




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
离散数学第四讲半群和独异点1第1页,共10页,2023年,2月20日,星期一定义2:若半群〈S,*〉对运算*有么元,则称该半群为含么半群,也称独异点。(3点)例2:判断下列给出的代数是不是独异点。①〈E,+〉和〈E,*〉,E为正偶数集{2,4,6,…};②〈S,*〉,其中S是不同高度的人的集合,a*b表示a,b
中较高者;③〈R+,·〉〈R+,÷〉④〈{Rn|n∈N},合成运算,R0〉,其中R是S上的二元关系;
×√,么元为最矮的人√
×√
半群和独异点2第2页,共10页,2023年,2月20日,星期一定义3:如果〈S,*〉是半群,T⊆S且关于运算*封闭,那么〈T,*〉是〈S,*〉的子代数,称〈T,*〉为
〈S,*
〉的子半群。如〈[0,1],*
〉,〈N,*
〉都是〈R,*
〉的子半群.定理1:子半群是半群。证:
子半群是子代数,关于运算*封闭,结合律是继承的,
所以是半群。证毕。
半群和独异点3第3页,共10页,2023年,2月20日,星期一定义4:如果〈S,*,1〉是独异点。T⊆S,且关于运算*封闭,1∈T,那么〈T,*,1〉是〈S,*,1〉的子代数,称〈T,*,1〉是〈S,*,1〉的子独异点。如〈N,*,1
〉就是〈R,*,1
〉的子独异点.定理2:子独异点是独异点。证:子独异点是子代数,关于运算*封闭,含有么元,
结合律是继承的,所以是独异点。证毕。
半群和独异点4第4页,共10页,2023年,2月20日,星期一注:独异点一定是半群,但半群不一定是独异点。但可通过添加新元素将半群变为独异点,如半群〈[0,1),*
〉
添加么元1可变为独异点〈[0,1],*
,1〉。定理3:独异点〈S,*
〉中,运算*的运算表没有两行和两列是相同的。证:设S是有限集{e,a1,a2…an},对任何ai,aj∈S,若ai≠aj
则e*ai≠e*aj,所以任意两列都不相同。又因为ai*e≠aj*e,所以任意两行都不相同。
半群和独异点5第5页,共10页,2023年,2月20日,星期一定义5:在半群(独异点)中,若运算是可交换的,则称此半群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)。定理4:在任何可交换独异点〈S,*,e〉中,S的等幂元素集合T可构成子独异点。证:i)任取x,y∈T,
则x
*y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y)
所以,x*y∈T,故运算封闭;
ii)T是S的子集,*在T上可结合;
iii)e*e=e,e是等幂元素,所以,e∈T。故〈T,*,e〉是子独异点。证毕。本定理对可交换半群也成立。
半群和独异点6第6页,共10页,2023年,2月20日,星期一下面我们定义独异点〈S,*,e〉中任意元素a的幂。用归纳定义:(1)(基础)a0=e(2)(归纳)an+1=an*a(n∈N)
由于独异点中,运算*是可结合的,容易证明如此定义的a的幂满足以下指数定律:
(1)(2)
半群和独异点7第7页,共10页,2023年,2月20日,星期一
定义6:
在独异点〈S,*,e〉中,如果存在一个元素g∈S,
使每一元素a∈S,都有一个相应的h∈N能把a写成
gh,
即a=gh
,则称此独异点为循环独异点。并称元素g
是此循环独异点的生成元,又可说此循环独异点是由
g生成的。例3:①〈N,+,0〉
是循环独异点,生成元是1,因为任取i∈N,当
i=0时,0=10;i≠0时,有
i=1i
。②是循环独异点,生成元为b,c1=b0,a=b2,b=b1,c=b3;1=c0,a=c2,b=c3,c=c1.
半群和独异点8第8页,共10页,2023年,2月20日,星期一定理5:每个循环独异点都是可交换的。
证:设〈S,*,e〉是循环独异点,其生成元是g,
对任意a、b∈S,存在m、n∈N,使a=gm和b=gn,
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 公共卫生科个人年度工作总结
- 回收产业社会责任评价体系-洞察及研究
- 2025届内蒙古太仆寺旗宝昌第一中学物理高一第二学期期末调研模拟试题含解析
- 保安人员培训心得体会
- 会计专业精短简单自荐信
- 人间彩虹桥教学反思
- 亲属关系公证的委托书
- 萎缩性舌炎的护理查房
- 药物性肌病护理课件
- 月经先期的护理查房
- 同业培训课件
- 2025至2030中国生物反馈仪行业产业运行态势及投资规划深度研究报告
- 【公开课】牛顿第二定律+课件+-2024-2025学年高一上学期物理人教版(2019)必修第一册+
- 预防错混料培训
- 2025年云南省中考地理试卷真题(含答案)
- 2025年沪科版八年级(初二)下学期物理期末考试模拟测试卷02
- 粤港澳大湾区青少年国情教育实践基地(虎门渡口西岸物业提升改造项目)可行性研究报告
- DB62T 4415-2021 当归栽培技术规程
- 合同公司变更协议书范本
- 文学概论考试要点试题及答案
- 2024–2025年中国数据标注产业深度分析报告
评论
0/150
提交评论