第六章数字高程模型的内插

第六章数字高程模型的内插第1页，共79页，2023年，2月20日，星期一教学目的与要求

通过本章的学习，让大家掌握DEM内插的各种方法的原理和过程，包括整体内插、局部内插，逐点内插。第2页第2页，共79页，2023年，2月20日，星期一本章重点与难点本章重点

内插分类

内插的各种方法本章难点

各种内插方法

第3页第3页，共79页，2023年，2月20日，星期一内容提要第一节内插方法的分类第二节整体内插第三节分块内插第四节逐点内插法第4页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.1内插方法的分类

内插是数字高程模型的核心问题，它贯穿在DEM的生产、质量控制、精度评定和分析应用等各个环节。DEM内插就是根据若干相邻参考点的高程求出待定点上的高程值，在数学上属于插值问题。任意一种内插方法都是基于原始地形起伏变化的连续光滑性，或者说邻近的数据点间有很大相关性才可能由邻近的数据点内插出待定点的高程。第5页第5页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.1内插方法的分类按内插点的分布范围，可以将内插分为三类。整体内插分块内插逐点内插根据二元函数逼近数学面和参考点的关系，内插又可以分为两种。纯二维内插曲面拟合内插第6页第6页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.1内插方法的分类二维插值要求曲面通过内插范围的全部参考点，曲面拟合则不要求曲面严格包括参考点，但该方法要求拟合面相对于已知数据点的高差的平方和最小，即遵从最小二乘法则。可见，内插的中心问题在于邻域的确定和选择适当的插值函数。第7页DEM内插分类第7页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.2整体内插第8页整体内插的拟合模型整体内插的拟合模型是由研究区域内所有采样点的观测值建立的。整体内插主要通过多项式函数来实现，因此又称整体函数法内插。这些函数模型的特点是不能提供内插区域的局部特性，因此该方法常被用于模拟大范围的宏观变化趋势。第8页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.2整体内插第9页整体内插的拟合模型数学表达式设描述研究区域的曲面形式为下列二元多项式：式中有n个待定系数C

ij(i，J＝0，1，2，…，m)，为了解求这些系数，可量取研究范围内不同平面位置的n个参考点三维坐标：P1(x1,y1,z1)，P2(x2，y2，z2),P3(x3，y3,z3)，…，Pn(xn,yn,zn)，将其代入方程从而使n阶线性方程组有惟一解将待插点的坐标代入式中，可得到待定点的高程值。第9页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.2整体内插第10页整体内插方法整体函数内插法的优点是易于理解，因为简单地形特征参考点比较少，选择低次多项式来描述就可以了。但当地貌复杂时，需要增加参考点的个数。选择高次多项式固然能使数学面与实际地面有更多的重合点，但由于多项式是自变量幂函数的和式，参考点的增减或移位都需对多项式的所有参数做全面调整，从而参考点间会出现难以控制的振荡现象，使函数极不稳定。第10页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.2整体内插第11页整体内插方法另外，整体内插法中需要解求高次的线性方程组，参考点测量误差的微小扰动都可能引起高次多项式参数的很大变化，使高次多项式插值很难得到稳定解。由于整体内插法的上述缺点，实际工作中很少用于直接内插。它的主要用途是在某种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中去除—些不符合总体趋势的宏观地物特征。第11页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插第12页由于实际的地形是很复杂的，整个地形不可能用一个多项式来拟合，因此DEM内插中一般不用整体函数内插，而采用局部函数内插(即分块内插较宜)。第12页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插第13页分块内插是把参考空间分成若干分块，对各分块使用不同的函数。要考虑的问题是各相邻分块函数问的连续性问题。分块的大小根据地貌复杂程度和参考点的分布密度决定。一般相邻分块间要求有适当宽度的重叠，以保证相邻分块间能平滑、连续地拼接。典型的局部内插有线性内插、多项式内插、双线性内插和样条函数内插等。特别是基于TIN和正方形格网的剖分法双线性内插是DFM分析与应用中最常用的方法。第13页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（线性内插）线性内插是首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定一个平面，继而求出内插点的高程值的方法。基于TIN的内插广泛采用这种简便的方法。第14页算法的基本思想第14页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第15页第15页，共79页，2023年，2月20日，星期一第16页第16页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（双线性内插）双线性多项式内插是使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四边形，进而确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。基于格网的内插广泛采用这种方法。设确定的函数形式为：其中是所求的参数,设四个点

