《现代光学基础教学》02章全

第二章几何光学的矩阵方法第二章几何光学中的矩阵方法§2.1光线矢量与光线矩阵变换§2.2典型的光线变换矩阵§2.3近轴光学的基本公式§2.4光线变换矩阵的特征值与变换系统的特征光线*§2.5非共轴系统的光线变换矩阵§2.6光程函数的矩阵表示编辑ppt第二章几何光学的矩阵方法用矩阵来解决几何光学中理想成像问题理想成像近似条件：ⅰ）几何光学的假设：忽略衍射效应，遵循光的直线传播原理。ⅱ）近轴光线的假设：点光源发出的各近轴光线可近似认为会聚于同一点，能量不扩散，忽略各种像差。背景、前提：编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换§2.1光线矢量与光线的矩阵变换一、光线方程与光线矢量光线在空间中的瞬时变化规律：为表征光线方向的单位矢量光程函数是空间位矢第二章几何光学的矩阵方法yx（光线方向）常数编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换光线方程上式两边同时点乘某点光程函数的梯度在光线切线方向上的投影等于光线上该点的折射率对于均匀介质：常数，光线沿直线传播光线方程可表示为（直线方程，为常矢量）对于非均匀介质：考虑为常数的微小区间第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换yx0z取微小光线弧长增量第二章几何光学的矩阵方法对于非均匀介质：考虑为常数的微小区间编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换二、光线矢量的线性变换、光线变换矩阵光线在介质中的传播变换是线性变换（应用矩阵方法的前提）M为光线变换矩阵设对称轴——光轴沿Z轴方向任取YOZ平面P点距离Z轴的高度yP点光线传播方向与Z轴夹角光线光线描述的简化第二章几何光学的矩阵方法yYZ0轴对称光学系统中的光矢量：编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换光线由用矩阵表示为光线变换矩阵第二章几何光学的矩阵方法YZ0编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换第二章几何光学的矩阵方法光学方向余弦（严格讲应为）特点：若光线矢量的矩阵表示：1.V服从斯涅耳定律（Snell’slaw）：光通过两种介质之间的分界面时，V保持不变。2.涉及到的光学系统中所有变换矩阵都是行列式等于1，即幺正矩阵：编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换第二章几何光学的矩阵方法1.入射光线和出射光线处于折射率相同的介质中：2.一般情况：分别为入射光线和出射光线所在介质的折射率、则：行列式等于1，即若光线矢量的矩阵表示：本书：入射光线和出射光线处于折射率相同的介质中。编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换符号规则1）规定Z轴从左向右为正方向，且为光线传播方向，一般规定坐标原点位于Z轴与入射面交点处。2）Z轴之上，y＞0；Z轴之下，y＜0第二章几何光学的矩阵方法

