2022-2023学年浙江省杭州市西湖重点中学高一（下）3月月考数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年浙江省杭州市西湖重点中学高一（下）3月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.判断下列命题：

①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；

②若a//b，则a与b方向相同或相反；

③若a//b且b//c，则a//c；A.0 B.1 C.2 D.32.如图，向量AB=a，AC=b，CD=A.a+b−c B.a−b3.已知AB=a+5A.A、B、D三点共线 4.将函数y=sin(2x+A.y=sin(2x+π6)5.在△ABC中，若A=60°，BC=A.30° B.45° C.135° D.6.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：bA.1：1：3 B.2：2：3 C.1：1：2 D.1：17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量 m=(2b+A.π6 B.π3 C.2π8.已知在△ABC中，∠C=90°，AB=2A.−3 B.−1 C.1 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知a，b∈R，且a>bA.3a>3b B.a3 10.下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是(

)A.a=3，b=4，A=30° B.a=3，b=4，cosB=311.已知向量a=(2,1)A.(a+b)//a

B.向量a在向量b上的投影向量为−12b

C.a12.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−bA.△ABC周长为5+7 B.C=π3

C.△三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知向量a=(2,1)14.已知a=(1,2sinθ)，b=(sin15.已知a,b为单位向量，且a·b=0，若c=2a−16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBcosC四、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=18.(本小题10.0分)

已知|a|=4，|b|=3，(2a−319.(本小题10.0分)

已知在△ABC中，cosA=63，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．

(1)20.(本小题10.0分)

已知函数f(x)=sin2x−cos2x+23si21.(本小题10.0分)

某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益．通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产x台该设备另需投入成本C(x)元，且C(x)=10x2+400x,0<x≤301004x+10000x−900022.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+2，(a∈R)．

(1)f(答案和解析1.【答案】B

【解析】对于①，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；正确；

对于②，当 b是零向量时，a与c不一定平行，故错；

对于③，如果b=0，则a与c可以不共线，所以不正确；

对于④，向量不能比较大小，故不正确；

故选：B．

利用向量的定义、模以及向量共线，基本定理判断命题的真假即可．2.【答案】C

【解析】【分析】

通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可．

本题考查向量的基本运算，考查计算能力．

【解答】

解：如图，

向量AB=a，AC=b，CD=c，则向量BD3.【答案】A

【解析】【分析】

利用三角形法则可求得BD，由向量共线条件可得AB与BD共线，从而可得结论．本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键．

【解答】

解：BD=BC+CD=(−2a+8b)+3(a−b)=a+5b，4.【答案】D

【解析】解：将函数y=sin(2x+π3)向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin5.【答案】B

【解析】解：由正弦定理得sinB=AC⋅sinABC=42⋅sin60°43=26.【答案】A

【解析】解：△ABC中，A：B：C=1：1：4，

所以三个内角分别为30°，30°，120°；

则a：b：c=sinA：sinB：sinC

=12：12：37.【答案】C

【解析】解：由已知m⋅n=2asinA，得2asinA=(2b+c)sinB+(28.【答案】A

【解析】解：建平面直角坐标系如图，由题意各点坐标如下：

C(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，

设D(x,0)，D′(0,y)，x∈[0,2]，y∈[0,23]，

当D点在AC上时：

BD=(9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小、利用幂函数的图象与性质比较大小，属于基础题．

由指数函数的单调性即可判断选项A；由幂函数的单调性即可判断选项B；利用特值法即可判断选项C；利用不等式的基本性质即可判断选项D．【解答】解：对于A，因为函数y=3x为增函数，又a>b，所以3a>3b，故A正确；

对于B，因为函数y=x3为增函数，又a>b，所以a3 >b3，故B正确；

对于C，因为a>b，取a

10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理判定三角形解的个数，属于中档题．

利用正弦定理判定A、D选项，利用余弦定理判定B选项，利用三角形的边角关系判断C选项．【解答】解：根据题意，在A条件下，ab=sinAsinB⇒sinB=ba×sinA=23，

因为12<23<22，

所以角B在(π6,π4)和(3π4,5π6)上各有一个解，

并且这两个解与角A的和都小于π，所以A不满足；

在B条件下，a=3，b=4，

11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算与命题真假判断问题，考查了计算与推理能力，属于中档题．

根据平面向量的坐标表示与运算法则，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A，向量a=(2,1)，b=(−3,1)，

所以a+b=(−1,2)，且−1×1−2×2=−5≠0，

所以a+b与a不平行，A错误；

对于B，向量a在向量b上的投影向量为

12.【答案】BC【解析】解：现有△ABC满足sinA：sinB：sinc=2：3：7，

所以a：b：c=2：3：7，

设a=2t，b=3t，c=7t，

利用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab=4t2+9t2−7t212t2=12，

由于C∈(0,π)，

所以C=π3.故B13.【答案】5【解析】解：∵a=(2,1),b=(3,4)，14.【答案】3【解析】解：因为a=(1,2sinθ)，b=(sin(θ−π3),1)，θ∈R,a⊥b，

15.【答案】23【解析】【分析】

本题考查平面向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力，是基础题．

利用向量的数量积，转化求解向量的夹角是余弦值即可．

【解答】解：a,b为单位向量，且a·b=0，c=2a−故答案为：23．16.【答案】2【解析】解：∵asinBcosC+csinBcosA=32b，

∴由正弦定理可得，sinAsinBcosC+sinCsinBco17.【答案】解：(1)由题意AE=2EB，则AE=23AB，

所以DE=AE−AD=2【解析】(1)根据向量的线性运算即可求得答案；

(2)18.【答案】解：(1)因为(2a−3b)⋅(2a+b)=61，

所以4|a|2【解析】(1)根据数量积的运算律将条件展开可得结果；

(2)根据公式a19.【答案】解：(1)因为cosA=63

所以sinA=33，则tanA=22．

所以tan2A【解析】(1)先利用同角三角函数基本关系求得sinA，进而求得tanA，进而利用正切的二倍角公式求得tan2A．

(2)20.【答案】解：(1)因为f(x)=sin2x−cos2x+23sinxcosx=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，【解析】(1)利用倍角公式及辅助角公式化简函数解析式得f(x)=2sin(2x21.【答案】解：(Ⅰ)当0<x≤30时，L(x)=1000x−10x2−400x−5000=−10x2+600x−5000；

当x>30时，L(x)=1000x−1004x−【解析】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

(Ⅰ)分0<x≤30和x>30两种情况，利用利润=销售额−成本，列式求解即可；

(Ⅱ)22.【答案】解：(1)由f(x)<3−2x恒成立，

即ax2−(a+2)x+2<3−2x恒成立，

可得ax2−ax−1<0恒成立，当a=0时，−1<0恒成立