材料力学讲稿

材料力学讲稿第1页/共92页一、概述工程应用吊车火车轴车刀第2页/共91页第2页/共92页一、概述单跨静定梁支座反力和位移条件BA简支梁yA=0,yB=0BA外伸梁yA=0,yB=0BA悬臂梁yA=0,θA=0思路弯曲内力弯曲应力弯曲变形弯曲强度弯曲刚度截面的几何特性第3页/共91页第3页/共92页二、剪力和弯矩Q称为剪力，M称为弯矩。剪力符号：使脱离体有顺时针方向的趋势为正。弯矩符号：使脱离体的弯曲变形凹向上为正+

-+

-一般情况下，须先计算梁的支座反力，在从待求内力截面出切开，取脱离体，利用平衡关系求解内力。BAPRBRAQMPRAQMRB左上右下左下右上左顺右逆左逆右顺用内力截面法求梁的剪力和弯矩。aΣY=0,-Q+RA=0Q=RAΣm1=0,M-RAa=0M=RAa1-1第4页/共91页第4页/共92页二、剪力和弯矩示例：简支梁。求截面1-1的剪力和弯矩。1)支反力ΣmA=0,RB×6-20×2-40×4=0RB=33.3kNΣY=0,RA+RB-20-40=0RA=26.7kN2)截面内力ΣY=0,-Q+26.7-20=0Q1=6.7kNΣm1=0,M-26.7×3+20×1=0M1=60kNmQM20kN40kN2m2m

2mRARB1m20kN26.7kN第5页/共91页第5页/共92页二、剪力和弯矩PaaPaCAB示例：悬臂梁。求截面1-1、2-2的剪力和弯矩。1)截面1-1Σm1=0,M1+P×a=0M1=-PaΣY=0,-Q1-P=0Q1=-P2)截面2-2ΣY=0,-Q2-P=0Q2=-PΣm2=0,M2+P×a-Pa=0M2=01122PQ1M1PQ2M2Pa第6页/共91页第6页/共92页二、剪力和弯矩截面1-1：ΣY=0→Q1=4-2×4=-4kNΣm1=0→M1=4×4-2×4×2=0截面2-2：ΣY=0→Q2=4kNΣm2=0→M2=-4×4=-16kNmq=2kN/m4m4m4mq=2kN/mP=4kNRA=4kNRB=8kNRA=4kNq=2kN/m112Q1M12P=4kNM2Q2P=4kN示例2：外伸梁如右图，求j截面1-1、截面2-2和截面3-3的剪力和弯矩。1、求支反力2、求内力33第7页/共91页第7页/共92页二、剪力和弯矩M3Q3P=4kNRB=8kN截面3-3：ΣY=0→Q3=-8+4=-4kNΣm3=0→M3=-4×4=-16kNm剪力:所求截面一侧所有力的代数和弯矩:所求截面一侧所有力对所求截面形心力矩的代数和第8页/共91页第8页/共92页三、剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程

Q=Q(x)、M=M(x)剪力图：正号剪力画在上侧弯矩图：正号弯矩画在下侧PxlP-Q图Pl-M图Q(x)M(x)P剪力方程：Q(x)=-P(0＜x＜l)示例1：悬臂梁受集中力注意：弯矩图画在凸侧、受拉侧，该侧配纵向受力钢筋。弯矩方程：M(x)=-Px(0≤x＜l)第9页/共91页第9页/共92页三、剪力图、弯矩图示例2：悬臂梁受均布荷载qxlQ(x)M(x)剪力方程：Q(x)=-qx(0≤x＜l)弯矩方程：M(x)=-qx2/2(0≤x＜l)Q图ql-M图-第10页/共91页第10页/共92页三、剪力图、弯矩图示例3：简支梁受均布荷载作剪力图和弯矩图支反力：RA=ql/2,RB=ql/2剪力方程：Q(x)=ql/2-qx(0＜x＜l)弯矩方程：M(x)=qxl/2-qx2/2(0≤x≤l)注意：分布荷载为均布荷载的区段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；跨中剪力为零，弯矩达到极大。qlxRARBQ(x)M(x)RAQ图ql/2ql/2M图ql2/8第11页/共91页第11页/共92页三、剪力图、弯矩图支反力：RA=Pb/l,RB=Pa/l剪力方程和弯矩方程AC段：Q(x)=Pb/l(0＜x＜a)M(x)=Pbx/l(0≤x≤a)CB段：Q(x)=Pb/l-P(a＜x＜l)M(x)=Pbx/l-P(x-a)(a≤x≤l)aPlxRARBQ(x)M(x)RAbQ(x)M(x)RAP示例4：简支梁受集中力Q图-+Pb/lPa/lM图Pab/l第12页/共91页第12页/共92页讨论

