离散数学-代数系统

离散数学-代数系统第1页，共42页，2023年，2月20日，星期一个人信息(Personal

Information)Instructor:焦晓鹏，副教授，工学博士

Bs.(2004)XidianUniversity

PhD(2009)XidianUniversity

RF(2010-2012)NationalUniversityofSingaporeResearchDirection:

●新型差错控制编码技术●高密度存储系统信号处理和编码技术（高密度磁盘和闪存flashmemory）●数字喷泉码和网络编码技术Laboratory:计算学院计算机科学系Office:主楼I-区,402房间Tel/p>

Email:jiaozi1216@126.com第2页，共42页，2023年，2月20日，星期一关于学习和考试(1)摆正学习和考试的关系

考试是学习期间的副产品

以考试为目的的学习是对知识耍流氓(2)勤奋!!!

诸葛亮诫子书

夫君子之行，静以修身，俭以养德。非淡泊无以明志，非宁静无以致远。夫学须静也，才须学也。非学无以广才，非志无以成学。韬慢则不能励精，险躁则不能治性。年与时驰，意与岁去，遂成枯落，多不接世。悲守穷庐，将复何及？第3页，共42页，2023年，2月20日，星期一名人话数学数学是科学之王。——高斯数学支配着宇宙。——毕达哥拉斯自然界的书是用数学的语言写成的。——伽利略数学是一切知识中的最高形式。——柏拉图数学是打开科学大门的钥匙。——培根一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。——马克思一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑第4页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学(DiscreteMathematics)读史使人明智,读诗使人聪慧,演算使人精密,哲理使人深刻,伦理学使人有修养,逻辑修辞使人善辩。——培根数学史的书籍:

<古今数学思想>

[美]莫里斯.克莱茵

著

<数学史>

[英]斯科特

著广西师范大学出版社没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使火热的发明变成冰冷的美丽。——弗赖登塔尔:荷兰著名数学教育家第5页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学课程的学习特点及方法特点:强调：逻辑性、抽象性；注重：概念、方法与应用方法:1．该课程概念名词多，定义多，公式多，要求记忆准确。2．认真/仔细做好课堂笔记。3．完成大量习题。考核:平时成绩15%期末考试85%第6页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学教材教材：

《离散数学》方世昌编著

西安电子科技大学出版社

2009.8第7页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学教材旧版教材：

《离散数学》方世昌编著(第二版)

西安电子科技大学出版社

1996.11第8页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学参考书1.《离散数学》左孝凌、李为鑑、刘永才编著上海科技文献出版社第9页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学参考书2.《离散数学》--理论•分析•题解，左孝凌等著上海科技文献出版社第10页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学参考书3.《离散数学习题集》数理逻辑与集合论分册耿素云图论分册，耿素云抽象代数分册，张立昂北京大学出版社第11页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学参考书第12页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学参考书第13页，共42页，2023年，2月20日，星期一离散数学(二)四、代数系统离散数学教学内容

一、数理逻辑

集合

二、

关系

函数

三、图论

离散数学(一)第14页，共42页，2023年，2月20日，星期一高次方程求解历程(1)

埃及/古希腊一次/二次方程(2)16世纪意大利三次方程(卡当公式),四次方程(3)17世纪四次以上方程未解出!(4)18世纪欧拉推断:实系数多项式可分解为一次或二次因式乘积哥德巴赫拒绝接受欧拉推断问题转换:每一个此类多项式至少有一个实根或者复根(代数基本定理)欧拉,D’Alembert,拉格朗日分别给出证明,但并不完善高斯(1799,博士论文)证明了代数基本定理

Vandermonde和高斯研究了xn-1=0的特殊情形四次以上方程代数可解的一般情况拉格朗日:

“关于方程的代数解法的思考”,被迫得出结论用代数运算求解一般高次方程是不可能的.

