第三讲间接效用函数与支出函数

第三讲间接效用函数与支出函数第1页，共46页，2023年，2月20日，星期一二、使用间接效用函数的原因：间接效用函数使用收入和价格两个变量来描述的消费者的最优消费均衡。第2页，共46页，2023年，2月20日，星期一三、间接效用函数的性质1、在价格和财富上是连续的。2、它对于价格和财富是零次齐次的，即价格和财富的同比例变化并不影响效用水平。3、在财富上是严格递增的。4、而在价格上则是严格递减的。5、满足罗伊恒等式。第3页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质1说明和证明第4页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质2的证明第5页，共46页，2023年，2月20日，星期一第6页，共46页，2023年，2月20日，星期一5、罗伊恒等关系如果间接效用函数在点上是可导的且，一定存在这个证明要用到包络定理第7页，共46页，2023年，2月20日，星期一包络定理(EnvelopeTheorem)与比较静态分析相关的一个重要工具是包络定理。比较静态分析的思想是在其它条件（参数）不变得前提下，研究单个参数的变化对均衡解的影响，以此来表达决策者的行为。而另一类重要的问题是，我们常常要考虑此参数的变化对目标函数（最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响，都属此类情形。在进入正式的讨论之前，我们先介绍一个概念：最大值函数第8页，共46页，2023年，2月20日，星期一最大值函数(MaximumValueFunction)最优规划问题中，我们知道最优解是与参数有关的函数，即，因此在最优解处，目标函数的值为：第9页，共46页，2023年，2月20日，星期一即目标函数在最优解处的解也是与参数c有关的函数，我们定义为，称之为最大值函数。更一般的，如果参数不仅出现在约束，而且也出现在目标函数，我们有：第10页，共46页，2023年，2月20日，星期一其中为参数为时的选择变量的最优解，或者称最优反应。因此，根据定义，如果对一任意，则有，等号当且仅当时取得。因此，最大值函数与函数是有区别的，一般而言，，当且仅当时，，即为参数的最优反应时取得等号。我们用一简单的图示来说明这一关系。第11页，共46页，2023年，2月20日，星期一第12页，共46页，2023年，2月20日，星期一包络定理：包络曲线与曲线相切于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代数表达为：在处取值。此等式即为包络定理。第13页，共46页，2023年，2月20日，星期一更加一般的，对于最优规划问题：其中选择变量x为n维向量，参数为m维向量，包络定理为：第14页，共46页，2023年，2月20日，星期一即参数对最大值函数（目标函数的最大值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对参数求偏导数，并在最优解处取值。第15页，共46页，2023年，2月20日，星期一包络定理证明第16页，共46页，2023年，2月20日，星期一第17页，共46页，2023年，2月20日，星期一第18页，共46页，2023年，2月20日，星期一第19页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质3证明第20页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质4证明多加一个假设条件,用与性质3同样的方法,可证由于第21页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质5证明两式相除，就可以得到罗伊恒等式第22页，共46页，2023年，2月20日，星期一例:从直接效用函数并验证性质5。第23页，共46页，2023年，2月20日，星期一第24页，共46页，2023年，2月20日，星期一令第25页，共46页，2023年，2月20日，星期一第26页，共46页，2023年，2月20日，星期一验证（略）性质3性质4性质5第27页，共46页，2023年，2月20日，星期一三、间接效用函数的应用间接效用函数的存在对于说明政府政策的福利影响有比较便利的条件。控制消费者行为实质上可以由控制价格与控制收入来实现。控制价格，实质就是价格改革和价格政策；控制收入，实质便是收入政策的内容。如：最低生活保障制度。这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。最低生活保障制度。为了保证消费者在收入限制下选择到生活需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体系p