由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。第13页/共91页第13页/共92页三、剪力图、弯矩图支反力：RA=-m/l,RB=m/l剪力方程和弯矩方程AC段：Q(x)=-m/l(0＜x＜a)M(x)=-mx/l(0≤x≤a)CB段：Q(x)=-m/l(a＜x＜l)M(x)=-mx/l+m(a≤x≤l)amlxRARBQ(x)M(x)RAbQ(x)M(x)RA示例4：简支梁受集中力偶Q图--m/lM图mb/lma/lm第14页/共91页第14页/共92页

例简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：1.求支座约束力

可利用平衡方程对所求约束力进行校核。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB第15页/共91页第15页/共92页2.建立剪力方程和弯矩方程

AC段：

CB段：

(a)

xBAl/2l/2CqFAFB第16页/共91页第16页/共92页3．求控制截面内力，绘FS,M图

FS图：AC段内剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可CB段内剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql第17页/共91页第17页/共92页M图：AC段内弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2第18页/共91页第18页/共92页四、荷载、剪力和弯矩之间的关系荷载、剪力和弯矩之间的关系BAq(x)QMQ+dQM+dMdx剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点的荷载集度；弯矩图上某点的切线斜率等于剪力图上相应点的剪力值。dxx第19页/共91页第19页/共92页四、荷载、剪力和弯矩之间的关系剪力图、弯矩图规律1、q(x)=0,Q为常数，M为一次函数+-Q>0Q<0Q=0M递增M递减M不变2、q(x)=常数，Q为一次函数，M为二次函数。Q=0时，M取极值q>0q<0Q递增Q递减M下凹M上凸3、集中力P，Q突变，突变值为P，M转折QMPP4、集中力偶m，M突变，突变值为m，Q不变MQmm第20页/共91页第20页/共92页四、荷载、剪力和弯矩之间的关系简易法求支座反力求控制截面的内力利用荷载、剪力和弯矩之间的关系作图2kN/m3kN示例4-1：悬臂梁CAB2m2m求支座反力MCRC求控制截面的内力3kNMBQBQ3kN-7kN-M6kNm16kNm第21页/共91页第21页/共92页四、荷载、剪力和

弯矩之间的关系示例4-2：简支梁BAqCa2aqa2求支座反力RARB求控制截面的内力C右截面MC右QC右RBMC左QC左RBqa2C左截面Q(qa)1/35/3-+5/3aM(qa2)25/184/31/3第22页/共91页第22页/共92页四、荷载、剪力和

弯矩之间的关系示例4-3：外伸梁BAqCa2aqa求支座反力RARB求控制截面的内力B右截面MB右QB右MB左QB左RBC左截面Q(qa)3/21/2-+1/2aM(qa2)1/81qaqa1第23页/共91页第23页/共92页已知：图中梁的约束力为思考：试指出图示梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：(a)第24页/共91页第24页/共92页图中梁的约束力为正确答案：(c)第25页/共91页第25页/共92页M/2M/2FPL/4

一、几种简单荷载的弯矩图

▲

简支梁在均布荷载作用下的弯矩图

▲简支梁在集中力作用下的弯矩图qL2/8q

五、区段叠加法

▲

简支梁在集中力矩作用下的弯矩图FPL/2L/2ML/2L/2第26页/共91页第26页/共92页

2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下的弯矩图例1：qMAMBBAqBAqL2/8五、区段叠加法qL2/8=+MA+MB=MAMB第27页/共91页第27页/共92页FPL/4

