2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题13函数模型及其应用

专题13函数模型及其应用

【考点预测】

1.几种常见的函数模型:

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b(a,为常数且

反比例函数模型

f（x）」+b（k,b为常数且。工0）

X

二次函数模型f(x)=ax2+hx+c(a,b,。为常数且。工0)

指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b/0,tz>0,

对数函数模型f(x)=hlogax+c(a,b,。为常数，。>0,

塞函数模型f(x)=ax"+b(a,6为常数，。中0)

2.解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

【题型归纳目录】

题型一：二次函数模型，分段函数模型

题型二：对勾函数模型

题型三：指数函数、对数函数模型

【典例例题】题型一：二次函数模型，分段函数模型

例1.（2022•黑龙江•哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，A8为球门，在某次

小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时=假设甲沿着平行

边线的方向向前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即NAOB最大），则射门时甲离上

方端线的距离为（）

B.576C.1072D.10也

【答案】B

【解析】

【分析】

力2+150

先根据题意解出A8长度，设。〃=〃，得到cosZAQ8=再分析求值域，判断取等条

J/+325"+22500'

件即可求解.

【详解】

设AB=x,并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25,BH=10,

DJJinnc

所以tan/3PH=——RtanZAPB=—

HP25531

52

——I—3

所以tanZAPH=tan(/APB+ZBPH)==-

,AHAB+BHx+10x+103口「目一”「

又tan/APH=-----=-------------=--------，所以------=-,解4得ax=5,即AB=5,

PHPH25255

设。”=力，/ze[0,25],l/!ijAQ=^Q^+AH2=V/r+152,

BQ=y]QH2+BH2=Jh2+}02，所以在AAQB中，有

cos408=m+「/八150

2AQxBQJ/+325川+22500

令m=/?2+150(1504,”4775),所以"=切一巾。,

cosZ.AQB=[=]

所以,77-150)2+325(〃?-150)+2250013750।25门，

Vfn~m

因为1504m4775,所以」4,4上，则要使NAQB最大，

775m150

cosZ.AQB=,/375075

即375025「要取得最小值,即J-号+2+1取得最大值,

J——1+—+1Vm2m

Vfntn

375025111

即一年+丁在行4K瓦取得最大值,

人1J___1_

令/=—G/(r)=-3750r2+25/+l,

m市询

所以/⑺的对称轴为：f=皋，所以/⑺在三，上单调递增，在4，上单调递减,

300//D3UUJUU12）U

所以当，=工时，/（，）取得最大值，即NAQ8最大，此时_1=工，即m=300，

300m300

所以"=150,所以/?=5«,即为获得最佳的射门角度（即/AQ8最大），

则射门时甲离上方端线的距离为：5瓜.

故选：B.

例2.（2022•甘肃酒泉•模拟预测（文））如图，在矩形43co中,

AB=2,BC=\。是的中点，点尸沿着边BC、CO与ZM运动，记N8OP=x,将△RW的面积表示

D

为关于1的函数/（X）,则/（%）=（)

OB

A.当时，/(x)=2tanx

幺37t

B.当xi旗=上时，/(x)=-tanx

-34、

C.当xe7,左J时，/(x)=-tanx

D.当xe亍，乃J时，/(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【分析】

分T。?、片、.学乃)三种情况讨论，求出△EW的边AB上的高，结合三角形的面积

公式可得H」"(x)的表达式.

【详解】

JI_____

•;OB=OC=1,则NBOC=1,易得OC=OD=Jr+/=&,:.0C2+0D2=CD2,

时，点尸在线段8c上(不包括点3),则

当xe。年时，点P在线段C。上(不包括点C),Ji匕时〃x)=gA8-BC=l；

故选：c.

例3.(2022・上海交大附中高三开学考试)2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海

举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际

采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展

区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万

元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为

500-2x,0<x<20

R(x)万元，且=21406250

370+-------^,x>20

(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入一成本)

(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.