第17页算法的基本思想第17页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第18页如果数据参考点呈正方形格网分布，则可以直接使用双线性内插公式：式中，A，B，C，D为正方形四个格网点，l是格网边长。第18页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（二元样条函数内插）为保证各分块曲面间的光滑性，按照弹性力学条件使所确定的n次多项式曲面与其相邻分块的边界上所有n—1次导数都连续，这n次多项式就称为样条函数。可以用样条函数内插法对规则格网数据的高程重新插值。样条函数插值克服了高次多项式插值可能出现的振荡现象，具有较好的数值稳定性和收敛性。同时，如果某个点位置发生变化时，只需要修改局部曲线，而不必重新计算整条曲线，这点要优于趋势面分析方法。 第19页算法的基本思想第19页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（二元样条函数内插）任一矩形ABCD可构成双三次曲面方程式中有16个待定系数，须列出16个线性方程，才能确定它们的数值。已知A，B，C，D四个角点，将它们的三维直角坐标量测值代人式中，可列出4个线性方程，其余12个方程根据下述力学条件建立，这些力学条件为：

第20页(1)相邻面片拼接处在X和Y方向的斜率都应保持连续；(2)相邻面片拼接处的扭矩连续。第20页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（二元样条函数内插）问题的关键是设法求得三次曲面的一阶导数和二阶混合导数。设R为沿x轴方向的斜率，s是沿y袖方向的斜率，扭矩为T，则：

第21页第21页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（二元样条函数内插）可使用不同的方法求得四个角点的R，S，T值．较为简单的是使用差商来代替导数。使用等权一阶差商中数求任一网格点A(i，j)的导数的公式可写为：

第22页第22页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（二元样条函数内插）因此，对于任一角点的导数值，需要使用它周围8个角点高程求出。这样，在ABCD矩形当中，已知四角点高程ZA、ZB、Zc、ZD，以及它们的导数值RA，RB，RC，RD，SA，SB，SC，SD。和TA、TB、TC、TD就可建立16个方程，求解后得出曲面方程系数代入方程，就可解算某一点的高程。根据上述定义求得的曲面在相邻边上的一阶导数是连续的，因此，整个区域的曲面连接是光滑的。

第23页第23页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（二元样条函数内插）与整体内插不同，样条函数保留了微地物特征，拟合时只需与少量数据点配准，因此内插速度快，同时也保证了分块间连接处为平滑连续的曲面。这意味着样条函数内插法可以修改曲面的某一分块而不必重新计算整个曲面。应该指出的是，在分块上展铺样条曲面时，对相邻多项式分片曲面间的拼接，采用了弹性力学条件，而地表分块不是狭义的弹性壳体，并不具备采用弹性力学条件的前提，所以，尽管样条函数法有比较严密的理论基础，但未必是数字高程插值的良好数学模型。

第24页第24页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（多面叠加内插法）多面叠加法是美国依阿华州大学Hardy教授于1977年提出的，它的基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格地通过各个数据点。

第25页第25页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第26页这里Q(x，y，xi，yi)为参加插值计算的简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数．或多层叠加面的层数，它的值与分块扩充范围内参考点的个数相等Ki(i＝1，2，3，…,n)为待定参数，它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。为了计算方便，多层叠加面中的n个核函数一般选用同一类型的简单函数，通常是围绕竖向轴旋转的曲面，这条竖轴正好通过某一参考点。第26页，共79页，2023年，2月20日，星期一第27页第27页，共79页，2023年，2月20日，星期一4/15/2023第28页[X,Y]=meshgrid(-8:.5:8);;Z=6+(X.^2+Y.^2).^(2/3);mesh(X,Y,Z)第28页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第29页第29页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（多面叠加内插法）多面叠加内插法在实际应用中，有以下一些常用的核函数选择方法：

