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文档简介

空间问题基本理论第1页，共14页，2023年，2月20日，星期一5.1

平衡微分方程xyzo设前后两个面的中心线为ab，则取X整理后便得到x方向的平衡方程:得化简上式知：同理得：以X轴为投影轴，列出平衡方程第2页，共14页，2023年，2月20日，星期一xyzo同理可以得到y、z方向的平衡方程XYZ其中X、Y、Z为物体的体力分量。则空间问题平衡方程如下：第3页，共14页，2023年，2月20日，星期一设斜面ACD为边界面，其外法线n的方向为(l,m,n)，面积为ΔS，边界外力分量为(px，py，,pz)，则三角形ABC、ABD

、BCD的面积分别为ΔS在各相应方向上的投影lΔS,mΔS,nΔS,Nxyzo5.2

一点的应力状态第4页，共14页，2023年，2月20日，星期一注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。由x方向的平衡得到：XNΔS=lΔSσx+mΔSτyx+nΔSτzx即XN

=lσx+mτyx

+nτzxxyz0N第5页，共14页，2023年，2月20日，星期一由y、z方向的平衡得到:YN=lτxy+mσy+nτzyZN=lτxz+mτyz+nσz求解的应力应满足平衡方程和应力边界条件，在空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三个平衡方程；边界条件主要是用来确定解出的应力中的未定常数。=lσx+mτyx

+nτzx=lτxy+mσy+nτzy=lτxz+mτyz+nσz应力边界条件为：第6页，共14页，2023年，2月20日，星期一5.3主应力与平面问题一致，设经过任一点P的某斜面上剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，并称该斜面为在P点的一个应力主面，该斜面的法线方向为P点一个应力主向。设P点有一主应力存在，则该面上的全应力在坐标轴上的投影为：则得：又有：联立上式可以得到方程：第7页，共14页，2023年，2月20日，星期一求解上式得三个实根σ1，σ2，σ3，这即为P点的三个主应力。并可得与σ1对应的l1,m1,n1的关系第8页，共14页，2023年，2月20日，星期一5.4几何方程和物理方程空间问题的位移分量为：u、v、w位移边界条件：物理条件：就得到了平面应变状态下的物理方程。第9页，共14页，2023年，2月20日，星期一5.5空间轴对称问题θrdrdθ由于对称性，从轴对称物体中取出图示的单元体。并且环向体力分量为零。θdθ第10页，共14页，2023年，2月20日，星期一化简后得到根据r方向的平衡，可得φdφρρφφ第11页，共14页，2023年，2月20日，星期一根据z方向的平衡，可得化简后得到θdθ第12页，共14页，2023年，2月20日，星期一这里的物理方程是这样，空间轴对称问题的平衡方程为由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为由轴向位移w产生的应变为迭加得到几

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