第二节应变分析

第二节应变分析第1页，共126页，2023年，2月20日，星期一二、有关变形的一些基本概念（一）首先观察以下简单的例子：图a）表示均匀拉伸，变形体中的单元体P在拉伸后拉长变细，同时移至P1的位置，在不同的方向切取单元体时，单元体变形的表现形式不同。例如斜切的单元体Q移至Q1的同时就歪斜了。图b）表示一物体在有摩擦的平板间被压缩成了鼓形，这时中心线上的一个单元体P被压扁且移至P1，而Q移至Q1时还由于摩擦力的作用而歪斜了；单元体R移至R1时还有明显的角度偏转。2第2页，共126页，2023年，2月20日，星期一图c）表示理想化的剪切过程，这时单元体P被剪斜了；而单元体Q则仅仅平移至Q1，并未变形。图d）是弯曲工序，单元体P移至P1时，被压短而且转动了角度；单元体Q移至Q1的同时转动了一个角度，但没有变形。3第3页，共126页，2023年，2月20日，星期一以上的例子说明：变形的大小与质点间的相对位移变化有关一点的不同方向，变形数值不同刚性位移，不产生变形。因此:在外力作用下,物体各点的位置要发生变化,即发生位移.4第4页，共126页，2023年，2月20日，星期一刚性位移：如果物体各点发生位移后仍然保持各点间的初始状态的相对位置,则物体实际上只产生刚体移动和转动,称这种位移为刚性位移。刚性位移不产生变形。位移分为两种：相对位移：如果物体各点发生位移变形改变各点间的初始状态的相对位置,即内部质点产生相对位置的改变。

相对位移产生形状的变化,称为该物体的变形，5第5页，共126页，2023年，2月20日，星期一纯变形（二）基本概念（1）单元体的变形可分为两种形式：线应变和角应变。线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短角应变（或切应变）：单元体角度的变化（即单元体畸变）物体受力→内部质点产生相对位置的改变和形状的变化，即变形。应变是表示变形大小的物理量。6第6页，共126页，2023年，2月20日，星期一（2）对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向不同，则单元体表现出来的变形数值也不同，所以同样需要引入“点的应变状态”的概念。（3）物体变形时，单元体一般同时发生平移、转动、正应变、角应变。平移、转动—统称刚性运动（并不引起变形），只表示刚性位移。物体的变形只与其内部质点的相对位置有关，而与物体的刚体运动无关。各质点的相对位置变化时，会产生应变。金属塑性成形原理应变分析7第7页，共126页，2023年，2月20日，星期一总结：位移：质点从一点移至另一点变形：只有质点间的位移不一致时，才产生变形刚性位移（旋转和平移）不产生变形正变形：线尺寸伸长或缩短剪变形：形状发生畸变（角度发生变化）刚性位移（旋转和平移）相对位移（正变形、剪变形）8第8页，共126页，2023年，2月20日，星期一1、概念位移：变形体各点位置的移动。位移分量：设物体内任意点的位移矢量为MM1，则它在三个坐标轴方向的投影就称为该点的位移分量，分别用u、v、w表示，简记为ui。一．位移分量和应变（一）位移及其分量9第9页，共126页，2023年，2月20日，星期一由于物体在变形之后仍应保持连续，故位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数，对于直角坐标系，位移分量函数即为：u=u（x,y,z）v=v（x,y,z）w=w（x,y,z）上式表示某物体内的位移场。位移场10第10页，共126页，2023年，2月20日，星期一2．相对位移1）单元体均匀变形时基本假设（1）变形前是直线，变形后仍为直线（2）变形前后均为平面（3）变形前后仍为平行平面（4）变形前后仍为平行直线变形的大小与位移有关一点的不同方向，变形数值不同金属塑性成形原理应变分析11第11页，共126页，2023年，2月20日，星期一3．相对位移分量