3）在水平向右为正方向的Z轴坐标系中，由平行于Z轴正方向逆时针旋转得到的角度＞0，反之为负编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换若逆向传播第二章几何光学的矩阵方法（单位方阵）光路可逆性质与光线变换矩阵的逆矩阵n=n’:det(M)=1编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换三、光线在不同介质中的连续变换1.连续变换几何光学系统的问题可以归结为光线在各种介质及其界面或由典型光学元件组成的光学系统中的连续变换假设：光学系统在不同介质界面中共有n次变换。Z第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换设每个传播单元的变换矩阵为从系统角度第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换注意：由入射面到出射面自右向左连续相乘；不满足交换规律，次序不能颠倒；满足结合律第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt§2.1光线矢量与光线的矩阵变换2.ABCD法则yYZ0R波面的方向是光线的切线方向，与波面垂直，代表了光波面的法线方向近轴条件下第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt§2..2典型的光线变换矩阵§2.2典型的光线变换矩阵一、均匀介质层（板）内的光线变换矩阵（平移矩阵）ＺＹ０Ｚ＝Ｌ第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt二、平面介质界面的折射变换矩阵第二章几何光学的矩阵方法§2..2典型的光线变换矩阵ＹZ入射光线折射光线编辑ppt三、平面反射变换矩阵Ｙ入射光线Z反射光线第二章几何光学的矩阵方法§2..2典型的光线变换矩阵编辑ppt入射法线出射Zy四、球面介质界面的折射变换矩阵规定光线遇到凹球面，＞0；凸球面，＜0第二章几何光学的矩阵方法§2..2典型的光线变换矩阵编辑ppt第二章几何光学的矩阵方法五、球面反射变换矩阵平面M的平面反射矩阵YZ§2..2典型的光线变换矩阵编辑ppt第二章几何光学的矩阵方法六、薄透镜的光线变换矩阵薄透镜：透镜厚度忽略不计，薄透镜的光线交换是曲率半径的两个球曲面的连续折射§2..2典型的光线变换矩阵YZ12编辑ppt第二章几何光学的矩阵方法§2..2典型的光线变换矩阵令f为薄透镜焦距，Φ为光焦度(屈光度)编辑ppt第二章几何光学的矩阵方法七、梯度折射率介质的光线变换矩阵梯度折射率光纤折射率沿径向以半径的平方规律变化在近轴条件下解光线方程：§2..2典型的光线变换矩阵编辑ppt第二章几何光学的矩阵方法§2..2典型的光线变换矩阵编辑ppt作业1

一块折射率为n，厚度为d的介质放在空气中，其两界面分别为曲率半径等于R的凹球面和平面，光线入射到凹球面上。求：（1）凹球面上反射光线的变换矩阵；（2）球面界面处折射入介质、平面界面处反射、球面界面处折射出介质的光线变换矩阵；（3）透射出介质的光线的变换矩阵。d编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式§2.3近轴光学的基本公式一)、光学系统的基点、基面假设理想光学系统是无象差光学系统，物面上任一点发出的全部光线经光学系统变换后仍能会聚在象面上一点，这一点称为物点的理想象点。物点与象点互相共轭。第二章几何光学的矩阵方法一.理想光学系统点对应点（每一物点对应唯一像点）直线对应直线平面对应平面编辑ppt二.共轴理想光学系统的放大率BAA’B’(1)垂轴放大率第二章几何光学的矩阵方法§2.3近轴光学的基本公式垂轴放大率角放大率轴向放大率编辑pptBAA’B’(2)角放大率(3)轴向放大率物平面沿光轴移动的微小距离像平面沿光轴相应的移动距离BAA’B’编辑pptn’=n:编辑ppt三.共轴理想光学系统的基点和基面任意物点的像点若已知两对共轭面的位置和放大率或一对共轭面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置第二章几何光学的矩阵方法§2.3近轴光学的基本公式

