第一讲期望效用理论

第一讲期望效用理论第1页，共36页，2023年，2月20日，星期一基本概念状态空间股票投资时，投资者面临的市场状态可能是：熊市或者牛市。这是两个不同的自然状态。此时：第2页，共36页，2023年，2月20日，星期一基本概念状态相依商品向量对于每一个物品l=1,2,…,L和状态s=1,2,…S，一个单位的状态相依商品是，当且仅当s发生时才获得一单位物品l的权利。状态相依商品向量：

x=(xls)，l=1,2,…,L，s=1,2,…S

或者：

x=(x11,…

xL1,x12

…

xL2,…,x1S…

xLS)∈RLS第3页，共36页，2023年，2月20日，星期一基本概念状态相依消费者禀赋向量消费者i∈I的禀赋为

wi=(wils)，i∈I，l=1,2,…,L，

s=1,2,…S

或者

wi=(wi11,…

wiL1,wi12

…

wiL2,…,wi1S…

wiLS)

wi∈RLS第4页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好定义考虑时间要素的偏好问题为了简化，这里采用两期模型。假定消费计划为

C=(c0,c1)

其中，t=0期消费c0，t=1期消费c1。如果0期为当期，则c0为确定。而t=1时受到自然状态影响，消费水平c1不确定。消费计划是一个随机变量，其概率分布性质由相应时间的概率分布决定，每个消费计划都对应一个概率分布。第5页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好定义偏好关系:在确定环境下，xy,被称为消费者在商品束x,y中“弱偏好于”x，即消费者认为x至少与y一样好。但我们却处于不确定环境中，明天会不会下雨？股市会跌吗？等等。确定环境中的偏好表达在不确定环境下可行吗？未来具有不确定性，（1）我们可以推断事件发生的概率分布，如：掷一枚硬币，出现花或者字的概率均为50%；（2）引入主观概率，即人为地为每一种状态分配一个概率。第6页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好定义抽奖模型设想消费者参与抽奖活动，所有产生的结果用c表达。每一个结果发生具有一定的概率pi，不妨假定概率是客观存在的。通常一个简单抽奖记为：若关注概率分析为，再不会出现误解的情况下，可简化为第7页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好定义抽奖模型复合抽奖，抽奖结果有一个个简单抽奖构成。对一个复合抽奖，可以得到计算引致抽奖，即把复合抽奖简化为简单抽奖第8页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好定义抽奖模型案例：三个简单抽奖：L1,L2,L3L1=(1,0,0)L2=(1/4,1/4,1/2)L2=(1/4,3/8,3/8)

复合抽奖，(1/3，1/3，1/3；L1,L2,L3)

引致抽奖，(1/2,5/24,7/24)第9页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好定义抽奖模型为了简化分析，假定：无论抽奖方法如何，消费者仅对通过引致抽奖得到最终分布感兴趣。如果两种抽奖方法完全不同，但引致抽奖结果一样，消费者就觉得它们没有差异。所有类似的抽奖商品，就构成了在不确定情况下的商品空间，即抽奖商品空间为L。不同的抽奖商品之间，也应当存在与普通商品之间类似的偏好顺序和关系。第10页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好公理理性公理：完备性、反身性和传递性完备性：对于任何L1,L2∈L。要么L1L2；L2L1；或者两者都成立，则L2~L1。不同抽奖商品之间总是存在可比较关系。反身性：对于任何L1∈L。L1L1。传递性：对于任何L1,L2,L3∈L。如果有L1L2，L2L3，则L1L3。传递性可使得个人在一系列的比较中不会出现矛盾，保持偏好的一致性。第11页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好公理独立性公理（替代性公理）对于任何L,L’,L”∈L，和∈[0,1]，要求有：

独立性公理意味着：如果我们把两个抽奖同第三个抽奖放在一起考虑，则前面两者的偏好顺序是独立于特定的第三个抽奖。通过独立性假设，消费者希望把复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立部分，整个决策行为仅由其中不同的部分来决定。第12页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好公理独立性公理第13页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好公理独立性公理同理如果，则第14页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好公理连续性对于任何L,L’,L”∈L，下面的集合为闭集连续性保证概率的微小变化不会改变两个抽奖商品之间的偏好顺序。或者事物无大起大落变化。例如，如果消费者“快乐和安全的开车旅行”的偏好强于“待在家里”，那么他对于一个“快乐和安全的开车旅行”与一个具有充分小，但不为0的正概率的“发生车祸导致死亡”的混合结果的偏好，仍然要强于“呆在家里”。第15页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好公理定理1：任何L,L’,L’’∈L，且LL’L’’，偏好满足完备性、自反性、传递性、连续性和独立性，那么存在q∈(0,1)，使得qL+(1-q)L’’~L’。证明：设立A={q∈[0,1]|qL+(1-q)L’’L’}B={q∈[0,1]|L’qL+(1-q)L’’}