现在来研究变形体内无限接近两点的位移分量之间的关系。设受力物体内任一点M，其坐标为（x,y,z），小变形后移至M1，其位移分量为ui（x,y,z）。邻近的点与M点无限接近的一点Mˊ点，其坐标为（x+dx，y+dy，z+dz），小变形后移至M1ˊ，其位移分量为uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz）如图所示。12第12页，共126页，2023年，2月20日，星期一（1）各点的坐标值M（x，y，z）Mˊ（x+dx，y+dy，z+dz）（2）M1点的位置函数u=u（x，y，z）v=v（x，y，z）w=w（x，y，z）

邻近的点13第13页，共126页，2023年，2月20日，星期一（3）M1ˊ点的位置函数u+δu=u（x+dx，y+dy，z+dz）=f1（x+dx，y+dy，z+dz）v+δv=v（x+dx，y+dy，z+dz）=f2（x+dx，y+dy，z+dz）w+δw=w（x+dx，y+dy，z+dz）=f3（x+dx，y+dy，z+dz）邻近的点14第14页，共126页，2023年，2月20日，星期一（4）相对位移的表达式按泰勒级数展开忽略高阶小量，得简记为：uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz），将函数uiˊ按泰勒级数展开，并略去二阶以上的高阶微量，并利用求和约定，则得15第15页，共126页，2023年，2月20日，星期一同理，得

若已知变形物体内的一点M的位移分量，则与其临近一点Mˊ点的位移分量可用M的位移分量及其增量来表示。uiˊ=ui+du位移增量相对位移的意义：某一方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分量在三个坐标方向变化量之和。16第16页，共126页，2023年，2月20日，星期一金属塑性成形原理应变分析若无限接近两点的连线M

Mˊ平行于某轴，如平行X轴，则：Mˊ则在X方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分量在X坐标方向变化量。17第17页，共126页，2023年，2月20日，星期一（二）应变及其分量1.名义应变及其分量名义应变又称相对应变或工程应变。

材力，弹塑性理论所讨论的变形一般都是小变形，一般在10－3→10－2数量级。在此基础上，我们将进一步讨论大塑性变形的特点。名义应变包括：线应变(正应变)切应变。18第18页，共126页，2023年，2月20日，星期一αxyαyxABCPP1x0yx0yx0yA’1A1C’1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1ΦxyA1C1γyxγxy单元体在xoy坐标平面内的应变B1xoy坐标平面内:变形前PABC，变形后P1A1B1C1分析变化情况：

PA、PC长度发生变化

PA与PC的夹角发生变化19第19页，共126页，2023年，2月20日，星期一（1）线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短如图线元PA的正应变而棱边PA在x轴上的线应变20第20页，共126页，2023年，2月20日，星期一同样:平行y轴的棱边在y轴方向上的线应变和平行z轴的棱边在z轴方向上的线应变同样可求得。因此有：线应变分量21第21页，共126页，2023年，2月20日，星期一假设单元体在平面内发生了切应变，使线元PC和PA所夹的直角减小为(图b)。这相当与C点在垂直于PC方向偏移了δrt

。（2

）切应变：单元体角度的变化22第22页，共126页，2023年，2月20日，星期一图3-24b所示工程切应变，可看成是线元PA和PC同时向内偏转相同的角度其结果如图3-24C，即定义工程切应变切应变23第23页，共126页，2023年，2月20日，星期一实际上PA和PC偏转的角度不一定相同。假设它们的实际偏转角度分别为αxy

和αyx，偏转结果仍然使∠CPA

缩小Фxy

其中γxy

和γyx

一般称为切应变。γxy

的下标符号表示为x方向的线元，向y方向偏转的角度。24第24页，共126页，2023年，2月20日，星期一实际变形<>设

实际变形切应变

刚性转动

8℃

2℃

5℃

5℃

ωz=3℃25第25页，共126页，2023年，2月20日，星期一则相当于PA，PC先同时偏转γxy和γyx

（假设5℃）。然后整个单元体绕Z轴转一个角度ωz（假设3℃）。因此，αxy

和αyx已包括了刚体的转动。即γxy=ωz+αxy26第26页，共126页，2023年，2月20日，星期一2、质点的应变状态及应变张量将切应变及刚体转动推广至三维：切应变：γij