(5)19世纪阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)彻底解决高次方程代数不可解！第15页，共42页，2023年，2月20日，星期一近世代数/抽象代数历史尼尔斯·亨利克·阿贝尔(NielsHenrikAbel)1802年8月5日－1829年4月6日挪威数学家，以证明五次方程不存在根式解和对椭圆函数论的研究而闻名埃瓦里斯特·伽罗瓦(ÉvaristeGalois)1811年10月25日－1832年5月31日法国数学家，以发现了n次多项式可以用根式解的充要条件而闻名.

伽罗瓦理论,当代代数与数论的基本支柱之一第16页，共42页，2023年，2月20日，星期一近世代数/抽象代数历史第17页，共42页，2023年，2月20日，星期一近世代数/抽象代数历史第18页，共42页，2023年，2月20日，星期一近世代数/抽象代数历史后人对伽罗瓦的评论:

被许多科学家和史学家认为是人类历史上最伟大的10位数学家之一著名数学家皮卡评价:

在开创性和概念的深邃方面无人能及

20世纪伟大数学家外尔评价:伽罗瓦的论述在好几十年中一直被看作是天书;但是,它后来对数学的整个发展产生愈来愈深远的影响.如果从它所包含思想之新奇和意义之深远来判断,也许是整个人类知识宝库中价值最为重大的一件珍品.大数学家weil评价:现在,大家都已充分认识到伽罗瓦理论是一个基本分支,每一个严肃认真的数学专业大学生应该在头几年的教育中就了解它.第19页，共42页，2023年，2月20日，星期一近世代数/抽象代数历史第20页，共42页，2023年，2月20日，星期一第21页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章、代数结构代数系统:

集合和定义在集合上的若干运算所组成的系统。用抽象方法研究各种代数系统性质的理论学科叫“近世代数”或“抽象代数”。

“抽象方法”是指(1)不关注组成代数系统的具体集合是什么，也不关注集合上的运算如何定义(2)研究抽象的数学结构，研究抽象数学结构的一般性质线性代数：<Mn(R)，+，•>命题代数：<X，﹁，∧，∨>集合代数：<ρ(A)，∩，∪，—>第22页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章、代数结构计算机安全，网络安全，密码学的基础程序设计学中的形式语义学基础刻画抽象数据结构关系数据库理论研究可计算性与计算复杂性差错控制编码理论都需要代数知识特别地，半群在形式语言和自动机理论中有着重要的应用，有限域理论是差错控制编码理论的数学基础，在通讯中发挥了重要作用。而电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设计更是离不开布尔代数。第23页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章、代数结构代数的概念和方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在各种数学问题及许多实际问题的研究中都离不开数学模型，要构造一个现象或过程的数学模型，就需要某种数学结构，而代数结构就是最常用的数学结构之一。因此，我们有必要掌握代数系统的重要概念和基本方法。第24页，共42页，2023年，2月20日，星期一第一讲代数系统代数的构成与分类11子代数2主要内容:代数定义，么元和零元重点:

幺元、零元和逆元难点:重点和难点:幺元、零元和逆元3第25页，共42页，2023年，2月20日，星期一一、代数的构成与分类代数的构成:

运算的定义：函数f:Sm→S称为集合S上的m元运算，m∈N叫运算的元数(或阶)。

m=1,一元运算，S→S,R→R,

f(x)=|x|+1；

m=2,一元运算，S2→S,R2→R,f(<x,y>)=x+y；一般地，n元运算，Sn→S。

代数系统的定义：1.一个非空集合A(代数的载体)；2.定义的若干在A上封闭的运算f1,f2,…,fm；3.代数常数。代数系统常用一个n重组<A，，，…，>来表示,其中A称为代数结构的载体，，，…为各种运算。有时为了强调S有某些元素地位特殊,也可将它们列入n重组的末尾，即<A，，，…，k1，…，km>。第26页，共42页，2023年，2月20日，星期一一、代数的构成与分类代数的分类:1.要有相同的构成成分。2.服从一组相同的称为公理的性质。