下消费集合X

中的最低支出I(p)=inf{px:xX

}。最低生活保障制度是一种保证收入y不低于I(p)的制度。条件y

I(p)就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。第28页，共46页，2023年，2月20日，星期一现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些?问题2：涨价补贴对消费者是否有利？商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者更为有利？为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为

p，消费者收入为r，消费者的选择为xD(p,r)。第29页，共46页，2023年，2月20日，星期一1、比较开征所得税和销售税对消费者效用的影响。

设效用函数为由第30页，共46页，2023年，2月20日，星期一

第31页，共46页，2023年，2月20日，星期一(一)

所得税与消费税的比较

征收销售税：税率向量为t

=

(

t1,

t2,,

t)，ti为购买一单位商品

i

的税额。按税率

t

征收销售税，相当于价格从

p

上升到

p+

t，于是需求从xD(

p,

r)

变到y

(

p+t,

r)，所纳的税额为T

=

t

y。注意y

(

p+t,r

)

D

(

p,r)，故

y

x。

征收所得税：把销售税改为所得税，直接从消费者收入r中扣除销售税情况下所缴纳的税额T

=

t

y，则预算集合变为

(

p,r-

T

)，消费者选择变为zD

(

p,r-

T

)。xxyyz

(

p+t,r)D

(

p,r)

结果比较：可以看出，

y

(

p,

r-T

)，因而y

z。这说明：虽然缴纳的税额相同,

但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利些。

(

p,

r-T

)第32页，共46页，2023年，2月20日，星期一(二)价格补贴发放办法比较不许涨价：在把价格补贴发放给生产者，不允许商品涨价的情况下，消费者的选择为xD(

p,r)。允许涨价：允许商品涨价，把价格补贴发放给消费者。涨价后的价格体系为q，补贴使得消费者收入从r

提高到s，消费者的选择从

x

变为

y

(q,s)。补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进行消费，即补贴额=

q

x

p

x，也即q

x

=

s。结果比较：y

(q,s)，x

y。这说明“允许涨价，把补贴发给消费者”比“不许涨价，把补贴发给生产者”对消费者来说更为有利些。D

(

p,r)xxy

(

q,s)第33页，共46页，2023年，2月20日，星期一第二节支出函数

一、支出函数的定义在价格p既定的前提下，为满足特定的效用水平u所必须的最低花费为e(p,u),第34页，共46页，2023年，2月20日，星期一二、支出函数的解这是个支出最小化问题，选择合适的x使得满足约束条件第35页，共46页，2023年，2月20日，星期一最小化支出问题uo第36页，共46页，2023年，2月20日，星期一三、支出函数的性质1、对于p是一次齐次的。2、是关于p的凹函数3、对p是递增的。

4、连续性（利用最大化原理）

5、谢泼德引理：第37页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质1证明设函数f：RnR,tR，xRn,如果

f(tx)

=tmf(x),亦即f(tx1,…,txn)=tmf(x1,…,xn),称函数f为m次齐次函数。线性函数为一次齐次函数。因为f(tx)=t

f(x)。如:p1x1

+

p2

x2=y(tp1)x1

+(

tp2

)x2=ty第38页，共46页，2023年，2月20日，星期一例：设需求满足效用水平是效用函数形式为：，求支出函数，并说明支出函数关于价格变动具有一次齐次性。第39页，共46页，2023年，2月20日，星期一第40页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质2证明

支出最小化意味着，在既定的价格下，获得既定的效用，支出最小。

第41页，共46页，2023年，2月20日，星期一性质5：谢泼德引理证明如果是连续且严格递增的，那么，当时，支出函数在点对于可微，并且证明构建拉格朗日函数，利用包络定理。

第42页，共46页，2023年，2月20日，星期一第43页，共46页，2023年，2月20日，星期一四、希克斯的需求概念任何人都希望在保持生活水平不变的条件下最小化自己的支出而非最大，这也是经济学的一个先验命题。支出最小化反映的是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常会作出这样的考虑：只要效用水平不降低，支出越少就越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的商品，支付货币相当于支付效用。以货币换商品，相当于以效用换效用。正常人都会有想占便宜的正常心理，谁不想以较少的效用换得较多的效用呢？因此，支出最小化当然也要算作经济人理性的构成部分。准确地讲，支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下