第三章多组均数间比较的方差分析

第三章多组均数间比较的方差分析第1页，共72页，2023年，2月20日，星期一第一节方差分析（一）：

单向方差分析第2页，共72页，2023年，2月20日，星期一一、方差分析(analysisofvariance,ANOVA)的基本思想把全部数据关于总均数的离均差平方和分解成几个部分，每一部分表示某一影响因素或诸影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分均方与误差均方相比较，依据F分布作出统计推断，从而确认或否认某些因素或交互作用的重要性。第3页，共72页，2023年，2月20日，星期一二、完全随机设计的单因素方差分析完全随机化设计(completelyrandomdesign)：在实验研究中，将全部观察对象随机分入k个组，每个组给予不同的处理，然后观察实验效应。在调查研究中，按某个因素的不同水平分组，比较该因素的效应。第4页，共72页，2023年，2月20日，星期一

第1组第2组···第k组X11X12···X21X22Xk1Xk2······X1n1

X2n2Xknkn1n2nkXNXij为第i个处理组的第j个观察值，i=1，2，···，g，j=1，2，···，nk；为第i个处理组的均数

为总均数，第5页，共72页，2023年，2月20日，星期一1.总变异，总=N-12.组间变异，组间=k-1

均方MS组间=SS组间/

组间3.组内变异，组内=N-k

MS组内=SS组内/

组内4.三种变异的关系：

=0第6页，共72页，2023年，2月20日，星期一总=N-1=（k-1）+（N-k）=组间+组内

H0：1=2=···=

k

F=MS组间/

MS组内

F服从自由度组间=k-1，组内=N-k的F分布，表示为F~F（组间，组内）若F

F（组间，组内），P>，不拒绝H0；若F

F（组间，组内），P，拒绝H0，接受H1。

第7页，共72页，2023年，2月20日，星期一注1：

H0：1=2=···=

kH1：1，2，

···，

k不全相等，不能用12

···

k表示。注2：优点（1）不受比较的组数限制；（2）可以同时比较多个因素的作用，以及因素间的交互作用。注3：条件（1）各组样本是互相独立的；（2）各样本来自于正态总体；（3）方差齐性。第8页，共72页，2023年，2月20日，星期一例8.1有3种解毒药:A,B,C,同时设一个空白对照D.受试大白鼠共24只,用完全随机化方法将它们等分成4组,每组接受一种药物.试比较不同解毒药的解毒效果.

应用不同解毒药的大白鼠血中胆碱酯酶含量组号胆碱酯酶含量(Xij)ni

1231218162814611118.52233.02283123242834616828.04790.03142417191622611218.72162.048122119141568914.81431.0合计2448020.010616.0第9页，共72页，2023年，2月20日，星期一（1）建立检验假设，确定检验水准。H0：各组大白鼠血中胆碱酯酶含量的总体均数相等H1：各组大白鼠血中胆碱酯酶含量的总体均数不全相等=0.05（2）选定检验方法，计算检验统计量。第10页，共72页，2023年，2月20日，星期一

===SS组间（SS处理）SS组内（SS误差）====10616-4802/24=1016.0=SS总

-

SS组间=1016.0-568.33=447.67=1112/6+1682/6+1122/6+892/6-4802/24=568.33第11页，共72页，2023年，2月20日，星期一总=N-1=24-1=23组间=k-1=4-1=3组内=N-k=24-4=20MS组间=SS组间/

组间=568.33/3=189.44MS组内=SS组内/

组内=447.67/20=22.38F=MS组间/

MS组内=189.44/22.38=8.46

方差分析结果变异来源SSMSFP组间组内总568.33447.671016.0032023189.4422.388.46<0.05（3）确定P值和作出推断结论：

F0.05（3，20）=3.10，F=8.46>F0.05（3，20），P<0.05。在=0.05水准上拒绝H0，接受H1，可以认为各组大白鼠血中胆碱酯酶含量的总体均数不全相等.第12页，共72页，2023年，2月20日，星期一三、多个样本均数间的

多重比较第13页，共72页，2023年，2月20日，星期一（一）LSD-t检验最小显著差异t检验（leastsignificantdifferencettest）第14页，共72页，2023年，2月20日，星期一适合于某几个特定的总体均数间的比较。按算得的t值，以及误差和检验水准查t界值表，作出推断结论。如tt/2，则在水准上拒绝H0。与一般t检验的不同：1）MS误差代替Sc2；2）自由度为N-k，比成组比较中的n1+n2-2大得多，易于检出均数之差的显著性。当各处理组例数相等时，，最小显著差数

