x+a),

当A=4—4%。，即久.1时,/'(x)..。恒成立，

故/(九)在R上单调递增；

当△=44。>0,即0<。<1时，令/(x)>0，贝ijx>-1+，-2或x<-1-J1-7，故

/(龙)在(8,1J1-a?),(1+J[—4-,+00)上单调递增;/(%)在卜1—-\ll-a~,—1+y/i—crj

单调递减，

⑵由⑴可知，当且仅当。=1时，/(幻在R上单调递增,且存在后,使得/(罚)=0;故

/(x)=e'(x2+l)，则f'(x)=e'(x2+2x+1)=e'(x+l)2..0,

f(x)在R上单调递增;且/(I)=2e,有/(x,)+/(^)=4e.

不妨设龄期移设g(x)=/(%)+/(2-％)4e,且g⑴=0,

.•.g(x)=f'(x)/(2x)=e'(x+l)2e2A(x+l)2=(x+l)2(eve^)

设久x)=e，-e?,观察可知h(x)在R上单调递增，

由〃(1)=0,X/x>1,h(x)>0,

则g'(x)>0,故g(x)在(1,4W)上单调递增；

^M,.,.^(x,)=/(x2)+/(2-x2)-4e。，即

/(2-A2)..4e-/(x2)=/(%])

又,，，(尤)在R上单调递增,二2工2-斗,即得证％+工2，，2.

例2.已知函数/(幻=2111》+》2+；1若正实数玉々满足/&)+〃/)=4

证明:％+殳.2

解3方法1:

/(%)+/(々)=4即2In%1+x；+为+2加々+%=4,整理得

2

(%,+x2)+(%+七)=4+2(%尤2In芭马)

令/=>0，记函数g«)=，一皿，厕g'Q)=1-;=?，可知g⑺在(°，D上单调递减，在

(1,”)上单调递增，所以g(f)的最小值为g(l)=1,则.

X1A2-ln%w=g(Nw)=g(r)..l

得(3+々)~+(玉+工2)-6,又玉+x2>0,所以玉+x2..2

方法2:设0<玉领1x2

若不+/朦。马2/(2—%,)<=>4—/(jq)?/(2—x,)

即证4../(xJ+/(2—%)

设F(x)=f(x)+f(2-x),xe(0,1］厕

尸(x)=f(x)—/'(2—x)=(1+2x+l)—12+2(2-x)+l)=4(l—-1

x(2—x)<1故F'(x)>0,F(x)在(0,1］单调递增,F(x)„F(l)=4，证明完毕

例3.已知函数f(x)=e(x-三一2)其定义域为(0,+oo).

⑴求函数/(x)的单调递增区间

⑵若函数/(x)为定义域的增函数，且/(3)+/(々)=^k,证明玉+X2..2

解⑴函数/(x)=e(x-三一2)的定义域是(0,+8)"(x)=,(1)(人-a)

①若④0油/(x)>0彳导无>1,.•.函数/(%)的单调递增区间是(1,+8);

■②若0<a<L由/'(x)>0彳导x>l或0<x(夜，

函数/(X)的单调递增区间是(0・G)和(1,+8);

(3)若a=1,/'(x)=e*(x+l)(x-l)2..0,

函数/(x)的单调递增区间是(0,”)；

(4)若。>1,由/'(x)>0,得x>G或0cx<1,

二函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(、G,+8).综上，若见0,函数/(X)的单调递增区间

是(1,+8)；若0<。<1,函数/(X)的单调递增区间是(0,6)和(1,+8);若a=l,函数/(X)

的单调递增区间是(0,+8)；若a>1,函数/(%)的单调递增区间是(0,1)和(6,+8).

(2)函数/(x)为定义域(0,+8)上的增函数，

由Q)可知,a==e'fx----2

I%1

不妨设。<X］软］工2,歙证王+工2-2，只需证电-2—X1,即证

-又只需证-4e-/&)../(2-9),

即证/(芯)+/(2xj,,4e

令g(x)=/(x)+/(2-x),0<X,1,只需证g(%)„g⑴，

ev..x+1

：e2i=(e，T)2..(x-l+l)2=x2

e2*-2(x+［-3——__^-=%2-3x2+x+l=

x2(2-x)2

g(x)单调递增，即g(x),,g(D，从而％+々-2得证.

1,

例4(2021-安庆二模)已知函数/(x)=e--X-+ax+\,aeR

(I)若/(无)为R上的增函数，求。的取值范围；

(II)若。>0,%且“%)+〃工2)=4,证明：/(5+/)<2.

解(I)f'(x)=e*-x+a,若/(%)在R上为增函数，则e*-x+a.0恒成立，即ex-x...-a恒

成立，设成x)=ev-x，则F(x)=e*—1,

当xe(-oo,0)时,尸(x)<0,当xe(0,+oo)时F(x)>0,

F(x)在(-与0)上单调递减，在(0,+«))上单调递增,

/(x)..F(0)=l,故—④1,

实数”的取值范围为JI,+8)；

(II)证明:若a>0,由(I)知/(%)在R上单调递增，由于/(0)=2,已知玉w天,/(百)+〃々)

=4,不妨设玉<0<82，

设函数/?(%)=/(%)+/(-%),尤<0,则

1,(_1,

/?(%)—e'—-x~+ax+1+1ex—x~-ax+l=er+e-*-炉+2,则

A(x)=e'-e~x-2x,

设(p(x)=h(x)，则(p(x)=e*+e-v-2..0,

由于x<0,故"(x)在(一8,0)上为增函数

(x)<//(0)=0.