切应变分量27第27页，共126页，2023年，2月20日，星期一三个方向的刚体转动（顺时针方向）28第28页，共126页，2023年，2月20日，星期一

变形体内某质点作为单元体，变形后的应变分量有九个，三个正应变，六个剪应变。它们构成应变张量。它也是一个对称的张量，具有应力张量的一切性质。i—线元方向j—变形的方向29第29页，共126页，2023年，2月20日，星期一2、对数应变（1）相对线应变(也称工程应变或名义应变)相对应变不能真实地反映实际变形情况。因l0不变30第30页，共126页，2023年，2月20日，星期一（2）相对断面收缩率式中A0——试样原始断面积

A1——拉伸后试样断面积31第31页，共126页，2023年，2月20日，星期一（3）对数应变（也称真实应变）当试样从l0增加到ln时，则总应变为设在单向拉伸过程中某瞬时试样的长度为l，该瞬时后试样的长度又伸长了dl，则其应变增量为l—为试样的瞬时长度。dl—为瞬时长度的改变量称为对数应变，是用应变增量的积分来表示的全量应变，它反映了物体变形的实际情况，故又称为真实应变。32第32页，共126页，2023年，2月20日，星期一对数应变的定义为：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和。33第33页，共126页，2023年，2月20日，星期一均匀拉伸时或以上是对数应变和相对应变的关系。三种应变的关系将（a）式按台劳级数展开：得（a）∴34第34页，共126页，2023年，2月20日，星期一在小变形时，又∵∴均匀拉伸阶段，由于体积不变，即∴以上公式将三种应变形式联系起来了。135第35页，共126页，2023年，2月20日，星期一即:三种应变的关系为:36第36页，共126页，2023年，2月20日，星期一对数应变的特点：1）对数应变反映了瞬态变形，更能真实地表示实际变形过程。真实性37第37页，共126页，2023年，2月20日，星期一如而2）对数应变具有可加性可加性38第38页，共126页，2023年，2月20日，星期一例：将50cm长杆料拉伸至总长90cm，总应变为若分两个阶段（1）50cm～80cm（2）80cm～90cm则相对应变

39第39页，共126页，2023年，2月20日，星期一拉伸前后试样尺寸试样拉伸在不同阶段时的尺寸而对数应变

表明对数应变具有可加性40第40页，共126页，2023年，2月20日，星期一3）对数应变能真实反映出拉、压变形的应变值，与实验结果较吻合可比性压

拉压

显然，拉、压的相对应变绝对值不等拉例：对数应变：相对应变压前2L→

压后L

拉L→

2L41第41页，共126页，2023年，2月20日，星期一

课堂练习：有一试棒均匀连续拉伸五次，每拉一次断面收缩20%，试用相对伸长、断面收缩率和对数应变分别求出各次的应变值和总应变值。并分析哪种应变表达方式比较合理。42第42页，共126页，2023年，2月20日，星期一提示：故43第43页，共126页，2023年，2月20日，星期一二、小应变几何方程（位移分量与应变分量之间的关系）教材P91

由于变形物体内的点产生了位移，因而引起了质点的应变。因此，质点的应变是由位移所确定的，一旦物体内的位移场确定以后，则物体内的应变场也就被确定了。下面就来建立位移分量和应变分量之间的关系。