运算的个数相同常数的个数相同对应运算元数(阶)相同例:考虑具有<I,+,·,-,0,1>形式构成成分和下述公理的代数类(这里“-”是一元运算)。

(1)a+b=b+a

(2)a·b=b·a

(3)(a+b)+c=a+(b+c)

(4)(a·b)·c=a·(b·c)

(5)a·(b+c)=a·b+a·c

(6)a+(-a)=0

(7)a+0=a

(8)a·1=a那么<Q,+,·,-,0,1>和<R,+,·,-,0,1>是同类代数,但<ρ(S),∪,∩,¯,Ø,S>是不同类的,因为公理(6)对这个代数不成立

(这里“-”表示集合的绝对补)。第27页，共42页，2023年，2月20日，星期一二、子代数封闭性定义：设◦与∆是S上的二元与一元运算,S′⊆S，若对任意a,b∈S′，蕴含着a◦b∈S′，称S′关于运算◦是封闭的；若对任意a∈S′，蕴含着∆a∈S′，称S′关于运算∆是封闭的。子代数的定义：设A=<S,◦,△,k>是一代数,如果

(1)S′⊆S

(2)S′对S上的运算◦和△封闭

(3)k∈S′那么A′=<S′,◦,△,k>是A的子代数。

例如：(1)<I,+,0>是<R,+，0>的子代数；

(2)<{0,2},+4,0>是<{0,1,2,3},+4,0>的一个子代数。第28页，共42页，2023年，2月20日，星期一三、幺元、零元幺元定义：设*是S上的二元运算,(1)若存在el∈S，对所有x∈S，都有el*

x=x，则称el是关于运算*的左么元(LeftIdentityElement)，或称左单位元(LeftUnitElement)。(2)若存在元素er∈S，对所有x∈S，都有x*

er=x，则称er是关于运算*的右么元(RightIdentityElement)，或称右单位元(RightUnitElement)。(3)若存在e∈S，它既是左么元也是右么元，则称e是关于运算*的一个么元(IdentityElement)，或称单位元(UnitElement)，即对所有x∈S，都有x*

e

=e

*

x=x，则e是关于运算*的么元。第29页，共42页，2023年，2月20日，星期一三、幺元、零元幺元示例：例2代数A=<{a,b,c},*>如下表所示：

可以看出，代数A左么元为b，没有右么元。例3<R,×>中么元为1；<R,+>中么元为0。

*abcaabbbabccaba第30页，共42页，2023年，2月20日，星期一三、幺元、零元零元定义：设*是S上的二元运算,

(1)若存在θl∈S，对所有x∈S，都有θl*x=θl，则称θl是为关于运算*的左零元(LeftZeroElement)。

(2)若存在θr∈S，对所有x∈S，都有x*θr=θr，则称θr是关于运算*的右零元(RightZeroElement)。(3)若存在θ∈S，它既是左零元也是右零元，则称θ是关于运算*的零元，即对任意x∈S，都有θ*x=x*θ=θ，则θ是关于运算*的零元(ZeroElement)。*abcaabbbabccaba在例2中代数A=<{a,b,c},*>的右零元为a,b；没有左零元。第31页，共42页，2023年，2月20日，星期一三、幺元、零元例4：(1)<I,×>么元：1,零元：0；