当|XA-XB|LSD时，则P，则可认为被比较的两组总体均数之间有显著性差别。第15页，共72页，2023年，2月20日，星期一（二）Dunnett-t检验

适用于k-1个试验组与一个对照组均数差别的多重比较。

查Dunnett-t界值表。

当各组例数相等时,第16页，共72页，2023年，2月20日，星期一（三）SNK-q检验用于多个样本均数间每两个均数的比较。第17页，共72页，2023年，2月20日，星期一

当各组例数相等时，在比较时，将均数从大到小或从小到大依次排列，根据计算所得q值，组间跨度a，误差自由度误差和检验水准查q界值表，如qq（a，）

，则在水准上拒绝无效假设。第18页，共72页，2023年，2月20日，星期一四、方差分析的假定条件1.观察值Xij独立来自正态分布的总体；2.方差齐性。第19页，共72页，2023年，2月20日，星期一方差齐性检验1.提出检验假设；2.计算每一组的中位观察值mdi；3.计算各组内个体观察值与中位观察值之差的绝对值dij；

dij=|Xij-mdi|4.用dij作单向方差分析。第20页，共72页，2023年，2月20日，星期一五、SPSS演示第21页，共72页，2023年，2月20日，星期一完全随机设计资料的方差分析,例8.1

ViewVariable:ViewData:第22页，共72页，2023年，2月20日，星期一AnalyzeCompareMeansOne-WayANOVA…Dependentlist:xFactor:gPostHoc…EqualVariancesAssumed:S-N-KContinueOptions…Statistics:HomogeneityofvariancestestContinueOK第23页，共72页，2023年，2月20日，星期一第24页，共72页，2023年，2月20日，星期一第二节方差分析（二）：

双向方差分析第25页，共72页，2023年，2月20日，星期一一、随机区组设计的两因素方差分析随机化区组设计(randomizedblockdesign)：将全部受试对象按某一个重要的属性（即区组因素）分组，把条件最接近的a个受试对象分在同一个区组内，然后用完全随机的方法，将每个区组中的全部受试对象分配到a个组中去。第26页，共72页，2023年，2月20日，星期一例9.1采用随机区组设计方案，以窝作为区组标志，给断奶后的小鼠喂以三种不同的营养素A、B和C。四周后检查各种营养素组的小鼠所增体重（g）。资料见下表，试比较不同营养素对小鼠体重增加的差别。

第27页，共72页，2023年，2月20日，星期一

三种营养素喂养四周后各小鼠所增体重（g）

营养素分组（i）按区组求和

1（A）2（B）3（C）nj

157.064.876.03197.8255.066.674.53196.1362.169.576.53208.1474.561.186.63222.2586.791.894.73273.2642.051.843.23137.0771.969.261.13202.2851.548.654.43154.5ni88824500.7523.4567.01591.162.665.370.966.332783.435459.142205.0110447.5

区组（j）第28页，共72页，2023年，2月20日，星期一1.变异的分解===SS处理SS区组SS误差其中：，N=na

，i=1，2，

···，a，j=1，2，

···，n总=N-1=（a-1）+（n-1）+(a-1)(n-1)===处理区组误差第29页，共72页，2023年，2月20日，星期一2.分析计算步骤（1）建立检验假设和确定检验水准H0：三种营养素喂养的小鼠体重增量相等H1：三种营养素喂养的小鼠体重增量不全相等=0.05（2）计算F值

=（197.82+196.1+···+154.52)/3-1591.12/24=3990.31SS误差=SS总-SS处理-SS区组=4964.21-283.83-3990.31=690.07第30页，共72页，2023年，2月20日，星期一总=N-1=24-1=23处理=a-1=3-1=2区组=n-1=8-1=7误差=(a-1)(n-1)=27=14MS处理=SS处理/

处理=283.83/2=141.92MS误差=SS误差/

误差=690.07/14=49.29F=MS处理/

MS误差=141.92/49.29=2.88（3）确定P值和作出推断结论：

F0.05（2，14）=3.74，F=2.88<F0.05（2，14），P>0.05。在=0.05水准上不拒绝H0，尚不能认为三种营养素喂养的小鼠体重增量有差别。第31页，共72页，2023年，2月20日，星期一区组间差别的检验：H0：8个区组的小白鼠体重增量相等H1：8个区组的小白鼠体重增量不全相等=0.05MS区组=SS区组/

