矢量分析和场论基础

矢量分析和场论基础第1页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.1标量和矢量1.2矢量的运算1.3标量场和矢量场1.4特殊正交曲线坐标系1.5场论1.6拉普拉斯算子1.7电磁场的分类和亥姆霍兹定理第2页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.1标量和矢量矢量分析和场论是学习电磁场理论必备的数学工具，本章简要介绍矢量分析和场论的基本概念和定理。

标量是指用单一数量就可以完整描述的物理量，比如质量、时间、温度和功等。在本教材中用粗正体字母表示矢量，比如矢量A可以写成(1-1)

矢量是指既有大小又有方向的物理量，比如力、电场和磁场等。单位矢量作业要求写成：第3页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.2.1直角坐标系中矢量的表示1.2矢量的运算图1-2直角坐标系中矢量的描述图1-1矢量表示在直角坐标系中，矢量A可写为(1-6)其中矢量常用带箭头的线段表示(1-3)第4页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.2.2矢量的运算1.矢量加法(1-7)(1-8)式中矢量满足结合律和交换律，即(1-9)(1-10)第5页，共65页，2023年，2月20日，星期一2.矢量的标积(1-11)图1-3矢量的标积和矢积

矢量的标积是一个数量，并满足交换律、分配律和数乘，即(1-12)(1-13)(1-14)坐标表示为(1-15)矢量投影为：第6页，共65页，2023年，2月20日，星期一3.矢量的矢积(1-17)式中n是一垂直于由矢量A和B构成的平面的单位矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。矢量的矢积不满足交换律：(1-18)矢积满足分配律和数乘，即图1-3矢量的标积和矢积(1-20)(1-19)第7页，共65页，2023年，2月20日，星期一矢量矢积的坐标表示为(1-23)或简记为利用ex×ey=ez，ey×ez=ex，ez×ex=eyex×ex=ey×ey=ez×ez=0

可直接证明。矢量恒等式(1-24)(1-25)第8页，共65页，2023年，2月20日，星期一例1.1

计算由矢量A、B和C构成的平行六面体的体积，矢量A=2ex+ey-2ez，B=-ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。解平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式第9页，共65页，2023年，2月20日，星期一例1.2

给定三个矢量A=ex+2ey-3ez,B=-4ey+ez,

C=5ex-2ey，试求

和。解第10页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.3标量场和矢量场

从数学上讲，场是物理量随空间坐标变化的函数。物理量可以是标量或矢量，因而，场可以是标量场或矢量场。图1-4温度场分布示意图图1-5电场分布示意图

如果物理量仅随空间点而变化，不随时间变化，这种场称之为静态场，否则，称之为动态场或时变场。第11页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.4.1直角坐标系1.4特殊正交曲线坐标系直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量ex、ey和ez相互垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。1.位置矢量如图1-6所示。图1-6位置矢量第12页，共65页，2023年，2月20日，星期一2.距离矢量如图1-7所示。距离大小图1-7距离矢量第13页，共65页，2023年，2月20日，星期一体微分元面微分元线微分元图1-8面微分元和体微分元图1-9线微分元3.体、面和线微分元第14页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.4.2圆柱坐标系图1-10圆柱坐标与坐标对应的单位矢量为()三者相互垂直，服从右手法则。

为位置矢量r在X-Y平面上投影的大小；为XOZ平面与POZ平面之间的夹角，逆时针方向正;z是r在Z轴上的投影。注意和是空间坐标点的函数1.位置矢量式中，对于任意的r，第15页，共65页，2023年，2月20日，星期一2.直角坐标与柱坐标之间的关系取值范围图1-10圆柱坐标图1-11柱坐标系的三个正交面

柱坐标的三个正交面如图1-11所示第16页，共65页，2023年，2月20日，星期一图1-12面微分元和体微分元图1-13线微分元3.体、面和线微分元面微分元线微分元体微分元第17页，共65页，2023年，2月20日，星期一4.单位矢量的变换图1-14单位矢量之间的变换矩阵形式逆变换任意矢量的变换(1-47)

同理，已知直角坐标系的分量表达式，利用其逆变换可得柱坐标下的分量表达式。第18页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.4.3球坐标系r为位置矢量r的大小，图1-15球坐标1.位置矢量