-2X2+120X-150,0<X<20

【答案】(1)S=-10x-^^+1990,x>20

(2)当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元【解析】

【分析】

(1)分0<x420和x>20两种情况，由利润=销售收入一成本，知5=依?")—(380x+150),再代入

R(x)的解析式，进行化简整理即可，

(2)当0<x420时，利用配方法求出S的最大值，当x>20时，利用基本不等式求出S的最大值，比较两

个最大值后，取较大的即可

(1)

当0<xW2()时，S=xR(x)-(380x+150)

=500x-2x2-380x-150=-2x2+120x-150.

当x>20时，5=x/?(x)-(380x+l50)

=370x+2140-^^-380x-150=-10x-^^+1990,

XX

所以年利润s(万元)关于年产量X(万台)的函数解析式为

-2X2+120X-150,0<X<20

当0<xV2()时，5=-2x2+120x-150=-2(x-30)2+1650,

所以函数S在(0,20］上单调递增，所以当x=20时，S取得最大值1450,

当x>20时，5=-l0x-^^+1990=-(10x+^=^)+1990

XX

<-2jOx•+1990=-500+1990=1490,

当且仅当10》=理，即x=25时取等号，此时S取得最大值1490,

x

因为1490>1450,

所以当年产量为25万台时;该企业获得的年利润最大，最大为1490万元

例4.(2022•全国♦高三专题练习)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固

定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数

,、400X--X2,(0<X<400),-_

R(x)=<2'',其中x是“玉兔”的月产量.

80000,(x>400)

(1)将利润7U)表示为月产量x的函数；

(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益=总成本+利润)【答案】(1)

,--x2+300x-20000,(0M400)

=j2；

[-1OOx+60000,(x>400)

(2)300,25000元.

【解析】

【分析】

⑴由题意，由总收益=总成本+利润可知，分赞k400及x>400求利润，利用分段函数表示；

(2)在谣/400及x>400分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值.从而得到最大利润.

(1)

由题意，当喷火400时，/(x)=400x-0.5A:2-20000-1OO.r=300x-0,5x2-20000;

当x>400时，/(x)=8(XXX)-1(X)A-2(XXX)=60000-lOOx；

,,,--x2+300x-20000,(Ogijr400)

故/(x)=j2；

-100x+60000,(%>400)

(2)

当噫！k400时，f{x}=300x-0.5x2-20000：

当x=300时，/。),四=/(300)=25000(元)

当x>400时，f(x)皿</(400)=20000(元)

•.■25000>20000,

.,.当x=300时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元.

例5.(2022・河北•模拟预测)劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回

报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为尤

件时，售价为S元/件，且满足s=820-2x,每天的成本合计为600+20x元，请你帮他计算日产量为

件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.

【答案】2007.94

【解析】

【分析】

将利润表示为关于x的一个二次函数，求出该函数的最值即可.

【详解】

由题意易得II利润y=sxx-（600+20x）=x（820-2x）-（600+20x）=-2（x-200）2+79400.

故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，

故答案为：200,7.94.

【方法技巧与总结】

I.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别

找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.

题型二：对勾函数模型

例6.（2022•全国♦高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，

此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一

年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

设该企业需要更新设备的年数为x（xeN*）,设备年平均费用为y万元，求得y关于X的表达式，利用基本

不等式求出y的最小值及其对应的X值，即可得出结论.

【详解】

设该企业需要更新设备的年数为x（x€N*）,设备年平均费用为y万元，

贝1X年后的设备维护费用为2+4+6+…+2X=X（2；2X）=X（X+I）,

V/FAB%*中小100+0.5x+x（x+l）1003、J100343,十一、

所以彳年的平均费用为y=--------------------------=x+——+->2x——+-=一（万兀），

xx2\x22

当且仅当x=10时，等号成立，

因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.

故选：B.

例7.（2022•全国・高三专题练习）迷你K7V是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电

话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横截面示意

3

图，其中AB=AE=],ZA=ZB=ZE=90°,曲线段8是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V横截面的

面积为S,周长为L,则^的最大值为.(本题中取乃=3进行计算)

【答案】6-3^3【解析】【分析】

设圆弧的半径为x,根据平面几何知识写出，关于x的函数关系式，运用基本不等式求解函数的最大值即

可.