位移分量和应变分量究竟存在何种关系？

44第44页，共126页，2023年，2月20日，星期一

设在图中，abcd为单元体变形前在xoy坐标平面上的投影，而a1b1c1d1为位移及变形后的投影。图中b、c点为a点的邻近点，并设ac=dx，ac//ox轴；ab=dy，ab//oy轴；a点的位移分量为u、v。c点的位移分量为u+δuc、v+δvc。b点的位移分量为u+δub、v+δvb。45第45页，共126页，2023年，2月20日，星期一C点位移增量b点位移增量根据式（3-44），有第46页，共126页，2023年，2月20日，星期一棱边ab（即dy）在y方向的线应变为根据图3-31中的几何关系，可求出棱边时ac（即dx）在x方向的线应变εx，即为在X方向上的相对位移增量。47第47页，共126页，2023年，2月20日，星期一48

由图3-31的几何关系，有∵∴其值远小于１U48第48页，共126页，2023年，2月20日，星期一同理可得因而工程切应变为

则切应变为:49第49页，共126页，2023年，2月20日，星期一按同样的方法，由单元体在yoz和zox坐标平面上投影的几何关系可得其余应变分量与位移分量之间关系的公式，综合上述可得应变分量与位移分量之间关系-小应变几何方程3-6650第50页，共126页，2023年，2月20日，星期一用角标符号表示为

式（3-66）表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，它是由变形几何关系导到，故称为小应变几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由小应变几何方程求得应变场。3-66a51第51页，共126页，2023年，2月20日，星期一为了便于记忆可以将坐标原点取在六面体的一个顶点，而在图上画出三个棱边dx、dy、dz，这些棱边的伸长量是du、dv、dw。这时正应变可以作为总伸长与棱边原长之比写出如下：伸长量52第52页，共126页，2023年，2月20日，星期一为了写出切应变可以假想平行六面体的棱边在对应的平面内有转动，因而棱边的端点有位移，这里把转角作为端点位移与原棱边原长之比，而将切应变作为对应平面内两转角之和的一半写出来。应变分析图例如：转动53第53页，共126页，2023年，2月20日，星期一例题1试求物体中坐标为x=1，y=1，z=1的p点的应变张量、应变偏量与最大剪应变。解:根据应变—位移关系式（小应变几何方程），得设物体中的位移函数为54第54页，共126页，2023年，2月20日，星期一55第55页，共126页，2023年，2月20日，星期一将p点坐标x=1，y=1，z=1代入上述各式，并注意得p点的应变张量如下所以与上述εijˊ相对应的应变偏量为56第56页，共126页，2023年，2月20日，星期一三、点的应变状态和应变张量(任意方向上的应变P85)

借助于一点的应力状态概念来描述一点的应变状态，即过一点任意方向上的正应力与切应力的有无情况。可以用一微线段在某方向上的变形来加以描述。57第57页，共126页，2023年，2月20日，星期一现设变形体内任一点a（x,y,z），过该点三个相互垂直线上的应变分量εij已知。即邻近的点由a引一任意方向线元ab，其长度为r，方向余弦为l、m、n。已知58第58页，共126页，2023年，2月20日，星期一(a)(b)小变形前，b点可视为a点无限接近的一点。a点坐标为（x，y，z），b点坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）。则ab在三个坐标轴上的投影为dx、dy、dz，方向余弦及r分别为59第59页，共126页，2023年，2月20日，星期一变形前ab变形后a1b1小变形后，线元ab移至a1b1，其长度为r1=r+dr，同时偏转角度为αr，如图所示。60第60页，共126页，2023年，2月20日，星期一为求得r1，可将ab平移至a1N，构成三角形a1Nb1。由解析几何可知，三角形一边在三个坐标轴上的投影将分别等于另外两边在坐标轴上的投影之和。在这里，Na1

的三个投影即为dx、dy、dz.现求ab方向上的线应变εr。而Nb1的投影（即为b点相对a点的位移增量）为du、dv、dw.61第61页，共126页，2023年，2月20日，星期一变形前ab2=r2=dx2+dy2+dz2变形后a1b12=（r+dr）2=(dx+du)2+(dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2+dy2+dz2)+du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)（r+dr）2-r2=(du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)(c)忽略微量du2，dv2，dw2，得62第62页，共126页，2023年，2月20日，星期一将式（C）两边除以r2，