表征物象共轭关系的特征参量在光轴上的位置及对应面称为基点和基面编辑ppt光学系统的基面、基点：物方焦点，象方焦点物方主平面（主点），象方主平面（主点）物方节平面（节点），象方节平面（节点）表征物象共轭关系的几对特征共轭面、共轭点称为：基点和基面编辑ppt1.主平面、主点表示物方主点，象方主点主平面是垂轴放大率的一对共轭面D=D’DD’编辑ppt2.焦点、焦距物方焦点F：无限远轴上象点的共轭点。象方焦点：无限远轴上物点的共轭象点。FBB’、F：非共轭点1）焦点编辑ppt编辑ppt物方焦距象方焦距2）焦距和光焦度F编辑ppt光焦度:编辑ppt3.节平面、节点F角放大率的一对共轭点若物像空间折射率相等，则主平面与节平面重合编辑ppt二)光学系统的变换矩阵元素和基点的对应关系§2.3近轴光学的基本公式1.确定主平面:为物方主平面与入射面，象方主平面与出射面的距离第二章几何光学的矩阵方法的符号规定：主平面在光学系统之内，的一对共轭面编辑ppt设入射面到出射面间的光线变换矩阵为有AD-BC=1光线由物方主平面H到象方主平面的变换矩阵为：§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt编辑ppt由或由的逆矩阵或§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt2.确定焦点、焦距§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法物方焦点定义为无限远轴上象点的共轭点，以F表示物方焦距象方焦点定义为无限远轴上物点的共轭象点，以表示象方焦距编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法的符号规则：F位于H之左，f＞0位于之右，f’＞0同理，反向推导无限远处物点的光线，y’α’编辑ppt焦点位置：焦截距y’F’s’Fsfα’编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法3.确定节平面、节点{{P41表n’=n编辑ppt作业2将一块半径为r，折射率为n的半球面玻璃作为透镜，通过它的光线仅限于那些几乎与光轴相平行的光。若透镜的平面向左，试证明：第二主点就是凸面和光轴的交点（即顶点）。再证明：第一主点落在透镜内部，并与平面相距，且透镜的焦距等于编辑ppt作业3两个薄透镜在空气中组成共轴透镜组，前面一个是焦距15.0毫米的正透镜，后面一个是焦距-10.0毫米的负透镜，两透镜间距离d＝12.0毫米，求透镜组的主点和等效焦点的位置。作业4两个光焦度分别为和的正薄透镜，两透镜相距t，试证明：该透镜组的等效焦距是。编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法三)透镜系统的物象关系式1.物象关系公式为物距，为象距，为象方焦距编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法2.证明物象关系公式若以作为物方象方焦距的基准，厚透镜的变换矩阵可用编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法{选择物象共轭面上的共轭点编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法3.物象垂直放大率4.牛顿公式编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法1.所有以同一方向进入系统的光束均通过像面的同一点；即平行光束会聚到像方焦平面上。A=0无限远物面与像方焦平面上共轭点的光线变换四)光线变换矩阵元素为零所表示的特殊变换编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法2.同一输入点b入射的光线都将通过同一输出点即b与为物、象共轭点物点与像点之间的变换编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法3.所有相互平行进入系统的光线（入射角为），将以一个新的方向（出射角为）平行地出射。角放大率望远镜系统（共焦系统）将一束平行光变换成另一束平行光，只是方向改变编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法即:从物方焦平面上入射的光束平行出射4.所有光线从同一点进入到入射面，最终以与光轴同一方向（出射角为）出射，与光线进入系统的方向无关D＝0物方焦面与无限远像面上共轭点光线的变换编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法例1.两薄透镜组合光学系统的光学参数和物象变换（1）求光学参数（2）讨论物像关系物面像面H1H1’H2H2’编辑ppt解（1）求光学参数§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt编辑ppt（2）讨论物像关系第二章几何光学的矩阵方法物面像面H1H1’H2H2’编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法例2.连续变焦系统：广泛应用于电影、电视、摄像。基本原理是改变组合透镜的等效焦距并保持象面位置不变，使系统在变焦过程中获得连续清晰的像焦距为设相邻透镜的变焦量为编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法入射面到出射面编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法编辑ppt§2.3近轴光学的基本公式第二章几何光学的矩阵方法调节改变，保持不变编辑ppt§2.4光线变换矩阵的特征值

与系统的特征光线§2.4光线变换矩阵的特征值第二章几何光学的矩阵方法yYZ0R波面编辑ppt光学系统的特征变换对应等波面变换。§2.4光线变换矩阵的特征值第二章几何光学的矩阵方法即：入射光束和出射光束在光学系统的入射面和出射面处具有相同的波面参数yYZ0R波面编辑ppt特征光线的横向放大比当m>0，y’,y0同号，特征光线在光学系统内与光轴无实交点或偶数个实交点。§2.4光线变换矩阵的特征值第二章几何光学的矩阵方法光线变换矩阵的特征值表示了特征光线的轴向放大比当m<0，y’,y0异号，特征光线在光学系统内与光轴至少有一个实交点或奇数个实交点。编辑ppt作业5有一段长为2.8cm，折射率为1.6的玻璃棒，将其两端均研磨成半径为2.4cm的球面，两个凸面均朝外。将一个2cm高的物体置于空气中，并且放在棒的光轴上，与左顶点相距8cm。求最后成像的位置和大小