第三节合情推理与演绎推理

第三节合情推理与演绎推理第1页，共20页，2023年，2月20日，星期一基础梳理1.归纳推理(1)推理的定义：从________________得出________的思维过程称为推理，它由________和________两部分组成．(2)归纳推理的定义从________中推演出________的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(3)归纳推理的思维过程大致如图试验、观察概括、推广猜测一般性结论第2页，共20页，2023年，2月20日，星期一(4)归纳推理的特点①归纳推理的前提是__________，归纳所得的结论是______________，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有________的性质，结论是否真实，还需经过________和__________，因此，它不能作为________的工具．③归纳推理是一种具有________的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们________问题和______问题．第3页，共20页，2023年，2月20日，星期一2.类比推理(1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也________或________，像这样的推理通常称为类比推理．(2)类比推理的思维过程是：观察、比较联想、推理猜测新的结论(3)合情推理是根据____________、____________、________________，以及______________等推测某些结果的推理过程，________和________都是教学过程中常用的合情推理．第4页，共20页，2023年，2月20日，星期一3.演绎推理(1)演绎推理是一种由________的命题推演出________命题的推理方法．(2)主要形式是三段论式推理．(3)三段论的常用格式为MP(M是P)①__________②SP(S是P)③其中，①是____________，它提供了一个一般性的原理；②是________，它指出了一个特殊对象；③是________，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．第5页，共20页，2023年，2月20日，星期一(4)演绎推理的特点：演绎的前提是______________，演绎所得的结论是蕴涵于__________________，结论完全蕴涵于____________．(5)在演绎推理中，________之间存在必然的联系，只要前提是______，推理的形式是________，那么结论也必定是______．因此，________是数学中严格证明的工具．(6)演绎推理是一种________的思维方式，它较少创造性，但却具有________、________的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．第6页，共20页，2023年，2月20日，星期一答案：1.(1)一个或几个已知命题另一个新命题前提结论(2)个别事实一般性(4)①几个已知的特殊现象尚属未知的一般现象②猜测逻辑证明实践检验数学证明③创造性发现提出2.(1)相似相同(3)已有的事实正确的结论实验和实践的结果个人的经验和直觉归纳推理类比推理3.(1)一般性特殊性(3)SM(S是M)大前提小前提结论(4)一般性原理前提之中的个别、特殊事实前提之中(5)前提与结论真实的正确的正确的演绎推理(6)收敛性条理清晰令人信服第7页，共20页，2023年，2月20日，星期一基础达标1.已知a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则a2011=________.解析：写出前面一些项：3,6,3，-3，-6，-3,3,6,3，…，可以找到规律：此数列以6为周期，所以a2011=a335*6+1=a1=3.答案：1.3

2.(选修2-2P71练习4改编)推理“因为对数函数y=logax(a>0，a1)是增函数，而y=loga是对数函数，所以y=loga

是增函数”错误的原因是________．解析：因为0<a<1时，对数函数y=logax是减函数，所以大前提错误，导致结论错误．答案：大前提错误第8页，共20页，2023年，2月20日，星期一3.(选修2-2P67练习3改编)若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=r(a+b+c)，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，其四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积V=________.解析：将平面图形的面积分割类比到空间的体积分割可得四面体的体积V=R(S1+S2+S3+S4)．答案：

R(S1+S2+S3+S4)4.利用归纳推理，当n是自然数时，对(n2-1)[1-(-1)n]的值，以下说法中不正确的是________(填序号)．①一定是零；②不一定是整数；③一定是偶数；④是整数但不一定是偶数．第9页，共20页，2023年，2月20日，星期一解析：当n=1时，值为0；当n=2时，值为0；当n=3时，值为2；当n=4时，值为0；当n=5时，值为6.故①②④不正确．答案：①②④5.(选修2-2P71练习3改编)将推理“函数y=2x2+x-1的图象是抛物线”改写成三段论．解析：二次函数的图象是抛物线(大前提)函数y=2x2+x-1是二次函数(小前提)函数y=2x2+x-1的图象是抛物线(结论)第10页，共20页，2023年，2月20日，星期一经典例题题型一归纳推理【例1】已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=(n=1,2,3，…)，用归纳法归纳出这个数列的通项公式为________．解：当n=1时，a1=1；当n=2时，a2=；当n=3时，a3=当n=4时，a4=.归纳可得，数列{an}的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为an=第11页，共20页，2023年，2月20日，星期一变式1-1数列{an}中，a1=1，an+1=-(n=1,2,3，…)，则a2012=________.解析：求出数列的前几项，再进行归纳．由题意可得a1=1，a2=-,a3=-2，a4=1，a5=-，a6=-2，…，归纳得出数列{an}是以3为周期的周期数列，而2012=3´670+2，∴a2012=a2=-【例2】如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD×BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A­BCD中，AD⊥面ABC，若点A在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题？题型二类比推理第12页，共20页，2023年，2月20日，星期一解:命题是：三棱锥A­BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S2△ABC=S△BCM×S△BCD是一个真命题．证明：在图中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DE⊥BC，AE⊥BC.第13页，共20页，2023年，2月20日，星期一因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2=EM×ED.S2△ABC=S△BCM×S△BCD.变式2-1已知，如图(1)所示的图形有面积关系用类比的思想写出如图(2)所示的图形的体积关系等于多少？证明你的结论．第14页，共20页，2023年，2月20日，星期一解：证明：过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO，则A1在平面PBC内的射影O1落在PO上，则又∵∴第15页，共20页，2023年，2月20日，星期一题型三演绎推理

【例3】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF与AB

平行且EF=AB.(1)证明：FO∥平面CDE；(2)设BC=CD，证明：EO⊥

平面CDF.证明：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(大前提)．如图，取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中，OM平行且等于AB，又EF平行且等于AB，则EF平行且等于OM(小前提)，

第16页，共20页，2023年，2月20日，星期一一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，这条直线和这个平面垂直(大前提)，又EM⊥CD，OM⊥CD，EM∩OM=M(小前提)，所以CD⊥平面EOM(结论)，从而CD⊥EO.而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF.第17页，共20页，2023年，2月20日，星期一链接高考(2010×山东改编)观察(x2)′=2x，(x4)′=4x3，(cosx)′=-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)等于下面的哪个式子________．①f(x)；②-f(x)；③g(x)；④-g(x)．知识准备：1.复合函数f(-x)的求导公式[f(-x)]′=-f′(-x)；2.能够根据所给函数的原函数与导函数的奇偶性进行归纳得出一般性结论：原函数与导函数的奇偶性相反．第18页，共20页，2023年，2月20日，星期一解析：由给出的例子可以归纳得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(-x)=-g(x)．答案：④2.(2010×福建)观察下列等式：①cos2a=2cos2a-1；②cos4a=8cos4a-8cos2a+1；③cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1；④cos8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1；⑤cos10a=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a-1.可以推测，m-n+p=________.第19页，共20页，2023年，2月20日，星期一知识准备：1.m是最高次方的系数，p是倒数第二项的系数，n是倒数第三项的系数；2.对数字的归纳能力；3.寻找倒数第二项与倒数第三项系数之间的关系．

解析：因为2=21