与坐标对应的单位矢量为()，三者相互垂直，并服从右手法则。在球坐标系下，都是空间坐标点的函数。θ是位矢r与正Z轴之间的夹角，

是X轴正向与位矢r在XY平面上的投影之间的夹角。对于任意的r，第19页，共65页，2023年，2月20日，星期一2.直角坐标与球坐标之间的关系（见图1-15~16）。图1-15球坐标图1-16球坐标系的三个正交面第20页，共65页，2023年，2月20日，星期一体微分元面微分元线微分元图1-17面微分元和体微分元图1-18线微分元3.体、面和线微分元第21页，共65页，2023年，2月20日，星期一4.单位矢量的变换5.任意矢量的变换(c)的投影。图1-19球坐标系和直角坐标系单位矢量间的变换(b)的投影(a)的投影第22页，共65页，2023年，2月20日，星期一例1.3

在圆柱坐标系中一点的坐标为{}={4,2/3,3}，试求该点分别在直角坐标系和球坐标系中的坐标。解利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得第23页，共65页，2023年，2月20日，星期一例1.4

在柱坐标系中点P(3,/6,5)有一矢量A=3+2+5，在另一点Q(4,/3,3)有一矢量B=

，在点S(2,/4,4)处有矢量C=A+B，试求C矢量。解显然A和B两矢量不在同一=常数的平面上，在柱坐标系下不能直接按分量形式求和，首先必须把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系。P点矢量A的直角坐标表示为第24页，共65页，2023年，2月20日，星期一同理，

Q点矢量B的直角坐标表示为于是得再将C变换到柱坐标系中点S(2,/4,4)处的矢量第25页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.5场论1.5.1数量场的等值面和矢量场的矢量线1.数量场的等值面场的整体性描述：标量场u的等值面方程场的局部特性描述：等值面、等值线和矢量线标量场，方向导数和梯度；矢量场，散度和旋度。第26页，共65页，2023年，2月20日，星期一图1-20标量场的等值面同理，如果标量场是二维函数，令u(x,

y)=c得到等值线。比如地形图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等，都是平面标量场等值线的例子。常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：第27页，共65页，2023年，2月20日，星期一2.矢量场的矢量线直角坐标表示:概念：矢量线是这样的曲线，在曲线上每一点处矢量场的方向都在该点的切线方向上。图1-21矢量场的矢量线

静电场的电场线、磁场的磁场线和流速场的流线等都是矢量线的例子。意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。第28页，共65页，2023年，2月20日，星期一共线矢量dr与A(x,y,z)满足或(1-64)

此即矢量线所满足的微分方程组。求解该方程组可得一矢量线族；矢量线通常互不相交。假设P(x,y,z)为矢量线上任一点，则过点P沿矢量线的位移元dr与矢量A(x,y,z)共线。矢量线方程：图1-21矢量场的矢量线第29页，共65页，2023年，2月20日，星期一求解该微分方程，得到矢量线方程为可见，该矢量场的矢量线为同心圆，见图1-22。图1-22二维场的矢量线例1.5

有一二维矢量场F(r)=-yex+xey，求矢量线方程，并定性画出该矢量场的图形。解由场的表达式可知，Fx=-y，Fy=x，则根据式（1-64）可得到矢量线的微分方程为第30页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.5.2标量场的梯度和方向导数标量场u(x,y,z)的两个等值面u和u+du如图1-23所示，图1-23方向导数和梯度P点到Q点的位移元为(1-65)两边同除以dl，得到标量场u(x,y,z)在P点沿dl方向的方向导数1.梯度的定义及其方向导数根据全微分定义(1-65)第31页，共65页，2023年，2月20日，星期一设位移元dl的方向余弦为{}，即所以方向导数表示为其中——u的梯度——dl的单位矢量第32页，共65页，2023年，2月20日，星期一引入梯度算子由u的梯度表示为可知当al与G平行时，方向导数取得最大值|G|。梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向；梯度的大小表示标量u的空间变化率的最大值。梯度矢量的的物理意义所以第33页，共65页，2023年，2月20日，星期一梯度在柱坐标系下的表达式梯度在球坐标系下的表达式2.梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式梯度在直角坐标系下的表达式第34页，共65页，2023年，2月20日，星期一梯度运算的基本公式：第35页，共65页，2023年，2月20日，星期一例1.6

求标量函数u(x,y,z)=x2yz的梯度，并求在空间坐标点P(2,3,1)处，沿方向的方向导数。解代入P点的空间坐标

(2,3,1)，得方向导数值为第36页，共65页，2023年，2月20日，星期一补充例题：其中，2）求：1）解：第37页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.5.3矢量场的通量和散度1.通量的定义图1-24通量定义如图，矢量场A=A(x,y,z)在有向曲面S上的通量定义为面元dS的法向n与张着S的环线L满足右手螺旋关系。在直角坐标系中第38页，共65页，2023年，2月20日，星期一对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为

矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观描述，要描述每一点的情况，需引入散度的概念。通量计算存在三种情况1)Φ>0，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，正源2)Φ<0，表明闭合曲面内部有吸收矢量线的源，负源3)Φ=0，表明闭合曲面内部可能无源，或正源负源相等第39页，共65页，2023年，2月20日，星期一2.散度的定义散度是单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度，记为divA或，即图1-25散度的定义如果divA>0，表明M点有发出矢量线的正源；如果divA<0，表明M点有吸收矢量线的负源；如果divA=0，表明M点无源，矢量线在该点连续。第40页，共65页，2023年，2月20日，星期一4.散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式球坐标系下的表达式3.散度在直角坐标系下的表达式柱坐标系下的表达式第41页，共65页，2023年，2月20日，星期一散度的有关公式：第42页，共65页，2023年，2月20日，星期一5.高斯散度定理如图，矢量场场A(x,y,z)的散度在体积V上的三重积分等于矢量场A(x,y,z)穿过包围V

的闭合曲面S的通量，即图1-26高斯定理物理意义

V内的通量源总和与穿过S的总通量相等。或第43页，共65页，2023年，2月20日，星期一例1.7

设有一矢量场，（1）求该矢量场的散度；（2）取中心在原点的一个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方体表面的积分，验证散度定理。解（1）（2）▽·A对中心在原点的单位立方体的积分为第44页，共65页，2023年，2月20日，星期一矢量A对单位立方体表面的积分为可见，散度定理成立。第45页，共65页，2023年，2月20日，星期一补充例题：其中，2）求：1）解：第46页，共65页，2023年，2月20日，星期一如图，式中L是空间有向闭合曲线，dl是曲线L上的线微分元，是在空间点P处矢量A与dl的夹角。1.5.4矢量场的环量和旋度环量的定义A(x,y,z)沿闭合曲线L的曲线积分称为沿L的环量，即环量描述了L内的总涡旋源。图1-27矢量场的环量第47页，共65页，2023年，2月20日，星期一旋度的定义为了定义旋度，首先考察环量密度，即单位面积的环量显然，对于给定矢量场A，环量密度的大小与所取面元ΔS的方向n有关，如图1-29所示。图1-29(a)矢量线构成的涡旋面与所取微分面元ΔS的方向垂直；(b)矢量线构成的涡旋面与所取微分面元ΔS的方向夹角为θ；(c)矢量线构成的涡旋面与所取微分面元ΔS的方向同方向。第48页，共65页，2023年，2月20日，星期一可以看出，当面元ΔS沿某特定方向n时，环量密度将取得最大值；定义该最大值与n之积构成的矢量称为矢量场A的旋度，记作rotA或，即物理意义矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流量面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。第49页，共65页，2023年，2月20日，星期一柱坐标系下的表达式球坐标系下的表达式旋度在直角坐标系下的表达式第50页，共65页，2023年，2月20日，星期一斯托克斯定理旋度不为零的场是有旋场，如磁场、流速场等。物理意义斯托克斯定理将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。第51页，共65页，2023年，2月20日，星期一例1.8

设有一平面流速场其流线的分布如图1-32所示，图中有些流线是闭合曲线。如果取闭合积分回路L与闭合流线重合，计算流速环量图1-32平面流速场显然，积分结果不等于零，表明对于这样的流速场，流体的运动具有涡旋性。第52页，共65页，2023年，2月20日，星期一旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零第53页，共65页，2023年，2月20日，星期一课堂作业（1）标量场的梯度构成的矢量场是无旋场；（2）矢量场的旋度构成的矢量场是无散场。证明：即证明数学恒等式（参见例1.11和例1.12）（95）（93）第54页，共65页，2023年，2月20日，星期一补充例题：其中，2）求：1）解：第55页，共65页，2023年，2月20日，星期一一、标量拉普拉斯运算——拉普拉斯算子直角坐标系计算公式：圆柱坐标系球坐标系概念：1.6拉普拉斯算子第56页，共65页，2023年，2月20日，星期一二、矢量拉普拉斯运算概念：直角坐标系拉普拉斯方程如果矢量场A的拉普拉斯为零，即必然有每个分量的拉普拉斯为零，调和函数第57页，共65页，2023年，2月20日，星期一1.7电磁场的分类和亥姆霍兹定理根据矢量场满足散度运算关系和旋度运算关系的不同组合，可将场分为四种类型，不同类型的电磁场问题，求解的方法也各有差异。第一类场满足该矢量场A可通过令，进而求解u的拉普拉斯方程而得解。第二类场满足该矢量场A可通过令和，进而求解u的泊松方程而得