【详解】

设圆弧的半径为x(0<x4|),根据题意可得：8c=£>E=A8-x=|-x

S=AEDE+(AB-D£}(AE-x)+；TT-X2

2兀X7TXQ—I*21qQ—丫2

L=2AB+BC+DE+——=6-2x+—•.♦乃=3，S=L=6」x.，=令f=12-2x

4242L\2-2x

(9<?<12),贝ij,12-rS°12Jt27A

2Lt1^4t)

根据基本不等式，*斗22行=36，当却仅当；=5，即f=6有时取心

s

65/3G[9,12),/.f=时，~=6-3^3

Ltmax

故答案为：6—3A/3.

例8.(2022・全国•高三专题练习)如图所示，设矩形A88(A8>A。)的周长为20cm,把△ABC沿AC折

叠，A3折过去后交OC于点P,设A5=xcm,AD=ycm.

并写出函数y=/(x)的定义域;

(2)求的最大面积以及此时的x的值.【答案】(l)y="x)=10-x,定义域为(5,10)

(2)x=5板,AADP的最大面积为(75-50夜卜0?

【解析】

【分析】

(1)由题意可得y=10-x,再由钻>A£)可求出x的取值范围，

(2)设AP=CP=z,在直角三角形ADP中利用勾股定理可得z=x+"-10,从而可求得

X

以的=；40-力卜-》-¥+10)，化简后利用基本不等式可求得结果

(1)

因为A8=x,AD=y,矩形ABC。的周长为20cm,

所以2x+2y=20ny=10-x,因为AB>AD,所以x>10-1>0,

解得5Vx<10.所以产〃x)=l()-x,定义域为(5,10).

(2)

因为A5CO是矩形，所以有N£)=N8=90。，AD=CB.

因为YAB'C是A4?C沿AC折起所得，

所以有N8'=NB=90。，CB'=CB,因此有Z5'=N£>=90。，

C3'=D4,所以zMD尸丝ACB'P,因此AP=CP,DP=B'P.

设AP=CP=z.而A8CZ)是矩形，所以DC=AB,

因此0P=DC—CP=x—z.

>>950

在直角三角形ACP中，有A尸=AD?+。尸nz?=(10-x)2+(x-z)--z=x4------10,5<x<10.

所以S^ADP=^-AZ)DP=^-y(x-z)=^--(10-x)fx-x--+io\

化简得Sw=75-5x-空=75-(5x+型)<75-2^5x--=75-50应，

当且仅当5x=一时取等号，即x=5后时，的最大面积为(75-50&卜1<

例9.(2022•全国•高三专题练习)砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、

气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形08截去同心扇形。钻所得部分.已知扇环

周长=300cm,大扇形半径O£>=100cm,设小扇形半径OA=Acm,NAOB=，弧度，则

①。关于x的函数关系式。(幻=.

②若雕刻费用关于x的解析式为Mx)=lOx+1700,则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为

DA

0

布*v*m

100+2%/„x.

【答案】-------,XG(0,1i0n0n)；3

100+x\'

【解析】

【分析】

利用弧长公式求AB与OC根据扇环周长可得。关于x的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积，进

而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

由题意可知，ZAOB=9,OA=x,OD=\00,

所以48=夕尤，A£>=3C=100-x,DC-1000,

扇环周长43+AD+BC+DC=3*+200-2x+100，=300,

解得人际心⑥叫

砖雕面积即为图中环形面积，记为S,

则扇”

S=S-SMAOB=-ODDC-^OAAB

=-xlOOxlOO6»---x-6»x=5OOO6»--x2=f5000~—1100+21,

222I2J100+x

即雕刻面积与雕刻费用之比为加，

S_(10000-x2)(100+2x)_(100-x)(50+x)

w(x)2(100+x)(10x+1700)10(x+170)

令t=x+170,则x=f-170,

(270-r)(r-120)-r2+390/-120x270t12x270”.I，12x270“””.

m=------八------=---------------------=--------------+39<-2.----------+39=-36+39=3,

10r10z10tV10t

当且仅当f=180时(即x=10)取等号，

所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3.