(1)Arthur，Q(d)＝exp(-25d2／a2)，其中d为两点之间的距离，a为一参数，为各数据点间最大距离。

(2)吕言法，以三次曲面为核函数，Q(d)＝1+d3。

(3)针对上述Hardy选用的二次函数进行各种改进，由值为o，o．6和10进行实验，得出了的结果。它表明值越大内插的曲面(图中仅绘出沿x方向的曲线)越平滑。

第30页第30页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第31页第31页，共79页，2023年，2月20日，星期一该函数的改进形式的函数如下：式中(dki)min2表示数据点i与距离最近的数据点k的距离。当n＝m时，Q矩阵也不是对称矩阵，因为在每个数据点上有各自的参数(dki)min。利用该核函数可以很好地考虑地貌结构线的作用，此时只要沿地貌结构线上取一组密集数据点(或先内插出来)，就会产生很小的(dki)min值，结果在双曲面顶端产生一个大的斜率，由此保证了内插曲面上突变性的转折。对多层叠加面的解算，可通过将m个参考点的三维坐标代入．得一误差方程组，按最小二乘法解求待定系数(m＞n)。2/26/2021第32页第32页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（多面叠加内插法）多面叠加的一个重要的优点是：如果希望对地形增加各种约束和限制，则可以设计某一函数将其增加到多面叠加的函数体内。比如希望在内插中考虑地面坡度的信息，就可以设计具有坡度特性的函数。在数字高程模型中，如果在数据点密度较小和数据点精度很高的情况下，要优先采用多面叠加的内插方法。但在一般情况下，地球表面特征都很复杂，难以确定某一特定函数严格表示地形变化(人工地物除外)。另外这种方法处理烦琐，计算量大，因而多面叠加方法并不常用。

第33页第33页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（最小二乘配置法）最小二乘配置内插法是一种基于统计的、广泛用于测量学科中的内插方法。在测量中，某一个测量值包含着三部分：

(1)与某些参数有关的值。由于它是这些参数的函数，而这个函数在空间是一个曲面，被称为趋势面。

(2)不能简单地用某个函数表达的值．称为系统的信号部分。(3)观测值的偶然误差，或称为随机噪声。

第34页第34页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（最小二乘配置法）当去掉趋势面之后，如果观测值包含信号和噪声两部分(且信号与噪声期望均为0，两者的协方差也为零)，则可获得信号估值的残差平方和为最小的线性内插方法，包括内插、滤波和推估，统称最小二乘配置。数字高程模型满足该条件，故可以使用此法内插。

第35页第35页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（最小二乘配置法）首先假设任一分块地表都会有一张能反应其基本形态的趋势面。趋势面通常用简单的幂级数多项式来表示，对复杂的地表面来讲，它具有削平、填平实际曲面的作用。

第36页第36页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第37页图中第i号参考点的实测高程数据记为Hi，投影到趋势面的参考点i的高程记为hi,从趋势面起算的参考点的高程记为Zi。Zi包含两个部分：实际地面与参考面的较差、和参考点高程的量测误差ri.第37页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（最小二乘配置法）Zi、Si、ri应满足的条件是E(Zi)＝E(Si))＝E(ri)＝0。ri称做噪声，纯系偶然误差Si称做信号。由于趋势面的数学规律性，Si将对一定范围内的内插点高程产生系统性影响。换句话说，信号Si具有局部相关性，在数理统计中，通常是用协方差来描述这种相关性的。

第38页Zi＝Si十ri第38页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1分块内插（最小二乘配置法）若这一个子区域内共有n个数据点，则每个数据点都能列出一个观测值方程式，对于n个数据点，根据相关平差原理，列出、(i＝1，2，…，n)的误差方程组的矩阵形式如下：Z＝S十R＝H一AW

第39页从趋势面起算的高程向量趋势面上对应的高程向量参考点高程观测向量第39页，共79页，2023年，2月20日，星期一n为分块扩充范围内参考点的个数。按最小二乘法相关平差方法求解，得到趋势面系数向量：

任一内插点P的信号为用待插点在趋势面上的高程hp’加上待插点的信号sp’，即得所求待插点的高程Hp’：

2.1分块内插（最小二乘配置法）第40页Z的协方差阵第40页，共79页，2023年，2月20日，星期一最小二乘配置法数字高程分块内插的关键问题之一是如何建立z或s的协方差矩阵，也就是如何解决信号相关性规律的问题。由数理统计理论得知，二维各态历经性平稳随机过程的协方差仅与不同点间的水平距离有关；最小二乘配置法内插高程时，认为信号和趋势面起算高程的协方差仅与点间的水平距离有关：距离愈近，协方差愈大，超过一定的距离．协方差趋近于零值。高斯函数正好满足函数值随距离缩短而增大的条件，所以习惯上以高斯函数作为相关函数，用来计算协方差。

2.1分块内插（最小二乘配置法）第41页第41页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第42页随机过程(StochasitcProcess)是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。

