《谢奇之-工程力学》杆件基本变形横截面上的应力

《工程力学》

杆件基本变形横截面上的应力授课教师：谢奇之电话箱：qzxie@163.com1编辑ppt第五章杆件基本变形横截面上的应力§5–1拉伸与压缩变形横截面上的应力§5–2扭转变形横截面上的应力§5–3纯弯曲横截面上的应力§5–4横力弯曲横截面上的应力编辑ppt§5-1拉伸与压缩变形横截面上的应力PPPP谁先坏？结论：杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：编辑ppt变形规律试验及平面假设：

现象：横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至、。

平面假设变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。编辑ppt从平面假设可以判断：（1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量

横截面上的正应力计算公式正应力s

和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。编辑pptABCDFFF讨论题：图示阶梯杆AD受三个集中力F作用，设AB，BC，CD段的横截面面积分别为A，2A，3A，则三段杆的横截面上()。轴力不等，应力相等；(b)轴力相等，应力不等；(c)轴力和应力都相等；(d)轴力和应力都不等。a编辑ppt例题2.2

图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°编辑ppt2、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°编辑ppt例题2.3悬臂吊车的斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。解：当载荷W移到A点时，斜杆AB受到拉力最大，设其值为Fmax。讨论横梁平衡0.8mABC1.9mdCA编辑ppt由三角形ABC求出斜杆AB的轴力为斜杆AB横截面上的应力为0.8mABC1.9mdCA编辑ppt例题4刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力[]=160MPa。（1）试校核CD杆的强度；（2）求结构的许可荷载[F]；（3）若F=50kN，设计CD杆的直径.2aaFABDC编辑ppt解：求CD杆受力2aaFABDCFNCDFACBYX（1）校核强度（2）结构的许可荷载[F]由得编辑ppt[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBY(3)若F=50kN，设计CD杆的直径由得d=24.4mm取d=25mm编辑ppt§5.2扭转变形横截面上的应力扭转变形是指杆件受到若干个与轴线方向一致的力偶矢作用，使杆件的横截面绕轴线产生转动。变形体静力学变形几何关系物理关系静力平衡关系应变变化规律应力分布规律应力计算公式编辑ppt1.变形几何关系观察变形：

圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。圆轴扭转的平面假设：

圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。于是可知扭转时圆轴横截面上只有垂直于半径方向的切应力，而无正应力。MexppqqMexppqqMeMe编辑ppt---扭转角（rad）---dx微段两截面的相对扭转角边缘上a点的错动距离：边缘上a点的切应变：发生在垂直于半径的平面内。MeppqqMedcabb′ppqq编辑ppt横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即编辑ppt

式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。可见，在横截面的同一半径

r的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr

与r成正比，且发生在与半径垂直的平面内。切应变垂直于半径。编辑ppt2、物理关系：这表明，横截面上各点的剪应力与该点到截面中心的距离成正比，其方向垂直于半径。即剪应力沿截面的半径呈线性分布。由上述两方程可得：...(1)tg编辑ppt现象：低碳钢扭转时,破坏发生在横截面上。原因分析：低碳钢为塑性材料，塑性材料抗剪能力差，圆轴扭转时，横截面上的切应力最大，因此,圆轴扭转时沿横截在发生剪切破坏。编辑ppt现象：铸铁圆柱试件扭转时,破坏发生在与轴线约成45°的螺旋面上。原因分析：铸铁为脆性材料，脆性材料抗拉能力差，圆轴扭转时，在与轴线约成45°的螺旋面上拉应力最大，因此,铸铁圆柱试件产生破坏的原因为最大拉应力。编辑ppt3、静力平衡其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以

代入上式得：rOdAdArrTtt编辑ppt式中Wt称为抗扭截面系数(模量)，其单位为m3。横截面周边各点即

处的切应力最大,为：编辑ppt极惯性矩：抗扭截面系数：dOOODddAdrr圆形截面的极惯性矩实心圆截面圆环截面实心圆截面圆环截面a=d/D编辑ppt扭转强度条件：1.

等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：编辑ppt强度条件的应用（1）校核强度（2）设计截面（3）确定载荷编辑ppt例3.2由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa。校核此轴的强度。cm3（2）

强度校核

解：（1）计算抗扭截面模量满足强度要求编辑ppt例3.3如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。解：当实心轴和空心轴的最大应力同为[]时，两轴的许可扭矩分别为若两轴强度相等，则T1=T2，于是有

编辑ppt在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%。实心轴和空心轴横截面面积为编辑pptABCD12345例3－3、图示为某组合机床主轴箱第4轴示意图。(1)试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。ⅡⅡMA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mm(2)若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。ABCD4MAMBⅡⅡMCMD编辑ppt解：1、内力分析4.789.566.37xT(kNm)ABCD4MAMBⅡⅡMCMD1133+_由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在AC段，2、应力计算MA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mmTmax=9.56kN.m3、强度计算∴该轴的强度满足要求。编辑ppt二、切应力互等定理切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切。编辑ppt§5.3纯弯曲横截面上的应力一、纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲++FF+F.aFFaaCDAB编辑ppt凹入一侧纤维凸出一侧纤维中间一层纤维长度不变中间层与横截面的交线纵向对称面中性层中性轴二、梁的弯曲实验缩短伸长－－中性层－－中性轴编辑ppt现象：横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

单向受力假设：纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。编辑ppt1、变形几何关系abcdABOO1xyA1B1O1Odqrxy))))1、几何关系y是AB到中性层OO1的距离纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比编辑ppt

2、物理关系纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。MyzOx直梁纯弯曲时，任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。应力分布规律编辑ppt3、静力关系中性层的曲率半径r中性轴的位置待解决问题MyzOx横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量FNMzMydAzysdA(1)(2)(3)编辑ppt将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得横截面对z轴的静矩等于零，即z轴（中性轴）通过横截面形心。由于y轴是横截面的对称轴，上式自然满足(1)(2)横截面对y和z轴的惯性积编辑ppt纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:将应力表达式代入(3)式，得(3)MM为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩编辑ppt讨论

MM

(1)应用公式时,一般将M,y

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处引用记号——抗弯截面系数(3)当中性轴为对称轴时则公式改写为编辑ppt常见截面的抗弯截面系数矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy编辑ppt(4)对于中性轴不是对称轴的横截面zyM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力编辑ppt§5-4横力弯曲时横截面上的正应力弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力1、横力弯曲正应力计算公式ABlFFSxFxMFl弯曲正应力编辑ppt2、弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力：纯弯曲或细长梁的横力弯曲横截面惯性积Iyz

=0弹性变形阶段抗拉与抗压的弹性模量相同编辑ppt例5-3、矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m，yk=50mm，[s]=10MPa，求危险截面上K点的正应力sk，及最大正应力。ABlFAFB解：1、外力分析zbKyKh2、内力分析(M图)：xMl/2+危险截面在l/2处3)应力分析：编辑ppt例5－4、槽形截面铸铁外伸梁，已知：q=10kN/m，F=20kN，Iz=4.0×107mm4,y2=140mm，y1=60mm，求危险截面最大应力。zyy1y2（中性轴）2mqAE2m2mFBD解：2、内力分析(M图)可能的危险截面B、D。xMO20kN.m10kN.m+_1、外力分析FBFE编辑ppt可能的危险截面B、D。B截面D截面3、应力分析编辑ppt讨论：1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。编辑ppt1、矩形截面梁的切应力切应力t的两个假设：