令r的方向余弦为l，m，n（d）将式(3-43)中dui的值代入式（d），(3-43)63第63页，共126页，2023年，2月20日，星期一比较任意斜面上的法向应力∴线应变它与全应力与应力分量之间关系的表达形式是一样的，反映了全应变与应变分量之间的关系。整理后得：3-5264第64页，共126页，2023年，2月20日，星期一下面求线元变形后的偏转角，即图中的αr

为了推导方便，可设r=1。由N点引按直角三角形NMb1（e）a1M=r=1故a1M=r=165第65页，共126页，2023年，2月20日，星期一于是式（e）可写成金属塑性成形原理应变分析金（f）66第66页，共126页，2023年，2月20日，星期一如果没有刚体转动，则求得的αr就是切应变γr。为了除去刚体转动的影响，即只考虑纯剪切变形，可将式（3-43）改写为刚体转动67第67页，共126页，2023年，2月20日，星期一显然，上式后面的第二项是由于刚性转动引起的位移增量分量，而第一项才是由纯剪切变形引起的相对位移增量分量，若以duiˊ表示，则如将式（g）代入式（f），即可求得切应变的表达式为（g）3-53（3-52）、（3-53）与任意斜面上的应力表达式形式完全相似。因此应变的有关公式可以借鉴应力的相应表达式。68第68页，共126页，2023年，2月20日，星期一NMb1(xi+dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+dxi)ui+duiduir1r1=+drαr0xyz任意方向线元的应变69第69页，共126页，2023年，2月20日，星期一四．体积不变条件（是什么？）

1．含义：塑性变形前后，材料体积保持不变。变形后，单元体的体积为

设单元体初始边长为dx、dy、dz，则变形前体积为体积变化率2．条件方程70第70页，共126页，2023年，2月20日，星期一体积不变条件表明：塑性变形时三个正应变之和等于零；三个正应变不可能全部同号。塑性变形时，由于塑性变形前后，材料体积保持不变。对于弹性变形71第71页，共126页，2023年，2月20日，星期一（1）确定塑性加工毛坯尺寸（计算尺寸）（2）确定应变分量之间得关系（3）可以作为塑性变形是否协调的近似判据。例题P883.作用72第72页，共126页，2023年，2月20日，星期一73第73页，共126页，2023年，2月20日，星期一特征方程金属塑性成形原理应变分析主应变，应变分量的不变量，主剪应变和最大剪应变1、主应变：剪应变等于零时所对应的正应变称主应变。用ε1、ε2、ε3

表示。五、点的应变状态与应力状态的比较对主轴坐标：74第74页，共126页，2023年，2月20日，星期一2应变张量不变量第三不变量第二不变量第一不变量对于弹性变形对于塑性变形75第75页，共126页，2023年，2月20日，星期一3主剪应变，最大剪应变mnl000则

方向为与主应变方向成若76第76页，共126页，2023年，2月20日，星期一应变莫尔圆

应变莫尔圆，类似应力莫尔圆

O3OO1O2εε1ε2ε3γγ12γ13γ23应变莫尔圆ε377第77页，共126页，2023年，2月20日，星期一用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。三个主应变中绝对值最大的主应变，反映了该工序变形的特征，称为特征应变。4、主应变简图78第78页，共126页，2023年，2月20日，星期一如用主应变简图来表示应变状态，根据体积不变条件和特征应变，则塑性变形只能有三种变形类型。比较主应力图79第79页，共126页，2023年，2月20日，星期一压缩类变形。特征应变为负应变。另两个应变为正应变。剪切类变形（平面变形）一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。伸长类变形。特征应变为正应变，另两个应变为负应变。80第80页，共126页，2023年，2月20日，星期一5、应变偏张量和球张量，八面体应变和等效应变应变球张量