故答案为：黑必，(0J00)；3

【方法技巧与总结】

1.解决此类问题一定要注意函数定义域；2.利用模型/。）=以+巳b求解最值时，注意取得最值时等号成立

x

的条件.

题型三：指数函数、对数函数模型

例10.(2022•全国•模拟预测)天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天

体亮度，可用用=机-5怛?近似表示绝对星等〃、目视星等，"和观测距离d(单位：光年)之间的关

系.已知织女星的绝对星等为0.58,目视星等为0.04,大角星的绝对星等为-0.38,目视星等为-0.06,则

观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为()

A.10&B.10°172C.IO-0044D.10^°172

【答案】D

【解析】

【分析】

设观测者与织女星和大角星间的距离分别为4，4，根据题意，列出方程组，化简整理，即可得答案.

【详解】

0.58=0.04-51g《

4

设观测者与织女星和大角星间的距离分别为4，d2,则有

-0.38=-0.06-51g

两式相减得51g3=-。86,所以1g与=4172,£10—

a2a2a2

故选:D.

例H.(2022・河南•模拟预测(文))金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时

需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度/，与其采摘后时间r(天)满足的函数解析式为

h=m\n[t+a),(«>0).若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%,采摘后3天，金针菇失去的新鲜度

为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知75=1.414,结

果取一位小数)()

A.4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知条件两式相除求出。，设，天后开始失去全部新鲜度，则〃iln(r+l)=l,再与已知•式相除可求得

t.

【详解】

f»zln(l+«)=0.4ln(3+a),

由已知《，二、八,、，相除得―^=2,ln(3+a)=21n(l+a),(l+a)2=3+a,因为。>0,故解得

mln(3+«)=0.8ln(l+n)

设f天后开始失去全部新鲜度，则mln后+1）=1,又mln（l+度=0.4,

所以一，)=77^"，2ln(Z+1)=5In2=In32,(/+1)2=32,t+\=>/32=4^2=4x1.414=5.656»

In20.4

t=4.656«4.7.

故选：C.

例12.（2022•陕西西安•三模（理））2022年4月16H,神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的

中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得

速度增量的公式=其中Av为火箭的速度增量，匕为喷流相对于火箭的速度，〃?。和班分别代

表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭匕达到5公里/秒真，从100提高到

600,则速度增量增加的百分比约为（）（参考数据：ln2=0.7,ln3«l.l,ln5»1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，速度的增量为钳=51nl00,△匕=51n600,结合对数的运算性质，即可求解.

【详解】

由题意，当a=10°时，速度的增量为AW=51nl00：

叫

当藁=200时，速度的增量为△%=5In600=5In100+51n6,

△v2-AV.5In100+5In6-5In100In6In2+ln3

「△匕51nl00In1002（ln2+ln5）

故选：D.

例13.（2022・贵州•模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地

的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为。，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相

邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K（"）=/Un”（X为常数）来描述该物种累

计繁殖数量”与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且。=鼻+1,在物种入侵初期，基于现有数据

得出。=6,7=50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为

（In2ao.69,ln3«1.10）（）

A.22.0天B.13.8天C.24.8天D.17.9天

【答案】C【解析】

【分析】

根据已知数据可求得4,设初始时间为匕，累计繁殖数量增加11倍后的时间为长2,利用（-用,结合对

数运算法则可求得结果.

【详解】

T50

2="+1>。=6,T=5（）,6=--+1,解得：A=10.

AA

设初始时间为K-初始累计繁殖数量为〃，累计繁殖数量增加11倍后的时间为勺，

则工一叫=2呵12"）-刀n〃=21nl2=10（2ln2+ln3k24.8（天）.

故选：C.

例14.（2022•四川省泸县第二中学模拟预测（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘

帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号

召，积极参与帮扶活动.该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补

贴10万元.若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：

Vh82®1.22,1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】

【分析】

设年平均增长率为x,依题意列方程求x即可.

【详解】

由题意，设年平均增长率为X,则150（1+4+10=270,

所以=故年平均增长率为20%.