区组=3990.31/7=570.04F=MS区组/

MS误差=570.04/49.29=11.56F0.05（7，14）=2.77，F0.01（7，14）=4.28，F=11.56>F0.01（7，14），P<0.01。在=0.05水准上拒绝H0，接受H1，可以认为8个区组的小白鼠体重增量不全相等。第32页，共72页，2023年，2月20日，星期一SPSS演示第33页，共72页，2023年，2月20日，星期一随机区组设计资料的方差分析:例9.1

ViewVariable:ViewData:第34页，共72页，2023年，2月20日，星期一AnalyzeGeneralLinearModelUnivariate…DependentVariable:xFixedFactors:abModel…SpecifyModel:CustomBuildTerms:MaineffectsModel:abContinuePostHoc…PostHocTestsfor:a

EqualVariancesAssumed:S-N-KContinueOK第35页，共72页，2023年，2月20日，星期一UnivariateAnalysisofVariance第36页，共72页，2023年，2月20日，星期一第37页，共72页，2023年，2月20日，星期一二、数据变换第38页，共72页，2023年，2月20日，星期一（一）对数变换(logarithmtransformation)Y=lgX常用于：1）使服从对数正态分布的数据正态化。如生长率、变化速度、抗体滴度等。2）使数据达到方差齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例时。第39页，共72页，2023年，2月20日，星期一例：为了诊断某种疾病需要测量一项指标，现用4种不同的方式来测量这一指标，以增加诊断的可靠性。表1是对4名健康人测得的数据。试检验4种测量方式有无差异？第40页，共72页，2023年，2月20日，星期一

表1用4种方式对4人测得的某指标值测量方式A1A2A3A4对象123440000001500000100000001000002200013000300008500600034001600052007807201900550均数标准差39000004374928.6183759568.876505671.9987.5616.1

表2表1资料的方差分析变异来源SSMSF临界值测量方式间测量对象间误差总4.5410131.4510134.29101310.281013339151.5110134.8310124.7710123.171.01F0.05=3.50第41页，共72页，2023年，2月20日，星期一

表3经对数变换后的数据测量方式A1A2A3A4对象12346.606.187.005.006.200.864.344.114.483.934.220.243.783.534.203.723.810.282.892.863.282.742.940.23均数标准差

表4表2资料的方差分析变异来源SSMSF临界值测量方式间测量对象间误差总25.5622.731.701.13339157.580.570.1358.314.38F0.01=6.99F0.05=3.86第42页，共72页，2023年，2月20日，星期一（二）平方根变换(squareroottransformation)Y=常用于：1）使服从Poisson分布的计数资料正态化，如水中细菌数的分布、放射性物质在单位时间内放射的次数等。2）当各样本的方差与均数呈正相关时，可使数据达到方差齐性。第43页，共72页，2023年，2月20日，星期一例：下面的表1资料是3组小白鼠在注射某种同位素24h后脾脏蛋白质中放射性强度的测定，试问芥子气和电离辐射对同位素进入脾蛋白质是否起抑制作用？第44页，共72页，2023年，2月20日，星期一表1小白鼠注射某种同位素后脾脏蛋白质中放射性的测定窝别XY=对照组芥子气中毒组电离辐射组对照组芥子气中毒组电离辐射组12345678910Xs23817671181076.88.816053476634.15.413031254522.62.91.732.831.002.652.452.653.322.833.162.652.530.4701.002.450.002.241.732.002.652.452.451.731.870.6741.001.730.001.731.001.412.242.002.241.411.480.468第45页，共72页，2023年，2月20日，星期一

表2方差分析结果

变异来源自由度SSMSFF0.01P处理间窝别间误差总的2918295.63814.0200.48720.1462.8191.5580.027104.4157.706.013.60<0.01<0.01用LSD法进行多重比较：第46页，共72页，2023年，2月20日，星期一

表3处理组均数与对照组均数比较

处理均数与对照组的差异P反变换为平方对照组芥子气中毒组电离辐射组2.531.871.480.661.05<0.01<0.016.403.502.19第47页，共72页，2023年，2月20日，星期一（三）倒数变换Y=X常用于数据两端波动较大的资料。1第48页，共72页，2023年，2月20日，星期一（四）平方根反正弦变换(arcsinesquareroottransformation)常用于服从二项分布的率或百分比的资料，如发病率、治愈率、病死率、有效率等。第49页，共72页，2023年，2月20日，星期一