例2：结论把两头的弯矩标在杆端，并连以直线，然后在直线上叠加上由节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图MAMBBAMAMBFPL/4MAMBFPFPL/2L/2五、区段叠加法第28页/共91页第28页/共92页

把AB隔离体与相应的简支梁作一对比：MLBAFpqqBAMBMAqBAMBMABAFYAFYBMBMA

显然两者是完全相同的。FQABFQBA五、区段叠加法

因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA和MB。

第29页/共91页第29页/共92页

例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。解：a、把梁分成三段：AC、CE、EG。

b、求反力：

c、求分段点C、G点的弯矩值：16kN∙m8kN4kN/m1m2m2m1m1m1mGACE五、区段叠加法第30页/共91页第30页/共92页

取AC为隔离体取EG为隔离体17FQCA8MCAC1m1mFQEGFYGEGME16kN∙m1m1m五、区段叠加法第31页/共91页第31页/共92页

d、作图83026EACG28弯矩图五、区段叠加法16kN∙m8kN4kN/m1m2m2m1m1m1mGACE第32页/共91页第32页/共92页

六静定刚架1）刚架的特征

由梁和柱组成，梁柱结点为刚性联接。在刚性联接的结点处，杆件之间不会发生相对转角、相对竖向位移和相对水平位移。

2）刚架的应用主要用于房屋结构、桥梁结构、地下结构等。

3）刚架的内力计算由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的，只是对柱的弯矩图规定画在受拉边。第33页/共91页第33页/共92页

六静定刚架例1：画出图示刚架的内力图。

解：编号如图所示

b、作内力图

30kNDECBA20kN/m6m2m4ma、求支座反力第34页/共91页第34页/共92页

六静定刚架弯矩图kN·m6090180180

b、作弯矩图

求控制截面弯矩30kN80kN40kN30kNDECBA20kN/m6m2m4m40kN30kNMDCFNDCFSDC80kNMEBFNEBFSEB30kN第35页/共91页第35页/共92页

六静定刚架剪力图kN-30-＋4080＋30轴力图kN-40-80-30

C、作剪力图，轴力图

40kN30kNMDCFNDCFSDC80kNMEBFNEBFSEB30kN40kN30kNMDEFNDEFSDE80kNMEDFNEDFSED30kN第36页/共91页第36页/共92页由∑MB=0求得

六静定刚架FPFP+m/lFPL+mFPLmmLACBLL(m)FPmFP+m/lMMqq第37页/共91页第37页/共92页六静定刚架作内力图步骤1、计算支座反力不能算错2、作弯矩图1）求控制截面弯矩；标明受拉侧2）用区段叠加法作图；画在受拉边

3）校核。

3、作剪力图，轴力图1）求控制截面剪力、轴力；

2）作图须标正负号第38页/共91页第38页/共92页《材料力学》讲稿（六）

第七章弯曲应力一、纯弯曲下的应力二、横力弯曲时的正应力三、梁的弯曲强度计算四、梁的切应力五、提高弯曲强度的措施第39页/共91页第39页/共92页一、纯弯曲下的应力实验研究PPaaPa纵向线由直线变为弧线，上部纵向线压缩，上部纵向线拉伸；梁变形后横向线仍为直线，且仍与纵向线垂直。平截面假设：截面变形后仍为平面，且仍与梁轴线垂直yzZ为中性轴：该层纤维既不伸长也不缩短第40页/共91页第40页/共92页一、纯弯曲下的应力几何关系dxdθρy定义为曲率

即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离y成正比。yzy第41页/共91页第41页/共92页一、纯弯曲下的应力物理关系处在y位置纤维层的正应力与坐标y成正比zxyX方向力的平衡静力关系