故选：B

例15.（2022・广西•模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系

通常以事函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率了与其体重x满足y=丘"，其中人和a为正常数，

该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状

态的8倍，则a为（）

A.-B.1C.\D.-

【答案】D

【解析】

【分析】初始状态设为（西，凹），变化后为52，%），根据西广2，）1，乃的关系代入后可求解.

【详解】

设初始状态为则々=16々，y2=8>'i,

又y=依f,y2=kx^,即8»=%（16xJ"=hl6"¥，

8yhl6"xf“aa“c3

—=—―-1-,16a=8,24a=23,4<z=3,a=-.

X烟04

故选：D.

例16.（2022•贵州贵阳•二模（理））2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有

人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震

记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳

地震波时程，其中地震动时程强度包络函数7（。=1,tvt2（单位：秒）分别为控制强震

1

平稳段的首末时刻；。（单位：秒）表示地震动总持时；c是衰减因子，控制下降段衰减的快慢.在一次

抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2,

则当，=15秒时，地震动时程强度包络函数值是（）

A.e-1B.1C.9D.e-2

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可得当107420时，/（/）=寻而，即得.

【详解】

由题可知％=5应=10，。=20,c=0.2,

当1（）<，V2（）时，=-

...当f=15秒时，地震动时程强度包络函数值是7（15）=磊而=-.

ee

故选：A.

【方法技巧与总结】

1.在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、

银行利率有关的问题都属于指数模型2在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法

确定函数解析式，再借助函数图像求解最值问题.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•辽宁葫芦岛•二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：。C）的关系.现

收集了7组观测数据（专制（，=1,2,乙,7）得到下面的散点图：

350-♦

300-

250-

200-

由此散点图，在20℃至36'C之间，下面四个

150-♦

100-♦

50'♦♦♦♦

斗02224262830323436

温度/°C

回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数），和温度X的回归方程类型的是（）

h

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+be'D.y=a+b\nx

x

【答案】C

【解析】

【分析】

结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.

【详解】

由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，

所以y=。+加，最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.

故选：C

2.（2022.全国.模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运

费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法

每期租金R的表达式为R=p（l”“）+p.r（其中尸为租赁资产的价格；N为租赁期数，可按月、季、半

N

年、年计；，・为折现率；，•为附加率）.某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末

支付，已知设备的价格为84万元，折现率为8%,附加率为4%,若每年年末应付租金为24.08万元，则

该设备的租期为（）A.4年B.5年C.6年D.7年

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意构造函数，即可求解.

【详解】

由题意，R=24.08万元，尸=84万元，i=8%,r=4%,则24.08=84-止吵虫@+84乂4%,解得N=6,

故选:c.

3.（2022•全国•模拟预测）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频

繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量

损耗满足传输公式：乙=32.44+201g。+201g尸，其中。为传输距离，单位是km,尸为载波频率，单位是

MHz,乙为传输损耗（亦称衰减），单位为dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB,则传输距

离增加了约（参考数据：怆2。0.3,怆4。0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

【答案】C

【解析】

【分析】

由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果

【详解】

设〃是变化后的传输损耗，F'是变化后的载波频率，加是变化后的传输距离，则L'=L+18,F'=2F,

/yF'

18=L,-L=201gD,+201gF/-201gD-201gF=201g—+201g—,则201g—=18—201g2。12,即

DFD

O，

lg^-«0.6«lg4,从而。B4£>,即传输距离增加了约3倍，

故选：C.

4.（2022•全国•模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建

设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、

结构件所需的流动资金.确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于

工程预付款的数额.计算公式为：T=P-Z（T：工程预付款起扣点，P：承包工程合同总额，M：工

N

程预付款数额，N：主要材料及构件所占比重）.某施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，

该工程预付款起扣点为160万元，主要材料及构件所占比重为65%,则建设单位应预付给施工企业的金额

为合同总额的（）

A.12%B.15%C.18%D.21%【答案】B

【解析】

【分析】

设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的x%,根据所给公式得到方程，解得即可；

【详解】

解：设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的x%，

则由T=P-给，得160=208-丝兽，解得x=15,

N65%

故选:B.

