信号分析与处理习题

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2.1有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs=6π，采样后经理想低通滤波器Ha(jΩ)还原，其中

?1?，??3?Ha(j?)??2?0，??3??现有两个输入，x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos5πt。试问输出信号y1(t)，y2(t)有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs必需大于等于信号谱最高角频率Ωh的2倍，即满足Ωs≥2Ωh。

解：已知采样角频率Ωs=6π，则由香农采样定理，可得

6??3?，所以y1(t)无失真；26??3?，所以y2(t)失真。由于x2(t)=cos5πt，而频谱中最高角频率?h2?5??2由于x1(t)=cos2πt，而频谱中最高角频率?h1?2??

ωω

3.2设x(n)的傅里叶变换为X(ej)，试利用X(ej)表示以下序列的傅里叶变换：（1）x1(n)?x(1?n)?x(?1?n)（2）x2(n)?1[x(n)?x?(?n)]2分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即

x(n)?X(ej?)，x(?n)?X(e?j?)

x(m?n)?e解：（1）由于DTFT[x(n)]?X(ej??j?mX(e?j?)

)，DTFT[x(?n)]?X(e?j?)，则

DTFT[x(1?n)]?e?j?X(e?j?)DTFT[x(?1?n)]?ej?X(e?j?)

故DTFT[x1(n)]?X(e??j?)[e?j??ej?]?2X(e?j?)cos?

?j?（2）由于DTFT[x(?n)]?X(e)

X(ej?)?X?(ej?)?Re[X(ej?)]故DTFT[x2(n)]?2

3.7试求以下有限长序列的N点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：

（1）x(n)?anRN(n)

（2）x(n)??(n?n0)，0?n0?N（3）x(n)?nRN(n)（4）x(n)?n2RN(n)

分析：利用有限长序列的DFT的定义，即

knX(k)??x(n)WN，n?0N?10?k?N?1

解：（1）由于x(n)?anRN(n)，所以

X(k)??aWnn?0N?1knN??aenn?0N?1?j2?nkN?1?aN1?ae2??jkN

（2）由于x(n)??(n?n0)，0?n0?N，所以

knX(k)???(n?n0)WNn?0kn?WN?jN?1n?n0

?e（3）由x(n)?nRN(n)，得

2?n0kNknX(k)??nWNn?0N?1注意：为了便于求解，必需利用代数简化法消除掉上式中的变量。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n．．

k(n?1)WX(k)??nWNkNn?0N?1

则X(k)(1?W)??nWkNn?0N?1knNk(n?1)??nWNn?0N?1k2k3kk(N?1)?[WN?2WN?3WN???(N?1)WN]2k3kk(N?1)kN?[WN?2WN???(N?2)WN?(N?1)WN]??(N?1)??Wn?1N?1knN

kWN?1??(N?1)?k1?WN??N所以

X(k)??Nk1?WN（4）注意：此题可利用上题的结论来进行化简。．．．．．．．．．．．．．．．．

由x(n)?n2RN(n)，则

knX(k)??n2WNn?0N?1根据第（3）小题的结论：若x1(n)?nRN(n)则

knX1(k)??nWN?n?0N?1?Nk1?WN与上题同理，得

X(k)(1?W)??nWkN2n?0N?1knNk(n?1)??n2WNn?0N?1k2k3kk(N?1)?[WN?4WN?9WN???(N?1)2WN]2k3kk(N?1)kN?[WN?4WN???(N?2)2WN?(N?1)2WN]kn??(N?1)??(2n?1)WN2n?1kn??N(N?2)?2?nWNn?1N?1N?1

??N(N?2)?2X1(k)??N(N?2)?所以

2Nk1?WN

kN(N?2)WN?N2X(k)?，0?k?N?1k2(1?WN)3.13[习题3.20]设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必需为2的整数幂，假定没有采用任何特别数据处理措施，要求频率分辩力≤10Hz，假使采用的采样时间间隔为0.1ms，试确定：

（1）最小记录长度；

（2）所允许处理信号的最高频率；（3）在一个记录中的最小点数。分析：

采样间隔T和采样频率fs满足fs=1/T，记录长度T0和频域分辩力F0的关系为T0=1/F0，采样定理为fs≥2fh（fh为信号最高频率分量），一个记录中最少的采样总数N满足

N?T0fs2fh??TF0F0解：

（1）由于T0=1/F0，而F0≤10Hz，所以

T0?即最小记录长度为0.1s。（2）由于fs?所以

1s1011??103?10kHz，而fs≥2fhT0.1fh?1fs?5kHz2即允许处理信号的最高频率为5kHz。（3）N?T00.1??103?1000T0.1又因N必需为2的整数幂

所以一个记录中的最少点数为N=210=1024。

3.17[课堂思考题]若x1(n),x2(n)是因果稳定序列，求证：

12?????X1(ej?)X2(ej?)d??{12?????X1(ej?)d?}{12?????X2(ej?)d?}

证：设y(n)?x1(n)?x2(n)则由时域卷积定理，得

Y(ej?)?X1(ej?)X2(ej?)

即

x1(n)?x2(n)?y(n)?1?2?令上式的左右两边n=0，得

12?????Y(ej?)ej?nd?

????X1(ej?)X2(ej?)ej?nd?12???X??1(e)X2(e)d??x1(n)?x2(n)n?0?x1(0)?x2(0)j?j??n????x1(k)x2(n?k)??k?0?n?0

又傅里叶反变换公式，得

1x1(n)?2?则

??X??1(e)ej?j?n1d?，x2(n)?2?12???X??2(ej?)ej?nd?

x1(0)?所以

12?????X1(ej?)d?，x2(0)?????X2(ej?)d?

12?????1X1(e)X2(e)d??{2?j?j?????1X1(e)d?}{2?j???X??2(ej?)d?}

5.1各态遍历的随机相位正弦波

x(t)?x0sin(?t??)

式中，x0,ω均为常数，φ在0~2π内随机取值，试求其自相关函数并作图。分析：

利用自相关函数的定义求解，即

Rxx(?)?lim解：由自相关函数的定义式，得

1T??T?T0x(t)x(t??)dt

1TRxx(?)?lim?x(t)x(t??)dtT??T01T/22?lim?x0sin(?t??)sin??(t??)???dtT??T?T/2令?t????则dt?1?d?，且?T?2?

2???x0故Rxx(?)?limsin2?cos???sin?cos?sin??d??T??2?????2x0?cos??2??可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关，而不含相位信息，这说明：正弦．．．．．．函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。

其自相关函数图形如下图。Rxx(τ)2x/20

τ

6.4试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc=2rad/s。

分析：与习题6.3同理，利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。解：对于三阶（N=3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为

H(j?)?令jΩ=s，则有

211??j?j?c?2N?11??j?j?c?6

H(s)H(?s)?各极点满足

11??sj?c?j?k?1??6

sk??cej?2k?N?1??2N?2e3，k?1,2,?,6