为截面对于z轴的静矩或一次矩。

横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴

z通过横截面的形心；第42页/共91页第42页/共92页一、纯弯曲下的应力zxy可以证明，其他平衡关系均自动满足对z轴力矩的平衡正应力分布公式

上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。第43页/共91页第43页/共92页二、横力弯曲时的正应力横力弯曲的变形特征BAdxx剪切变形dvdxγQQMMdxdθρ弯曲变形剪切变形与剪力成正比，弯曲变形与弯矩成正比。第44页/共91页第44页/共92页二、横力弯曲时的正应力横力弯曲的正应力分布公式对细长杆（l/h)>5，剪切变形远比弯曲变形小,剪切变形可以忽略对短粗杆（l/h)〈5，剪切变形不能忽略。对细长杆最大正应力计算在总荷载不变的情况下，弯矩随跨度成线性增加，而剪力不随跨度增加。式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截面模量，其单位为m3。中性轴z

为横截面对称轴的梁其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；hbzyo第45页/共91页第45页/共92页二、横力弯曲时的正应力中性轴z不是横截面对称轴的梁，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。矩形截面圆形截面zoyyzdA第46页/共91页第46页/共92页

例题图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力。由型钢规格表查得56a号工字钢截面危险截面上点a处的正应力为第47页/共91页第47页/共92页三、梁的弯曲强度计算抗弯强度条件拉压性质相同的材料示例3-1：简支梁受均布荷载。[σ]=10MPa。校核强度。2kN/m4m210mm140mmzyM图4kNm许可荷载第48页/共91页第48页/共92页三、梁的弯曲强度计算示例3-2：简支梁受集中荷载。[σ]=170MPa。选择工字钢型号。BA15kNC2m21kNRARB2m2mD作弯矩图选择截面34kNm38kNm选择20a，Wz=237cm3。如果选择的Wz略小，则要校核应力值。若工作应力不大于许用应力5%，在工程上是允许的。如选择槽钢，则为两个16。Wz=2×117=234cm3。第49页/共91页第49页/共92页三、梁的弯曲强度计算拉压性质不相同的材料抗弯强度条件最大拉应力最大压应力计算步骤作弯矩图，求最大弯矩；计算惯性矩或截面抗弯模量；强度计算。示例3-3：悬臂梁受均布荷载。q1.42m截面为圆环，D=90mm，d=60mm,[σ]=140MPa。求许可荷载。M图-ql2/2第50页/共91页第50页/共92页C16号工字钢FAB三、梁的弯曲强度计算

例3-4

已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变,求F并校核梁正应力强度。第51页/共91页第51页/共92页三、梁的弯曲强度计算第52页/共91页第52页/共92页三、梁的弯曲强度计算示例3-5：外伸梁受集中荷载。校核强度。[σt]=30MPa，[σc]=30MPa。Iz=0.573×10-5m4，y1=0.072m，y2=0.038m。BA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y1作弯矩图拉压性质不相同的材料抗弯强度条件最大拉应力最大压应力第53页/共91页第53页/共92页三、梁的弯曲强度计算BA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y1C截面B截面强度校核第54页/共91页第54页/共92页四、梁的切应力矩形截面梁的切应力dxyzM+dMMQQσ+dσστ’τyzhby切应力分布公式τmax最大切应力在中性轴位置第55页/共91页第55页/共92页四、梁的切应力其他截面梁的切应力1、工字型、τmaxb2、圆形zyBAb4、薄壁圆环3、薄壁箱型与工字型相似第56页/共91页第56页/共92页max≤［］对等直梁，上式可改写为：

与正应力强度条件应用相似，利用切应力强度条件，也可以对梁进行切应力强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载。四、梁的切应力切应力强度条件第57页/共91页第57页/共92页例3-5

T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作FS、M图如图所示四、梁的切应力第58页/共91页第58页/共92页该梁满足强度要求四、梁的切应力第59页/共91页第59页/共92页五、提高弯曲强度的措施降低∣M∣max值1、改变荷载的位置和作用方式BAPl/2Pl/4l/2BAPl/43Pl/163l/4BAPl/4Pl/8l/4BAlP/lPl/8第60页/共91页第60页/共92页五、提高弯曲强度的措施提高Wz值矩形截面方形截面圆形截面按面积相等，有面积分布离中性轴越远，Wz越大。故工字形截面为最好。2、改变支座的位置l/5l/5q0.020.020.025BAl/2l/23、增加支座q0.0470.0080.008第61页/共91页第61页/共92页《材料力学》讲稿（七）