应变偏张量塑性变形时，体积不变，，这时应变偏张量就是应变张量81第81页，共126页，2023年，2月20日，星期一得：与τ8的推导过程一样，即等效应变：将八面体剪应变取绝对值，乘以系数，所得之参量叫做等效应变。（比较等效应力，乘）八面体应变82第82页，共126页，2023年，2月20日，星期一单向应力状态时，主应变为ε1，ε2=ε3塑性变形时，故这时83第83页，共126页，2023年，2月20日，星期一等效应变特点：1、是一个不变量。2、在塑性变形时，其数值等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变ε1。即84第84页，共126页，2023年，2月20日，星期一问题的引出-知识要点回顾小应变几何方程六个应变分量取决于三个位移分量？这六个分量之间应该存在某种联系？六．应变连续方程（协调方程）由上述小应变几何方程可知，六个应变分量取决于三个位移分量，所以六应变分量不是的任意的，其间必存在一定的关系。85第85页，共126页，2023年，2月20日，星期一1．讨论协调方程的目的金属塑性成形原理应变分析概念：六个应变分量之间的关系称为应变连续方程或协调方程。1）校核应变场不满足协调方程，应变场是不可解的，不真实的，不连续的。2）寻求补充方程86第86页，共126页，2023年，2月20日，星期一物体变形后必须仍然保持其整体性和连续性，即变形协调性。否则会出现下图（b）那样的“撕裂”现象，或图（c）那样的“套叠”现象，从而破坏了变形后必须仍然保持的整体性和连续性。图变形状态分析87第87页，共126页，2023年，2月20日，星期一

2．协调方程由对y取两阶偏导,得1)已知线应变求切应变在xoy平面内，有εx,

εy,γxy对x取两阶偏导,得88第88页，共126页，2023年，2月20日，星期一两式相加,得同理,在YZ平面上

在XZ平面上

故

上式表明：在一个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。即小应变几何方程89第89页，共126页，2023年，2月20日，星期一

在每个坐标平面内，两个线应变一经确定，则切应变分量随之被确定！切应变到线应变？90第90页，共126页，2023年，2月20日，星期一对X，Z求导，得

对X，Y求导，得金属塑性成形原理应变分析2)已知切应变求线应变由由两式相加，得91第91页，共126页，2023年，2月20日，星期一故

同理

金属塑性成形原理应变分析上式表明：在三维空间内，三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。92第92页，共126页，2023年，2月20日，星期一

在三维空间内三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就被确定！93第93页，共126页，2023年，2月20日，星期一设试问上述应变场在什么情况下成立？其中a、b为常数，例题例题解答94第94页，共126页，2023年，2月20日，星期一应变连续方程的物理意义：只有当应变分量之间满足上述方程时，物体变形后才是连续的，否则，变形后会出现“撕裂”现象，或“套叠”现象，从而破坏了变形后必须仍然保持的整体性和连续性。需要指出的是：如果已知位移分量ui，则由小应变几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但若先用其他方法求得应变分量，则要同时满足连续方程，才能由小应变几何方程求得正确的位移分量。95第95页，共126页，2023年，2月20日，星期一判断题：如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，也自然满足协调方程，则不必校验其是否满足连续性条件。（）填空题：材料经过连续两次拉伸变形，第一次的真实应变为ε1＝０.1，第二次的真实应变为ε２＝０.25，则总的真实应变ε＝