一般来说，把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，第42页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第43页一个实际的随机过程是任意一个受概率支配的过程，例子有：①看做是受孟德尔遗传学支配的群体的发展；②受分子碰撞影响的微观质点的布朗运动，或者是宏观空间的星体运动；③赌场中一系列的赌博；④公路一指定点汽车的通行。第43页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第44页数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。一个随机过程的概率分配通常是由指定它的随机变量的联合分布来给定的，这些联合分布以及由它们诱导出来的概率可以解释为样本函数的性质的概率。第44页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第45页一个随机过程的概率分配通常是由指定它的随机变量的联合分布来给定的，这些联合分布以及由它们诱导出来的概率可以解释为样本函数的性质的概率。例如，如果t0是一个参数值，样本函数在t0取正值的概率是随机变量x(t0)有正值的概率。在这个水平上的基本定理：任意指定的自身相容的联合概率分布对应一随机过程。平稳过程这类随机过程中的任意有限多外随机变量的联合分布不受参数平移的影响，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布与h无关。

第45页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第46页平稳随机过程

狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足

则称ξ(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。第46页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第47页如果一个平稳随机过程，只要满足一些较宽的条件，其集平均(统计平均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替，这就是各态历经性。各态历经性

概念：对于一个平稳的随机过程，如果统计平均＝时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程。

第47页，共79页，2023年，2月20日，星期一最小二乘配置法有严密的数理统计理论依据，但大量的试验结果表明，它未必能在数字地面模型内插应用中取得良好的拟合效果，原因主要是以下两点：

(1)应用最小二乘配置法的前提是处理对象必须属于遍历性平稳随机过程。但实际地表起伏现象都十分复杂，各类地貌形态未必都符合各态历经性平稳随机过程的统计规律，地面点间趋势面起算高程的相关度量未必仅与距离有关。实际上，大多数地貌变化都不是各向同性的，地表起伏的相关性不仅与距离有关，也与方向有关。如果前提条件不符合，就难以保证得到良好的内插质量。(2)确定趋势面和协方差函数的参数是一个循环迭代过程。当迭代收敛速度慢时，其计算量可能比大多数高程内插算法都大，因而此方法并不实用。

2.1分块内插（最小二乘配置法）第48页第48页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第49页第49页，共79页，2023年，2月20日，星期一有限元法是以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体分割成为有限个单元(如三角形、正方形等)的集合。相邻单元边界的端点称做结点，通过解求各个结点处的物理量来描述物理量的整体分布。

2.1分块内插（有限元法）第50页第50页，共79页，2023年，2月20日，星期一有限元法通常采用分片光滑的奇次样条作为各个单元的内插函数，已经用于数字高程模型内插的有双线性B样条和双三次B样条两种，其整体解是一系列基函数的线性组合，形式为解求上述函数的全部系数．须列出与所求问题等价的二次泛函数取极小值的条件，建立并计算系数向量的线性方程组，使上式有确定解。有限元法的计算量取决于分块内结点的个数，而不是像上述其他分块内插方法那样主要与参考点个数有关。所以单元划分越细．有限元法的计算量越大。

2.1分块内插（有限元法）第51页第51页，共79页，2023年，2月20日，星期一分块内插的分块范围在内插过程中一经确定，其形状、大小相位置都保持不变，凡落在分块上的待插点都用展铺在该分块上的惟一确定的数学面进行内插。逐点内插法是以待插点为中心、定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点的范围随待插点位置的变化而移动，因此又称移动曲面法。

2.2逐点内插法第52页第52页，共79页，2023年，2月20日，星期一对于每个待插的点，可选取其邻近的n个数据点(可称其为参考点)拟合一多项式曲面拟合的曲面可选用如下的形式：

Z＝AX2十BX2十CY2十DX十EY十F式中：X，Y，Z是各参考点的坐标值，A，B，C，D，E，F为待定的参数。由n个选定的参考点用最小二乘法进行求解多项式中的各参数。

2.2逐点内插法（移动拟合法）第53页第53页，共79页，2023年，2月20日，星期一移动拟合法的关键在于解决下面两个问题：(1)如何确定待插点的最小邻域范围以保证有足够的参考点；(2)如何确定各参考点的权重。选择邻近点一般考虑两个因素：(1)范围，即采用多大面积范围内的参考点来计算被插点的数值；(2)点数，即选择多少参考点参加计算。这两个因素的确定要根据具体情况而定。

2.2逐点内插法（移动拟合法）第54页第54页，共79页，2023年，2月20日，星期一动态圆半径方法：从数据点的平均密度出发．确定圆内数据点(平均要有10个)，以解求圆的半径，其公式为：N为总点数，A为总面积。这种方法实际上综合考虑了点数和范围两个因素。