A九(%)在(-8,0)上为减函数,

二-%(%)=/(芯)+/(一%)>以°)=4,

%)=4一/(内)</(一%)，

而了(%)在R上为增函数,

x2<一玉,故不+马<0,从而/(jq+9)</(0)=2,即/(5+x,)<2.

例5(2021-湖南一模)已知函数/(x)=；e2"f一炉+e./［；卜.

(I)求/(无)的单调区间;

(II)若存在X]，Z(N<W),使得/(5)+/(工2)=1，求证：玉+X2<2.

解(l)，(x)=e2g)_2x+e"[£|.

令则《｛4心.《｛|，解得呜卜1

/./(x)=e2(x-,)-2x+l.

f"(x)=2e2(A-1)-2=2(et_|+1

x=1时，函数/'(X)取得极小值即最小值,/'(X)../⑴=0,

二函数/(x)在R上单调递增.

(II)方法1:由(I)可得:函数/(x)=-f+x在R上单调递增.

要证明:玉+w<2o内<2-9<=>/(%)</(2-%2),

又/(石)+/(%)=1,因此/。)</(2-％)01-/(%)</(2-％)

即/⑸+/(2-9)-1>。，

/(I)=耳一]+]=5，则玉<1<%2.

令

g(x)=/(2—x)+/(X)—1=ge2(l-Jt)-(2-%)2+2-%+1e2(Jt-l)-%2+x=|e2(|-Jt)+g

220-12U-l)

e2(x-i)_2%+4%-2,x>1,g(l)=0.g'(x)=-e-*+e-4x+4,

g"(x)=2e2<1-A',+2e2(x-1)-4..0„-.g'(x)在(l,+o。)上单调递增.，g'(x)>g(l)=0,.'.函数

g(x)在(l,+oo)上单调递增.二g(x)>g(l)=0,

・•・函数g(x)在(1,4W)上单调递增.

因此结论玉+々<2成立.

方法2:

f(x)=1e2u-,)-x2+x,/(x)=-2x+1..0，单调递增

令f"(x)=2e"i>—2=0,x=1(拐点)

"1)=；，/(%)+，(%2)=2*1)=1(%]<1<々)

要证明X1+x,<2,只需司<2-％2

<=/(^)</(2-^)<=1-/(%2)</(2-%2)<=/(^)+/(2-%2)>1(%2>1)

构造R(x)=/(x)+/(2-x),

2(A|)2(l-x)

F(x)=f'(x')-f\2-x)=e'--2x+l-e+2(2-x)-l

F'(x)>F(l)=0,单调递增，所以尸(x)>1,原式得证

自我检测

1.设函数/(x)=e*_gx2_%_1,/(玉)+/(々)=0,玉+x9,0；

解:因为f'(-^)=e*-x-1,/"(x)=e'-1,

所以/(x)=ev-x-l在(-a),0)单调递成在(0,+oo)单调递增，

因为/(x)../(0)=0,

所以函数/(x)=ev--x2-x-l在(-00,+oo)单调递增，且/(0)=0

又因为/(g)+/(马)=0,不妨假设点独工2

要证明%1+%2„0,只需证引领J-尤20

因为函数/(X)在R单调递增

只需证/(^)„/(-x2),因为/)=0,〃3)=-/(/)

只需证/(x2)+/(-x,)..O,

令F(x)=/(x)+/(-x),F\x)=f\x)+fX-x)=e"-2x

尸'(x)=e*+eT-2..0,所以F'(x)在［0,+oo)单调递增,

因为E(x)庞F(0)=0,x20

所以+故为+马，0成立，证毕

2.设函数/(x)=x2+21nx4》,且/(工］)+〃％2)=6.证明,/''(%,+X,)..1:

2解：f'(x)-2x+--4=2\x+--2|..0,/"(x)=2-士

Xyx)X

所以函数/(x)=x2+21nx-4x在(0,+。。)单调递增，且/(1)=-3,

不妨假设0<再效1x2,

令F(X)=/(X)+/(2-X),XG(0,1]

F(x)=/(x)+/(2-x)

贝IJ尸'(彳)=/'(无)+/'(2—％)=2(彳+，—2)—2(2—％+^——2)

所以F(x)在(0,1]单调递增，

有F(x)„F(l)=/(l)+/(l)=-6

所以尸(%)=/(不)+/(2—玉),，一6=/(玉)+/(%),

所以/(%)+”2-%)期(％)+"％)=>"2-石)/(x,),

又因为函数/(幻=/+2也》—4x在(0,+8)单调递增，

2

所以2—西京必=苍+々2,又因为f"(x)=2---..0在(l,+oo)恒成立，

X

2

所以/。)=21+——4在(1,-8)单调递增，

X

/’(%+&)../(2)=1,证毕。

3.(2021-海口模拟)已知函数/(x)=2Inx3x2-\lx

(1)求曲线y=/(x)在点(1-/(!))处的切线方程；

⑵若关于x的不等式/(现，(a3)x2+(2a13)x—2恒成立，求a整数的最小值；

⑶若正实数式玉w满足/(与)+/(々)+45+¥)+12(%+々)=4,证明:天+9-2.

2

解⑴/(x)=--6x-ll,/(l)=-15,/(l)=-14,

x

曲线y=fM在点(1,/(1))处的切线方程为：丁一(一14)=-15(x—1),即

15x+y—1=0为所求.

⑵关于%的不等式/(x)„(a-3)x2+(2«-13)x-2恒成立

<=>2\nx-ax~—lax+lx+l,,0恒成立.

令h(x)—2inx—ax2-2ax+2x+2,(x>0),A(x)=--2ax-2a+2=^ix"