平面向量四心问题

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：心”就在中线上.的()A外心B内心C重心D垂心平行四边形法则点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.的().A心心解析:由..则，则点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合.内心”就在内角平分线线上.A、重心B、垂心C、外心D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、移到一起，这道题就迎刃而解了.三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.CA．重心B.垂心C.外心D.模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：ABACABAC(A)外心(C)重心(B)内心(D)垂心AB(A)外心(C)重心(B)内心(D)垂心ABAC事实上如图设AE=,AF=都是单位向量ABACAC)必垂直于边BC，该向量必通过△ABCAC⑤点O是△ABC的外心3并且重心G(ABCABaX+bX+cXay+by+cy内心I(AABACAATBEF例2：(2005年北京市东城区高三模拟题)O为△ABC所在平面内一点，如果(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心ABcosBACcosC过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心ABACABACABcosBACcosCP1231233123123123123123123高考原题足ABACABAC图1A．外心B．内心C．重心D．垂心 OB 2kk22A 述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图1， GHBBEDA．三个内角的角平分线的交点分析移项后不选D．3推广应用题B．三条边的垂直平分线的D．三条高的交点难得出，APBC图2于是，333例10已知O为△ABC所在平面内一点，满足例11已知O为△的外心，求证：分析构造坐标系证明．如图3，以A为坐标1方．S=xy，直线BC的方程是△AOB2203232323yxyxy03302023△BOC230230320yAC(x,y)33O(x,y)00B(x,y)22图3x33330330△AOC20330BOC2△BOA2△AOC2总结：知识综述(一)三角形各心的概念介绍条垂线的交点；3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