双曲线的标准方程及简单的几何性质

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双曲线的标准方程及简单的几何性质

第一部分双曲线及其标准方程

学习目标

1、把握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。

3、进一步把握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练把握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。

4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。

重点难点

重点：双曲线的定义及其标准方程；

难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。

例题分析

第一阶梯

1

[例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。解：

由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为，这里2a=6,2c=10.

变题：如将此题条件中的6改为10，其余条件不变，求解此题。

解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)

注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。

[例2]

分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。

证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。

[例3]

分析

2

迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。

解：在△ABC中，|BC|=10，

故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。

其次阶梯

[例4]

A、1

C、2

解：

+|PF2

F2

2

2

2

2|-|PF1||PF2|=16，由于∠1PF2=90°，所以|PF1|+|PF2|=|F1F2|=(2c)=20.所以

评注：此题考察双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。

3

[例5]在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，程。

求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方

思路分析：首先应建立适当的坐标系，由于M、N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键。

解答：

∴设|PN|=3k，|PM|=4k,则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48,得k=4.∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10.

2

[例6]

4

思路分析：利用双曲线的定义求解。解答：

由P是双曲线上一点，得||PF1|-|PF2||=16。

∴|PF2|=1或|PF2|=33。

又|PF2|≥c-a=2，得|PF2|=33.

第三阶梯

[例7]

交点，则|PF1|2|PF2|的值是（）

思路分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到|PF1|和|PF2|的关系式，再变形得结果。解答：

5

两式平方相减，得4|PF1|

2|PF2|=4(m-s)，故

|PF1|

2|PF2|=m-s。应选A。

[例8]

解：

由题意得F1（-5，0），F2（5，0）。设点P的坐标为(x0,y0)

又PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|=|F1F2|，

222

评注：此题考察双曲线的方程等基础知识。

[例9]已知动圆与定圆C1：(x+5)+y=49,C2:(x-5)+y=1都外切，求动圆圆心的轨迹方法。

2222

分析：设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6。解：

设动圆圆心为

P(x,y)，半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6，则动

圆圆心P的轨迹方程为

四、检测题

6

1、ax2+by2

=b(ab

（1）可设所求双曲线的方程为4x-9y=λ,用待定系数法求双曲线方程。（2）、（3）同求椭圆的方程一样，只要求出标准方程中的a、b即可。

22

解：

2y2（1）设所求双曲线方程为4x-9=λ，点（1，2）在曲线上，将点的坐标代入方程可得λ=-32。

(3)由已知得椭圆x+5y=5的焦点为(±2，0)，又双曲线的一条渐近线方程为

2

2

.则另一条渐

注意：求双曲线方程的方法要灵活选择。

[例3]

解：

11

评注：此题考察双曲线的性质。

其次阶梯

[例4]

（1）求点P到它右准线的距离；（2）求点P到它左准线的距离。

分析：

（1）由双曲线的其次定义可得点P到它的右准线的距离，（2）先求得双曲线两准线间的距离，后求点P到左准线的距离。

解：

（1）设P到右准线距离为d,则

12

[例5]双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线的方程是x=1,且经过点A（2，2），求：（1）双曲线的离心率e；（2）双曲线右焦点的轨迹方程。

解：

(1)依题意，有222a=2b+2c,即2a=b+c.

(2)设右焦点为F(x,y)，因点A在双曲线上，由双曲线的其次定义得

[例6]

思路分析：

解答：

13

第三阶梯

[例7]

求双曲线的离心率。

思路分析：

解答：

14

[例8]

思路分析：|PF|为焦半径，此题可根据双曲线的其次定义来解。

解答：

四、检测题

15

1、双曲线3x2-y2

=3的渐近线方程是（）

A、y=±3x

A、-16B、-4C、12D、144

A、±5B、±3C、25D、9

A、共同的准线B、共同的渐近线C、共同的焦点D、共同的顶点

5、已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2

-5x+2=0的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为（）A、1B、2C、3D、4

6、双曲线mx2-2my2

=4的一条准线是y=1,则实数m等于（）

7、假使双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率是（）

16

A、焦距B、准线C、焦点D、离心率

形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角或钝角三角形

10、一条直线和一条双曲线公共点的个数最多有（）A、1个B、2个C、3个D、4个

=_________.

13、证明：从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。

答案：

1—5CABCC6—10DAABB11、24

17

12、b13、略

其次部分

[本周重点]对照椭圆的研究来探讨双曲线的定义、方程、性质、位置关系等

[本周难点]与渐近线相关的性质探讨[本周内容]

1．第一定义:（与椭圆的第一定义对比）

平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a(01)的点P的轨迹叫做双曲线.