2.2逐点内插法（移动拟合法）第55页第55页，共79页，2023年，2月20日，星期一按方位取点法：有时数据点分布并不理想这时可以以格网点为中心把平面平均分成n个扇面，从每个扇面内取一点作加权平均这就克服了数据点偏向的缺点。

2.2逐点内插法（移动拟合法）第56页第56页，共79页，2023年，2月20日，星期一按方位取点法：观测点的相互位置越接近，其相似性越强；距离越远，则相似性越小。因此．不同的采样点由于相对于待插点的距离不同，对待插点的高程插值影响程度是不同的。所以，在移动拟合时，我们一般采用与距离相关的权函数．常用的权函数有：2.2逐点内插法（移动拟合法）第57页第57页，共79页，2023年，2月20日，星期一加权移动平均方法利用插值点周围样点的数值来计算插值点的数值，其计算公式如下：式中，

为已测得的第i个位置的属性值；

为第i个位置属性值的权重；X0为待插值的位置；n为已知样点的数目。2.2逐点内插法（加权移动平均法）第58页，共79页，2023年，2月20日，星期一第59页，共79页，2023年，2月20日，星期一第60页，共79页，2023年，2月20日，星期一第61页，共79页，2023年，2月20日，星期一第62页，共79页，2023年，2月20日，星期一上面讨论的选点方式中．存在一个很重要却经常被忽略的问题：参考点坐标或参考点所在坐标系统的微小变化都会使选点结果差别很大，结果可能造成数字高程模型表面的不连续。造成这个问题的原因在于仅以距离为基础进行选点和定义权重，而事实上距离难以很好地描述空间相邻性。显然，对于离散数据点之间的空间相邻性描述，需要给出一种较好的数学表达，Voronoi图就是一种很好的工具。

2.2逐点内插法（Voronoi图法）第63页第63页，共79页，2023年，2月20日，星期一上面讨论的选点方式中．存在一个很重要却经常被忽略的问题：参考点坐标或参考点所在坐标系统的微小变化都会使选点结果差别很大，结果可能造成数字高程模型表面的不连续。造成这个问题的原因在于仅以距离为基础进行选点和定义权重，而事实上距离难以很好地描述空间相邻性。显然，对于离散数据点之间的空间相邻性描述，需要给出一种较好的数学表达，Voronoi图就是一种很好的工具。

2.2逐点内插法（Voronoi图法）第64页第64页，共79页，2023年，2月20日，星期一第65页，共79页，2023年，2月20日，星期一2/26/2021第66页第66页，共79页，2023年，2月20日，星期一插入点x后产生的新的关于x的Voronoi多边形，记为v

x

。该多边形与原始邻接Voronoi多边形相交，相交部分即为定权依据。设点x的相邻点集为p1,p2……pn．pi为点x的任何一个相邻点，pi所在的Voronoi多边形记为Vp。可以看出，当点x无限接近点pi时，两多边形完全重合，对点pi赋全权；若采样点x逐渐远离点pi，相交区域以及公共边界都将随之缩小，当进一步远离最终分离，这时点A的权重为0，对点x的内插将不再产生影响。从上述讨论可以看出，权的确定是一个连续的过程，符合权函数的要求。

2.2逐点内插法（Voronoi图法）第67页第67页，共79页，2023年，2月20日，星期一选点定权之后，便可以进行加权平均的计算。将邻接点pi的Voronoi多边形与多边形vx的相交区域记为vi(i=1，2，3，…，n)，A的高程记为Hi，用每一个邻接点的高程Hi乘以各自相应的相交区域vi的面积，相加后除以整个相交区域vx的面积，就得点x的高程插值。

2.2逐点内插法（Voronoi图法）第68页第68页，共79页，2023年，2月20日，星期一一维线性的Voronoi图内插

2.2逐点内插法（Voronoi图法）第69页第69页，共79页，2023年，2月20日，星期一一维线性的Voronoi图内插

2.2逐点内插法（Voronoi图法）第70页第70页，共79页，2023年，2月20日，星期一Voronoi地图可以了解到每个采样点控制的区域的范围，也可以体现出每个采样点对区域内插的重要性。利用Voronoi地图中就可以找出一些对区域内插作用不大且可能影响内插精度的采样点值，可以将它剔除。第71页，共79页，2023年，2月