矩阵的概念与基本运算

矩阵的概念与基本运算第1页，共36页，2023年，2月20日，星期一称为方程组的增广矩阵称为方程组的系数矩阵设有线性方程组线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系第2页，共36页，2023年，2月20日，星期一

定义1由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)称为m×n矩阵.排成的m行n列数表,记成第3页，共36页，2023年，2月20日，星期一某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：第4页，共36页，2023年，2月20日，星期一第5页，共36页，2023年，2月20日，星期一的第一个下标称为行标，第二个下标称为列标。称作矩阵的元素。矩阵，●矩阵的概念第6页，共36页，2023年，2月20日，星期一●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。等……●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。等……几种特殊形式的矩阵第7页，共36页，2023年，2月20日，星期一等……●零矩阵——所有元素都为零的矩阵，简记作。

●方阵——行数和列数相等的矩阵。如：等……二阶方阵三阶方阵n阶方阵如第8页，共36页，2023年，2月20日，星期一等……●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的

元素都为0的方阵，简记作。第9页，共36页，2023年，2月20日，星期一●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，

简记作。如：等……第10页，共36页，2023年，2月20日，星期一●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的

元素不全为0的方阵。如：等……第11页，共36页，2023年，2月20日，星期一●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方

的元素不全为0的方阵。第12页，共36页，2023年，2月20日，星期一●同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵。如：只有矩阵与矩阵同型第13页，共36页，2023年，2月20日，星期一注意：同型是相等的必要条件。●相等矩阵：若

两矩阵同型且对应位置上

的元素相等，则称相等，记

作。如：第14页，共36页，2023年，2月20日，星期一且，例题：已知求的值。，，关系式第15页，共36页，2023年，2月20日，星期一矩阵的基本运算及性质＋，－×（有两种），/第16页，共36页，2023年，2月20日，星期一一矩阵的加法

定义2设A=(aij

),B=(bij

)都是m×n矩阵,矩阵A与B的和例1记成A+B,规定为第17页，共36页，2023年，2月20日，星期一两个印刷厂：第18页，共36页，2023年，2月20日，星期一矩阵的加法运算满足规律2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij

),记–A=(−aij

),规定A−B=A+(−

B)二数与矩阵的乘法

定义3

规定为称–A为A的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律)易知

A+(−A)=0第19页，共36页，2023年，2月20日，星期一例2若那么3A=A3第20页，共36页，2023年，2月20日，星期一数乘矩阵的运算满足规律：A,B为矩阵.三矩阵与矩阵的乘法

定义4设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij

)是一个

s×nA与B的乘积记成AB，即C=AB.规定A与B的积为一个m×n

矩阵C=(cij

)，其中

AB=ABm×ss×nm×n

矩阵,第21页，共36页，2023年，2月20日，星期一例3

例4第22页，共36页，2023年，2月20日，星期一例5

例6第23页，共36页，2023年，2月20日，星期一一般来说，AB≠BA,若矩阵A、B满足AB=0,n阶矩阵称为单位矩阵.如果A为m×n矩阵，那么即矩阵的乘法不满足交换律.未必有A=0或B=0的结论.第24页，共36页，2023年，2月20日，星期一

n阶矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律第25页，共36页，2023年，2月20日，星期一●矩阵的基本运算及性质（1）交换律A+B=B+A（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）●矩阵的加法矩阵加法的运算规律：注意：只有同型矩阵才能相加。例显然成立第26页，共36页，2023年，2月20日，星期一●矩阵的减法设，则称矩阵为A的负矩阵，记作。若A、B为同型矩阵，则规定即，第27页，共36页，2023年，2月20日，星期一●数乘矩阵如：若，则注意：数乘矩阵时，矩阵的每一元素都要乘以常数K。等……数量矩阵第28页，共36页，2023年，2月20日，星期一●数乘矩阵的运算规律：第29页，共36页，2023年，2月20日，星期一●矩阵的乘法设则其中行列左矩阵右矩阵A的列数B的行数第30页，共36页，2023年，2月20日，星期一例如：无意义！左边矩阵右边矩阵的列数的行数注意：AB存在，BA无意义，第31页，共36页，2023年，2月20日，星期一例题：计算下列各题（1）（2）AB与BA不同型第32页，共36页，2023年，2月20日，星期一同型但不相等。（3）（4）（5）（6）特殊AB=BA第33页，共36页，2023年，2月20日，星期一（1）一般地，，即乘法不满足交换律。（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。小结与特别地，有：，即可交换。（8）（7）或矩阵的乘法运算不满足消去律第34页，共36页，20