(2)S非空有限集，代数<ρ(S),∪,∩,¯,Ø

,S>

么元零元对∪：ØS

对∩：SØ*abcaabbbabccaba例2的代数中：

右零元：a,b；左零元：无；右么元：无；左么元：b可以看出：左(右)零元不一定存在；左(右)零元存在时也不一定唯一；左零元与右零元可能同时存在。第32页，共42页，2023年，2月20日，星期一三、幺元、零元定理1：设*是定义在集合A上的二元运算，且A中关于运算*的左幺元为el，右幺元为er，则el=er=e，且A中的幺元是唯一的。证明：因为el和er分别为左幺元和右幺元，所以el=el*er=er=e。设另有一幺元e′,则e′=e′*e=e，所以幺元唯一。定理2：设*是定义在集合A上的二元运算，且A中关于运算*的左零元为θl，右零元为θr，则θl=θr=θ，且A中的零元是唯一的。定理3：设<A,*>是一个代数系统,且集合A中元素的个数大于1.如果该代数系统中存在幺元e和零元θ,则θ≠e。证明：用反证法，假如幺元e

=零元，那么对于任意xA,必有x=e*x=θ*x=θ=e。于是，A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。第33页，共42页，2023年，2月20日，星期一四、逆元逆元定义：设*是A上的二元运算,e是A中关于*的么元，

(1)若对元素a∈A，存在b∈A，使b*a=e，则称b是a的左逆元；

(2)若对元素a∈A，存在b∈A，使a*b=e，则称b是a的右逆元；

(3)若对元素a∈A，存在b∈A，使a*b=b*a=e，则称b是a的逆元，记为a-1。

例如<I,+>中么元为0，x的逆元为-x。

一般来说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元；一个元素可以有左逆元而无右逆元，甚至一个元素的左（右）逆元还可以不唯一。第34页，共42页，2023年，2月20日，星期一四、逆元例5(1)：<N,+>么元为0，仅0有逆元;

<R,·>么元为1,仅零元0无逆元,其它元素x均有逆元。例5(2)：设Nk是前k个自然数的集,这里k＞0,Nk={0,1,2,…,k-1}，定义模k加法+k如下:对每一x、y∈Nk，

么元为0；Nk的每一元素有逆元，0的逆元是0，每一非0元素x的逆元是k-x。例5(3)：设Nk是前k个自然数的集,这里k≥2,定义模k乘法×k如下:x×ky=z，这里z∈Nk,且对某一n,xy-z=nk,即

1是么元，元素x∈Nk在Nk中有逆元仅当x和k互质。第35页，共42页，2023年，2月20日，星期一四、逆元1是幺元，逆元是它本身0,2无逆元，3的逆元为30无逆元，1的逆元为1，2的逆元为3，3的逆元为2，4的逆元为4第36页，共42页，2023年，2月20日，星期一四、逆元

定理4：对于可结合运算,如果一个元素x有左逆元l和右逆元r,那么l=r=x－1(即逆元是唯一的)。证明

:设e对运算*是么元,于是l*x=x*r=e根据运算*的可结合性,得到l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r

设x有两个逆元a,b,那么a=a*e=a*(x*b)=(a*x)*b=e*b=b

所以逆元是唯一的。

可约性定义：设*是S上的二元运算,a∈S,如果对于每一x、y∈S有(a*x=a*y)∨(x*a=y*a)(x=y)，则称a是可约的或可消去的。第37页，共42页，2023年，2月20日，星期一四、逆元

定理5：若代数<S,>中运算满足结合律,且a∈S有逆元,那么a必定是可约的。证明

:设a的逆元为a-1，对∀x、y∈S，

(1)当ax=ay时可得a-1(ax)=a-1(ay)，即(a-1a)x=(a-1a)y，可推得x=y。

(2)当xa=ya时可得(xa)a-1=(ya)a-1,即x(aa-1)=y(aa-1),也可推得x=y。因此，a是可约的。

Note：上述定理的逆不成立。例如<I,·>中，∀a∈I且a≠0,a是可约的,但除了1外其他元素都不存在逆元。第38页，共42页，2023年，2月20日，星期一五、代数系统：例题

例:在整数集合I上，定义二元运算。为a*b＝a＋b－2

请回答：

(1)集合I和运算*是否构成代数系统?(2)运算*在I上可交换吗？

(3)运算*在I上可结合