3．

标准方程a>0,b>0.a>0,b>0.图形对称轴x轴，实轴长2ay轴，实轴长2ay轴，虚轴长2bx轴，虚轴长2b范围x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a顶点坐标(-a,0),(a,0)(0,-a)(0,a)焦点坐标焦点在x轴上焦点在y轴上F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)

18

焦距离心率|F1F2|=2c|F1F2|=2c准线渐近线

4．焦半径.

5．等轴双曲线

实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线.其离心率.

6．共轭双曲线

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，即线.共轭双曲线有共同的渐近线.

与互为共轭双曲

7．共焦点的圆锥曲线方程

与椭圆

2

共焦点的椭圆或双曲线的方程为，根据条件确定λ的数值.

当l>-b时，方程表示与已知椭圆共焦点的椭圆.当-a0时，方程表示焦点与已知双曲线焦点在同一直线上的共渐近线双曲线.

当λ2或k5或-25

分析:上述方程表示双曲线

解得k∈[0,2)∪(5,+∞)或k∈(-2,0),∴-25.答:C.

例2．双曲线

的两条渐近线所夹角的正切为______.

分析1:已知双曲线的两渐近线为即，其斜率分别为和-，设夹角θ，由夹角公式

.

20

分析2:设渐近线的倾角为，则，

∴

由α为钝角，从而

，

，∴夹角正切为

.

例3．中心在原点，一焦点在(0,3)，一条渐近线为

的双曲线方程为____.

分析:由已知，这是处于标准位置上的双曲线图形，关于坐标轴对称.因一条渐近线为，所以另一条渐近线是

，以这两直线为渐近线的双曲线系的方程为:，

又∵一焦点(0,3)在y轴上，∴方程应为

，∴a2=4k2,b2=9k2.

由a+b=c得4k+9k=9,

22222

,∴双曲线方程为.

点评:此题中，由于两渐近线已知，也就是，所以在解法中运用了“共渐近线的双曲线系〞，直

接写出了双曲线系的方程，再用另一个条件就定出了参数k,这种方法对解已知两渐近线的问题是常用的.

例4．双曲线2mx-my=2有一条准线y=1则m的值为_____.

分析:由于一条准线是y=1.把方程改写成其次种标准方程.

2

2

21

，其中，∴，

由

得解得.

例5．在双曲线的一支上有三个不同点A(x1,y1),B(),C(x2,y2)，它们到焦点F(0,5)的距离成等差

数列.

（1）求y1+y2.（2）证明线段AC的中垂线过某定点，求该点坐标.

解:（1）依照与焦点距离的条件考虑转化到准线的距离

a=12,b=13,

22

,

,准线l1的方程为:

.

由得|AF|=e|AA1|同理|BF|=e|BB1|,|CF|=e|CC1|,

∵|AA1|,|BB1|,|CC1|成等差数列，∴y1,6,y2成等差数列，∴y1+y2=12.

（2）欲证AC的中垂线过定点，我们只能用代数分析的方法，先求AC中垂线的方程:

∵A(x1,y1),C(x2,y2)在双曲线上，∴

，

22

两式相减得

即

∴

线段AC中点即，

∴AC中垂线方程为，即

可见AC中垂线必过定点.

点评:此题的实质在于“弦中点〞问题（弦AC），因此使用处理弦中点的通法.

[本周练习]

1．双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，一渐近线为3x+5y=0，求离心率e.（）

2．P为双曲线

上定点，F1，F2为两焦点，且∠F1PF2=φ，求证:ΔF1PF2面积为.测试

选择题

1．“ab

又c=a+b,∴4ab=

222

c.两边平方，得16a(c-a)=3c.

22224

两边同除以a并整理得3e-16e+16=0，∴e=4或e=显然，B、C都不正确，

44222

.

∵02

>1,>1,得e=

2

=1+>2,

∴e=4，故e=2.

说明：此题难度系数为0.47，难度较大.不但要用方程思想求出e，还要根据已知条件b>a检验，得出符合条件的e.本

题由已知b>a，可知离心率大于等轴双曲线的离心率，解出e=2与

5．选A.此题考察双曲线的基本知识，以及计算能力和推理能力.

后就可断定e=2.

解：[解法1]由双曲线的方程知a=2,b=1,∴c=.因此|F1F2|=|2c|=2.

