第二节定积分基本定理

第二节定积分基本定理第1页，共21页，2023年，2月20日，星期一第2页，共21页，2023年，2月20日，星期一

积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目黎曼积分）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象代数学，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。第3页，共21页，2023年，2月20日，星期一设记作积分上限函数定积分与积分变量无关一、积分上限函数及其导数1.定义又确定了一个在上的新函数，即上的上限变动的定积分在区间第4页，共21页，2023年，2月20日，星期一2.定理1

且证因为若思路：

根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限”积分中值定理第5页，共21页，2023年，2月20日，星期一显然又注定理说明了：若就是在上的一个原函数.由此肯定了连续函数的原函数是存在的揭示了定积分与原函数之间的关系第6页，共21页，2023年，2月20日，星期一证3.定理1`

⑴第7页，共21页，2023年，2月20日，星期一(3)(2)例1

解第8页，共21页，2023年，2月20日，星期一例2解第9页，共21页，2023年，2月20日，星期一解例3

例4解第10页，共21页，2023年，2月20日，星期一只要证即可。例5在内是单调增加函数。证第11页，共21页，2023年，2月20日，星期一/在内是单调增加函数。第12页，共21页，2023年，2月20日，星期一例6证第13页，共21页，2023年，2月20日，星期一证是单调增加的。例6证明是单调增加的。函数是连续的正函数，函数对一切实数又第14页，共21页，2023年，2月20日，星期一例7

设在上连续，在内可导且证明在内有证积分中值定理拉格朗日中值定理第15页，共21页，2023年，2月20日，星期一证是的一个原函数，二、牛顿--莱布尼茨（Newton-leibniz）公式1

定理2也是的一个原函数，而第16页，共21页，2023年，2月20日，星期一所以Newton-Leibniz公式也称微积分基本公式.解解求例1求例2解求在上与轴所围成的平面图形的面积。例3注公式又可记为：第17页，共21页，2023年，2月20日，星期一例5

设

,求.解第18页，共21页，2023年，2月20日，星期一例6求

解由图形可知第19页，共21页，2023年，2月20日，星期一解当时，当时，求在内的表达式。例7