5.（2022・北京•二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸（单位：mg/L）

与时间单位：h）间的关系为P=4eT’，其中外，k是正的常数.如果在前10h污染物减少19%,那么

再过5h后污染物还剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定的函数模型及已知可得e-5«=0.9，再计算5h后污染物剩余量.

【详解】

由题设，（1-19%）4=柒-必，可得设%0.9,

再过5个小时，P=（l-19%）《e-"=（0.81x0.9）4=0.7294，

所以最后还剩余72.9%.

故选：D

6.（2022•全国•模拟预测）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药

剂后，药剂的浓度C（单位：mg/n?）随时间f（单位：h）的变化关系可近似的用函数

°（'）=；0^：［（'>°）刻画.由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过

（）

A.3hB.4hC.5hD.6h

【答案】A

【解析】

【分析】

利用基本不等式求最值可得.

【详解】

依题意，，>0,所以1+所以

C（八一+_100。+。_100<100100I。

‘卜」+今+19-（,+1）2+2（/+1）+16-（/+］）+.+2-2“f+1>1^+2一正一,

当旦仅”1"1="即/—3肘等号成、工，心由此可判断，若使被处理的污水中该药司的浓度达到最大值，

t+\

需经过3h.

故选：A.

7.（2022•云南曲靖•二模（文））某大型家电商场，在一周内，计划销售A、8两种电器，已知这两种电器

每台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货B的台数不高于A的台数的2倍，且进货B至少2台，

而销售A、5的售价分别为12000元/台和12500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A、8的总资金为

6万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售A、B电器的总利润（利润=售价一进价）的

最大值为（）

A.1.2万元B.2.8万元C.1.6万元D.1.4万元

【答案】D

【解析】

【分析】

设卖场在一周内进货B的台数为x台，则一周内进货A的台数为（6-x）,根据题意可得出关于x的不等

式，解出X的取值范围，再写出》关于X的函数关系式，利用函数的单调性可求得y的最大值.

【详解】

设该卖场在一周内进货B的台数为X台，则一周内进货A的台数为（6-X）,

设该卖场在一周内销售A、B电器的利润为y万元，

x>2

由题意可得二V可得2WXW4,且xwN,

x<2[6-x）

y=0.2（6-x）+0.25x=0.05x+1.2,

函数y=0.05x+1.2随着x的增大而增大，故为%=0.05x4+1.2=1.4（万元）.

故选：D.

8.（2022・全国•高三专题练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一

个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以

用指数模型："f）=e"描述累计感染病例数/«）随时间/（单位：天）的变化规律，指数增长率，•与凡，T

近似满足q=1+打.有学者基于已有数据估计出%=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计

感染病例数增加3倍需要的时间约为（In2ao.69）（）

A.3.6天B.3.0天C.2.4天D.1.8天

【答案】A

【解析】【分析】

由已知先确定系数，，即可确定函数解析式，再利用解析式及提供数据即可求解累计感染病例数增加3倍需

要的时间

【详解】

因为4=3.28,7=6,且/=1+",则〃=4^二1=速二1=0.38,于是得/⑺=/8，

T6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为4,则有/（f+G=4/（r）

即e。阳，w）=严8,.耳婀=4e。•如,所以e°-3M=4,0.3甑=In4=21n2

而In2B0.69,解得“3.6

所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天

故选：A.

二、多选题

9.（2022•全国•高三专题练习（理））某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过

3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分

按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（）

A.出租车行驶2km,乘客需付费8元

B.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元

C.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元

D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10km一次的费用

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据题意，逐一分析各个选项，即可得答案

【详解】

对于A：出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；

对于B：出租车行驶4km,乘客需付费8+2.15+1=11.15元,故B错误；

对于C：出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15x5+2.85x2+1=25.45元，故C正确；

对于D：某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和为2x（8+2.15x2+l）=26.6元，

一次行驶l（）km的费用为25.45元，26.6>25.45,故D正确.

故选：CD

10.（2022•全国•高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注

射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间f（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲

线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物:小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

8

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5记时

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决.

【详解】

4r（0„z<l）

由函数图象可知旷=01丫-"/,、，

旧（E

当/=1时，y=4,即g