第八章弯曲变形一、概述二、挠曲线近似微分方程积分法三、叠加法第62页/共91页第62页/共92页一、概述计算弯曲变形的目的刚度计算静不定梁的计算动力荷载的计算位移和转角Pyy称为挠度y=y(x)称为挠度方程θθ称为转角θ=θ(x)称为转角方程θBAhmgdBAmgs第63页/共91页第63页/共92页二、挠曲线近似微分方程积分法曲率与弯矩的关系为曲率与挠曲线的关系为于是yxMM>0y”<0yxMM<0y”>0挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程积分法C、D为积分待定常数，由梁的位移支座条件确定曲率符号始终与弯矩符号相反第64页/共91页第64页/共92页二、挠曲线近似微分方程积分法示例1：悬臂梁受集中力PxlPQ(x)M(x)弯矩方程挠曲线方程由位移边界条件最大转角和位移为第65页/共91页第65页/共92页二、挠曲线近似微分方程积分法示例2：简支梁受均布荷载弯矩方程挠曲线方程由位移边界条件最大转角和位移为qlxQ(x)M(x)第66页/共91页第66页/共92页二、挠曲线近似微分方程积分法示例3：简支梁受集中荷载弯矩方程lxQ(x)M(x)Pab支反力RARBRAQ(x)M(x)RAP代入方程第67页/共91页第67页/共92页三、叠加法基本结果ymaxθmaxmθmaxm基本原理物理线性几何线性故梁的变形有ymaxθmaxqPl/2第68页/共91页第68页/共92页三、叠加法荷载叠加BAl/2qBAlq/2ymaxBAl/2q/2q/2yl/2刚性位移θAθA1qql/2θA2ql/2yAyA1yA2θB2yB2第69页/共91页第69页/共92页三、叠加法力的平移BAaPlCθByC1yC2BAPlθBpaBCaPyC2第70页/共91页第70页/共92页

示例4：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度vB

、vC

。三、叠加法第71页/共91页第71页/共92页三、叠加法第72页/共91页第72页/共92页四、梁的刚度计算一、梁的刚度条件许用挠度和许用转角由各行业规范查得。

示例5：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[f

]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。ymaxPl/2第73页/共91页第73页/共92页解：由刚度条件四、梁的刚度计算第74页/共91页第74页/共92页四、梁的刚度计算

影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。1、增大梁的抗弯刚度EI2、减小跨度或增加支承3、改变加载方式和支座位置二、提高弯曲刚度的措施第75页/共91页第75页/共92页《材料力学》讲稿（八）

第九章压杆稳定一、概述二、临界力、欧拉公式三、临界应力、欧拉公式的应用范围四、临界应力全图、稳定校核第76页/共91页第76页/共92页一、概述稳定性概念刚体平衡稳定性稳定的平衡不稳定的平衡随遇平衡P较小δFP较大δFPCRδFPCR---临界压力压杆稳定性：压杆保持其直线平衡状态的能力第77页/共91页第77页/共92页一、概述工程应用拱失稳梁弯曲失稳储油罐aa象腿现象第78页/共91页第78页/共92页二、临界力、欧拉公式两端铰支压杆的临界力PCRyxPCRyM(x)弯矩方程挠曲线方程通解临界力挠曲线第79页/共91页第79页/共92页二、临界力、欧拉公式欧拉公式μ—长度系数，与压杆的支座条件有关μ=1，两端铰支；μ=2，一端固定，一端自由；llμ=0.5，两端固定；l/4l/4μ=0.7，一端固定，一端铰支；0.7lμ=1，一端固定，一端定向支座；l/2l/2第80页/共91页第80页/共92页二、临界力、欧拉公式注意空间效应1、关于惯性矩xzyyzhbxzxy2、关于支座第81页/共91页第81页/共92页三、临界应力、欧拉公式的应用范围临界应力压杆的长细比与杆长、支座条件、截面面积分布有关。σC