第三理论力学

第三理论力学第1页，共34页，2023年，2月20日，星期一1）直接投影法（一次投影法）1、空间单个力在直角坐标系中的分解§3-1

空间汇交力系空间汇交力系:空间力系中各分力的作用线分布情况为均汇交于同一点．若已知空间一力F与x、y、z三轴之间的夹角为，则通过一次投影即可得到F在x、y、z三根轴上的分量：第2页，共34页，2023年，2月20日，星期一大小，如果只已知与一根轴的夹角，则通常的做法是：先将该力向z轴及其垂面分解（与垂面的夹角为)，而位于垂面内的分力，其平面几何关2）间接投影法（二次投影法）方向：＋、－号；第3页，共34页，2023年，2月20日，星期一系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹角与此角互余），如，然后再通过二次投影，即得到所有的分量：第4页，共34页，2023年，2月20日，星期一2、空间汇交力系的合力与平衡条件1）、空间汇交力系合成的几何法和解析法合成的几何法：力多边形法则；合成的解析法：合力投影定理；第5页，共34页，2023年，2月20日，星期一合力矢量的确定：大小：方向：

作用点：汇交力系的汇交点．第6页，共34页，2023年，2月20日，星期一2）、空间汇交力系平衡的几何法和解析法平衡的几何条件：平衡的解析条件：∵∴

平衡的解析条件为：第7页，共34页，2023年，2月20日，星期一即：------平衡方程

上述空间汇交力系平衡的解析条件，由于其等式左端包含的力分量有已知的主动力，也有未知的约束反力，因此关系式中存在未知量，同时等式右端又等于零，因此是标准的数学方程式，故称为空间汇交力系的平衡方程.第8页，共34页，2023年，2月20日，星期一§3-2

力对点的矩和力对轴的矩

1、力对点的矩以矢量表示---力矩矢

一个力作用在物体上，可以使物体相对一个固定点产生转动运动，这种力对物体的作用效果取决于力对点的矩，它等于：即：力矩等于力作用点的矢径与力矢量的矢量积.力矩对物体的作用效果取决于以下三要素：大小:；方向:按右手螺旋法则确定；作用面：、共同组成的面.第9页，共34页，2023年，2月20日，星期一2）力对点之矩的解析表达式：将上述力矩的矢量表达式表示为解析形式：∵∴力矩的解析表达式为：=第10页，共34页，2023年，2月20日，星期一则，力对点的矩在三个坐标轴上的投影为：2、力对轴的矩（★要求掌握）1）定义：力对轴的矩等于该力在垂直于该轴的平面内的投影对于该轴与垂面的交点的矩；即：第11页，共34页，2023年，2月20日，星期一因此，力对轴的矩是一个代数量，其大小等于该力在垂直于该轴的平面上的投影大小与这个平面与该轴的交点到投影线垂直距离的乘积；方向由右手螺旋定则规定：逆时针转向为正，顺时针转向为负.

由此可见，平面力矩只是相当于空间力对轴的矩.大小:；方向:按右手螺旋定则确定----结果：与投影平面垂直，且沿所取的轴线方向；由于指向只有两种选择，因此可以用表示；其中规定：当按右手定则旋转时，拇指指向轴的箭头正向为正，此时迎着箭头向内看，旋转方向为逆时针转向；反之为负.作用面：、共同组成的面.＋、－号第12页，共34页，2023年，2月20日，星期一3）力对轴之矩的解析表达式：将空间力向坐标轴分解，然后再对三根坐标轴分别计算其对轴之矩：2）力对轴的矩为零的条件：（1）：力的大小为零或作用线与轴平行；（2）：即力的作用线与轴相交.反之，只有当力的大小不为零、且力的作用线既不与轴平行也不与轴相交时，力对轴的矩不为零.第13页，共34页，2023年，2月20日，星期一

3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系

由此可见：即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩.第14页，共34页，2023年，2月20日，星期一例3-1已知：手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为，如果，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l.求：力

对x、y、z三轴的矩.力在x、y、z轴上的投影为：解：力作用点D的坐标为：第15页，共34页，2023年，2月20日，星期一由力对轴之矩的解析表达式得：第16页，共34页，2023年，2月20日，星期一§3-3

空间力偶1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢空间力偶矩矢的三要素大小：；定义：方向：由右手螺旋法则确定；作用面：由共同组成的面.第17页，共34页，2023年，2月20日，星期一2、对刚体，力偶的等效定理定理：作用在同一刚体上的两个力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效.由此可得推论：

1）空间力偶可在它的作用面内任意移动，而不改变它对刚体的作用效果.因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关.

2）空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果.第18页，共34页，2023年，2月20日，星期一故：对刚体，力偶矩矢是自由矢量（矢量大小和方向保持不变，但作用点可任意移动----即矢量作用线即可滑移又可平移）.

3）同时改变力与力偶臂的大小，只要力偶矩矢的大小、方向不变，其对刚体的作用效果就不会发生变化.第19页，共34页，2023年，2月20日，星期一3、力偶系的合成与平衡条件

1）力偶系的合成

几何法：==即：任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和.第20页，共34页，2023年，2月20日，星期一合力偶矩矢的大小和方向：---空间力偶系的平衡方程.2）力偶系的平衡解析法：∵∴第21页，共34页，2023年，2月20日，星期一§3-4

空间任意力系向一点的简化主矢和主矩2、空间任意力系向一点的简化

1）取简化中心：O点；

2）通过力的平移定理对平面任意力系进行简化：

即，空间任意力系等效为两个简单力系：空间汇交力系和空间力偶系.

1、空间任意力系：当力系中各力的作用线分布于三维空间内，并且各力既不完全汇交于同一点、也不完全互相平行时，这种力系称为空间任意力系.第22页，共34页，2023年，2月20日，星期一主矩主矢3）通过力的多边形法则和合力偶矩定理对上述空间汇交力系和空间力偶系进行合成：第23页，共34页，2023年，2月20日，星期一2、空间任意力系的简化、合成结果分析（1）简化合成为一个合力偶：（2）简化合成为一个合力：

1）

2）第24页，共34页，2023年，2月20日，星期一大小方向作用线：

，合力作用线在作用线的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定．（3）简化合成为一个力螺旋：

1），此时主矢和主矩不能再合成，形成一个力螺旋．

第25页，共34页，2023年，2月20日，星期一2）既不平行也不垂直：此时主矩可以分解为与主矢垂直和平行的两个分量，其中垂直分量可以与主矢进一步再合成，但平行分量不可再合成，因此最后形成一个力螺旋．第26页，共34页，2023年，2月20日，星期一（4）平衡：§3-5

空间任意力系的平衡方程1、空间任意力系平衡的几何条件：2、空间任意力系平衡的解析条件：在解析坐标系中，上述矢量的大小可以表示为：第27页，共34页，2023年，2月20日，星期一因此，其平衡的解析条件为：------平衡方程共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力．3、空间任意力系的两种特殊情况：1）空间平行力系的平衡方程2）空间汇交力系的平衡方程第28页，共34页，2023年，2月20日，星期一例3-2已知：各尺寸如图；求：及A、B处约束力．1、取受力体：曲轴；3、列平衡方程：解：2、分析受力、画受力图如图；第29页，共34页，2023年，2月20日，星期一+第30页，共34页，2023年，2月20日，星期一4、求解：第31页，共34页，2023年，2月20日，星期一§3–6

重心1、平行力系中心平行力系中心：平行力系合力的作用点．由合力矩定理:因为合力与分力均同向，所以如果设力作用线方向的单位矢量为，则上式变为:平行力系中心矢径一