。96第96页，共126页，2023年，2月20日，星期一七、应变增量与应变速率张量全量应变：反映变形体在某一变形过程阶段终了的变形大小，称之为全量应变。它只考虑过程的两个极端，而不考虑变形过程的某一瞬间。一、全量应变与应变增量的概念97第97页，共126页，2023年，2月20日，星期一而塑性变形一般都是大变形，且大变形的整个过程十分复杂。因此，前面讨论的小应变时的公式在大变形中不能直接使用。但是，大变形又是由很多瞬间的小变形累加而成，因此有必要分析大变形过程中某个特定瞬间的变形情况。所以提出了应变增量及应变速率的概念。98第98页，共126页，2023年，2月20日，星期一

全量应变度量基准是变形以前的原始尺寸。而增量则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程某一瞬间的尺寸。99第99页，共126页，2023年，2月20日，星期一第100页，共126页，2023年，2月20日，星期一二、速度分量（1）含义：单位时间的位移分量讨论全量应变时，只是用了某变形过程终了时的位移场，所以没有引入时间参数。在描述整过变形过程时，则必须引入时间参数，这时的位移分量为式中x、y、z是物体中一点在某时刻的坐标，它也是时间的函数。所以，位移分量ui对时间的全导数就是该点的移动速度分量，一般以表示，可记为101第101页，共126页，2023年，2月20日，星期一102所以，单位时间内的位移分量称为移动速度。一般以表示，可记为速度分量简记102第102页，共126页，2023年，2月20日，星期一速度场位移是坐标的连续函数，而位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数。103第103页，共126页，2023年，2月20日，星期一小变形时，ui很小，全导数中的牵连部分可以忽略不计，则有速度分量：金属塑性成形原理应变分析速度场←位移场对时间的导数。104第104页，共126页，2023年，2月20日，星期一三、位移增量和应变增量

设在变形过程中的某一瞬时(如P´点)，物体各点的速度分量为，在随后的一个无限小时间间隔dt之内，质点产生的位移称为位移增量。位移增量速度分量xyzduu0PP1全量位移ui，而P´P´´=PP´´-PP´=duiP105第105页，共126页，2023年，2月20日，星期一

产生位移增量dui之后，变形体内各质点就有相应的无限小应变增量。

应变增量与位移增量之间的关系，也即几何方程，在形式上与小变形几何方程相同。将小变形几何方程中的ui改成dui，即可求得应变增量的各个分量，一般用符号dεij表示，于是应变增量的几何方程为：应变增量与位移增量之间的关系106第106页，共126页，2023年，2月20日，星期一说明：1）应变增量与小应变张量在表达形式上一样。（具有三个主方向，三个主应变增量，偏张量，球张量，等效应变增量等）2）应变增量主轴与当时的全量应变主轴不一定重合。3)dεij中的d表示增量，不是微分的符号。对一般的塑性变形过程，dεij并不表示εij的微分；对dεij积分也毫无意义，并不等于εij

。应变增量张量107第107页，共126页，2023年，2月20日，星期一同理，得应变速率几何方程四、应变速率张量定义：单位时间的应变称为应变速率，俗称变形速度。用表示，单位1/s108第108页，共126页，2023年，2月20日，星期一金属塑性成形原理应变分析说明：1）

应变速率反映了物体内各质点位移速度的差别

2）应变速率取决于工具运动速度和物体形状尺寸

应变速率张量

109第109页，共126页，2023年，2月20日，星期一在试验机上均匀压缩一柱体，下垫板不动，上压板以下移，取柱体下端为坐标圆点，压缩方向为x轴。柱体某瞬时高度为h，此时，柱体内各质点在x方向上的速度为例题：应变速率分量：单向均匀压缩时的位移速度hx0u110第110页，共126页，2023年，2月20日，星期一h=100mm锤锻若h=10mm，则上述的变形速度都增加10倍。因此应变速率取决于工具运动速度和物体形状尺寸

设单向均匀压缩时的位移速度hx0u111第111页，共126页，2023年，2月20日，星期一八、塑性加工中常用的变形量的计算方法(自学)压下量Δh=H－hΔB=b－B宽展量式中H和B—拔长及轧制前的高度和宽度；h和b