由于双曲线是对称图形，如下图，设P点坐标为(x,)，由已知F1P⊥F2P，

∴2=-1,即=-1，

得x=

2

.∴=2|F1F2|2=222=1.

[解法2]∵(|PF1|-|PF2|)=4a=16,而由勾股定理得|PF1|+|PF1|=(2c)=20,

22222

则|PF1||PF2|=

[|PF1|+|PF2|-(|PF1|-|PF2|)]=

222

(20-16)=2,∴=1.

说明：此题难度系数为0.56，有一定难度.解法2远强于解法1，解法2利用双曲线定义与勾股定理求出|PF1|与|PF2|的积，进而求ΔF1PF2的面积，思路明了，运算简便.

26

6.选B

解：由于|PF2|=|F2F1|，P点满足=1，∴y=,∴2c=,

即2ac=b=c-a,∴2=e-7.选C

222

故e=1+.

解：由题意知a=-

2

,b=-

2

,∴a+b=-

22

-=-,c=-

2

.

∵准线方程y=

8．选C

==1,∴-=,即=-,-6k=4,∴k=-.

解：∵双曲线=1的渐近线为y=±x，点(-3,2)在渐近线y=-x下方其次象限，设所求方程为

=k,代入(-3,2)得k=,c=,

d=csinθ,tanθ=9．选B

,∴sinθ=,d=2.

解：∵关于直线x-y+2=0对称，故可作变换公式，代入原双曲线方程得=1，即

=1.

10．选A.

解：由题意知圆心为（5，0）.圆心到双曲线渐近线的距离为圆的半径r,

∴r=

=4,∴所求圆的方程为(x-5)+y=16,即x-10x+y+9=0.

27

2222

一类直线与圆锥曲线相交问题的解法

直线与圆锥曲线的位置关系问题涉及到解析几何主要研究对象，所用到的知识点较多，综合性强．这里介绍的是一类直线与圆锥曲线相交问题的处理方法．

例1：已知椭圆C中心在坐标原点，与双曲线x-3y＝1有一致的焦点，直线y＝x+1与椭圆C相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程．

分析：此题是有关直线与椭圆的交点问题，一般方法是将直线方程代入到椭圆方程，消元得x(或y)的一元二次方程，利用韦达定

2

2

理和已知条件(此题是OP⊥OQ)，结合椭圆C与双曲线的焦点之间的关系求出椭圆方程，这是解决有关直线与圆锥曲线相交问题的基本方法，应注意把握．

解法1：双曲线x-3y＝1的焦点为

22

设椭圆C的方程为。

由椭圆C与双曲线x-3y＝l同焦点，知

22

，即。

由题意，点P、Q的坐标满足方程组

2

2

2

2

2

将(2)代入(1)，整理，得2(3b+2)x+2(3b+4)x+(3b+4)(1-b)=0(3)

设方程(3)的两根为x1，x2，则直线y＝x+1与椭圆C的交点为P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

由OP⊥OQ，得,即,

也即x1+x2+2x1x2+1=0.

由韦达定理及方程(3)，得,

即3b+b-2=0,∴

42

.

28

故所求椭圆方程为.

上述方法中利用了条件，由此可以看出，若能够构造相应的一元二次方程，使其两根为与就可以了，

这就要利用椭圆C与直线y＝x+1得到相应的关于的一元二次方程．

解法2：易知椭圆C的方程为即3bx+(3b+4)y=b(3b+4)

22

2

2

2

2

，

将其与直线方程y＝x+l联立，得(2)3b(3b+4)-(1)，得

(3b+b)x-2b(3b+4)xy+(3b+4)(b-1)y=0.两边同除以x，得

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(3)

设P(xl，y1)，Q(x2，y2)，则是方程(3)的两根．

又OP⊥OQ,∴,

由(3)和韦达定理，得,

即3b+b-2=0,

42

∴,

所求椭圆C的方程为(3)

上述解法2利用了条件OP⊥OQ，构造了关于

的一元二次方程，由韦达定理求得椭圆C方程中的参数b，较解法1简单，

29

2

这不失为解决一类垂直问题的方法，但只能用于椭圆与双曲线，对于抛物线不能得到相应的二次齐次式．

从上述两种解法中，我们可以看到在解决直线与圆锥曲线相交问题时，不一定要求出它们的交点，就可以解决有关弦长，弦中点及直线与圆锥曲线中有关参数，其中的关键是由直线方程和圆锥曲线方程得出相应的一元二次方程，并利用韦