表1不同温度对玫瑰花瓣形成率（%）的影响病员编号

低温（4-6ºC）室温（20-25ºC）高温（30-37ºC）PPP12345总和均数40.034.034.034.534.539.2335.6735.6735.9735.97182.5136.5048.058.049.065.555.543.8549.6044.4354.0348.16240.0748.0149.036.040.016.015.044.4336.8739.2323.5822.79166.9033.38例：某医学院病理生理教研组研究不同温度对淋巴细胞玫瑰花瓣形成率的影响，结果见表1，试作方差分析和多重比较。第50页，共72页，2023年，2月20日，星期一

表2方差分析结果

变异来源自由度SSMSFF0.05P温度间病人间误差总的24814594.04583.866371.1331049.044297.0220.9746.396.400.454.463.84<0.05>0.05用q检验法对各温度的形成率进行两两比较：第51页，共72页，2023年，2月20日，星期一将3个样本均数从大到小依次排列，组次123均数48.0136.5033.38组别室温低温高温表3两两比较计算表对比组两均数之差标准误q值组数q界值PA与B=0.05=0.011与31与22与314.6311.513.123.0463.0463.0464.8033.7791.0243224.043.263.265.644.754.75<0.05<0.05>0.05第52页，共72页，2023年，2月20日，星期一三、析因设计的方差分析如果试验所涉及的处理因素的个数2，当各因素在试验中所处的地位基本平等，而且因素之间存在交互作用时，需选用析因设计(factorialdesign)。第53页，共72页，2023年，2月20日，星期一（一）2×2析因设计第54页，共72页，2023年，2月20日，星期一例用A、B两药治疗12名贫血病人，性别、年龄一致，随机分成4组，治疗后1个月测得血中红细胞增加数（1012/L），结果如表，问A、B两药的治疗效果如何？两药是否存在交互效应？A、B两药治疗后病人红细胞增加数（1012/L）A药B药用不用用不用2.12.22.00.91.11.01.31.21.10.80.90.7第55页，共72页，2023年，2月20日，星期一（1）建立检验假设和确定检验水准对于有重复的两因素设计资料方差分析，可以作3个原假设。

H0：A药无效；或H0：B药无效；或H0：A、B两药无交互作用。=0.05（2）计算F值

1）列表计算各种X、X2。

A药B药用（i=1）不用（i=2）合计

用（j=1）不用（j=2）合计X=6.3X2=13.25X=3.6X2=4.34X=9.9X2=17.59X=3.0X2=3.02X=2.4X2=1.94X=5.4X2=4.96X=9.3X2=16.27X=6.0X2=6.28X=15.3X2=22.55第56页，共72页，2023年，2月20日，星期一2）校正数C=（X）2/n=15.32/12=19.513）总的离均差平方和SS总=X2-C

=22.55-19.51=3.044）总的处理离均差平方和

SS总处

==6.32/3+3.02/3+3.62/3+2.42/3-19.51=2.965）A药的离均差平方和

SSA

=（X）ij2nij-C（X）i2niiji-C=9.92/6+5.42/6-19.51=1.696）B药的离均差平方和

SSB

=（X）j2njj-C=9.32/6+6.02/6-19.51=0.917）A药和B药的交互作用

SSAB

=SS总处

-SSA

-SSB

=2.96-1.69-0.91=0.36第57页，共72页，2023年，2月20日，星期一8）误差离均差平方和

SS误差

=SS总

-SS总处

=3.04-2.96=0.089）计算与上述各种离均差平方和相对应的自由度总=n-1=12-1=11总处=（A的水平数×B的水平数）-1=2×2-1=3A=A的水平数-1=2-1=1B=B的水平数-1=2-1=1AB=总处-A-B=3-1-1=1误差=总-总处=11-3=8

第58页，共72页，2023年，2月20日，星期一10）列方差分析表变异来源SSMSF临界值总处理ABAB误差总2.961.690.910.360.083.0431118111.690.910.360.013611.3（3）确定P值并作出推断结论本例分析交互作用时，P<0.01，认为交互作用有统计学意义。表明A因素处于不同水平时，B因素的作用是不同的，反之亦