根据完备性，A∪B=[0,1]

根据连续性，qA=inf{q}∈A；qB=sup{q}∈B

因此，qA=qB=q。证毕第16页，共36页，2023年，2月20日，星期一偏好公理定理2：任何L,L’,∈L，且LL’，偏好满足完备性、自反性、传递性、连续性和独立性，那么对于任何p和q，p,q∈(0,1)，pL+(1-p)L’qL+(1-q)L’,当且仅当p>q。证明，令δ=(p-q)/(1-q)，则

pL+(1-p)L’~δL+(1-δ)(qL+(1-q)L’)由于L~qL+(1-q)LqL+(1-q)L’故，δL+(1-δ)(qL+(1-q)L’)δ(qL+(1-q)L’)+(1-δ)(qL+(1-q)L’)~qL+(1-q)L’，定理得证。第17页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用函数期望效用函数可以对一件抽奖商品的效用表示为对抽奖结果的效用函数的数学期望：第18页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用函数无差异曲线考虑N=3情况,令

U(P1,P2,P3)=∑PiU(Ci)=K

注意到P1+P2+P3=1，则无差异曲线：

假设，则第19页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用函数无差异曲线第20页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用函数定理(VonNeumann-Morgenstein)假定在抽奖商品空间上的偏好具有完备性、自反性、传递性、连续性和独立性，则下式成立：第21页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用函数反对期望效用的例子：阿莱的悖论法国经济学家阿莱在1953年作过一组心理实验。在该实验中，被试者要求在下面两组彩票组合中进行选择。第一组，A=(5000000,0;1000000,1;0,0),B=(5000000,0.1;1000000,0.89;0,0.01)，第二组,C=(5000000,0;1000000,0.11;0,0.89),D=(5000000,0.1;1000000,0.0;0,0.90)结果发现，大多数人在A和B中会选择A，而在C和D中会选择D。实验结果与期望效用公理相抵触。第22页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用函数反对期望效用的例子：阿莱的悖论主要质疑公理体系中的独立性公理设置：L1=(0.11,0.89;1000000,1000000);L2=(10/11,1/11;5000000,0);发现：

L1=(0.11,0.89;1000000,1000000)~A(0.11,0.89;L2,1000000)~B(0.11,0.89;1000000,0)~C(0.11,0.89;L2,0)~D悖论：比较L2与1000000，观察试验结果，发现与独立性公里相悖。第23页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用理论不确定环境中效用函数可表示成不同状态下消费计划效用的期望值：

在时间可加条件下，等价于：第24页，共36页，2023年，2月20日，星期一期望效用函数唯一性问题如果U是一个描述不确定环境中的期望效用函数，那么任何一反射变换（即乘以一个正数加上一个实数）仍为期望效用函数。第25页，共36页，2023年，2月20日，星期一风险态度及其度量风险态度引出VonNeumann-Morgenstein的期望效用函数描述抽奖商品，但由于金融投融资决策的结果往往表现为货币形式，可以进一步拓展到特殊商品（货币）上，构建货币抽奖。例如，假设投资者有15美元，并且面临如下抽奖货币：抽奖商品的数学期望效用值：10*0.5+20*0.5=15那么投资者愿意花15元去参加抽奖活动吗？第26页，共36页，2023年，2月20日，星期一风险态度及其度量是否愿意取决于投资者的风险态度。三种风险态度与效用函数风险厌恶者风险爱好者风险中性者第27页，共36页，2023年，2月20日，星期一风险态度及其度量风险厌恶者U(12)=E(U(15)),这3元钱可视为引诱风险厌恶者进入赌博的风险溢价。第28页，共36页，2023年，2月20日，星期一风险态度及其度量风险爱好者第29页，共36页，2023年，2月20日，星期一风险态度及其度量风险中性者第30页，共36页，2023年，2月20日，星期一风险态度及其度量风险厌恶度量如果两个投资者都是风险厌恶的，又如何比较它们之间的风险厌恶的程度呢？确定性等价。我们总有办法引诱风险厌恶的投资者进入“公平”的赌博，能够吸引其进入公平赌博的最小接受价位被称为确定性等价。风险溢价。确定性等价与期望财富之间的差额为风险溢价。风险厌恶度量。风险溢价可以作为度量指标，风险溢价要求越高，风险厌恶越强。第31页，共36页，2023年，2月20日，星期一风险态度及其度量普拉特（1964）风险厌恶度量

E[U(W+x)]=U(W-π)其中，W为财富水平，x为随机变量，π为风险溢价。泰勒级数展开：

E[U(W)+xU’(W)+x2U’’(W)/2+Re]=U(W)-πU’(W)+Re整理得到：

U(W)+U’’(W)σ2/2≈U(W)-πU’(W)

即：

π=-(σ2/2)[U’’(W)/U’(W)]

其中，σ2是x的方差。[-U’’(W)/U’(W)]可作为风险