有限单元法原理及应用

有限单元法原理及应用第1页/共340页有限单元法原理及应用

简明教程

高秀华张小江王欢编著田阳阳张小江制作第2页/共340页内容结构第一章概述第八章关于板壳单元

第九章结构动力分析的有限单元法第六章空间问题的有限单元法第七章轴对称旋转单元第十章结构非线形分析的有限单元法简介第五章等参元第四章平面结构问题的有限单元法第三章杆系结构静力分析的有限单元法第二章结构几何构造分析第3页/共340页4第一章概述1.1有限单元法的概念返回全书目录1.2有限单元法基本步骤1.3工程实例第4页/共340页5第一章概述1.1有限单元法的概念基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题三大类型(按其推导方法分):(1)直接刚度法(简称直接法):

根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。(2)变分法

直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。(3)加权余量法直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。

返回章节目录第5页/共340页61.2有限单元法基本步骤(1)待求解域离散化(2)选择插值函数(3)形成单元性质的矩阵方程(4)形成整体系统的矩阵方程(5)约束处理，求解系统方程(6)其它参数计算第一章概述返回章节目录第6页/共340页7图1-2工程问题有限单元法分析流程

第一章概述第7页/共340页81.3工程实例

(a)铲运机举升工况测试

第一章概述(b)铲运机工作装置插入工况有限元分析图1-3WJD-1.5型电动铲运机返回章节目录第8页/共340页9

第一章概述(a)KOMATSU液压挖掘机(b)某液压挖掘机动臂限元分析图1-4液压挖掘机

第9页/共340页10

图1-5驾驶室受侧向力应力云图图1-6接触问题结构件应力云图

第一章概述第10页/共340页11

第一章概述

图1-7液压管路速度场分布云图图1-8磨片热应力云图

图1-9支架自由振动云图第11页/共340页12第二章结构几何构造分析2.1结构几何构造的必要性2.2结构计算基本知识2.3结构几何构造分析的自由度与约束2.4自由度计算公式2.5结构几何不变结构组成规律2.6平面结构几何构造分析示例2.7空间结构几何构造分析

返回全书目录第12页/共340页132.1结构几何构造的必要性

结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。

第二章结构几何构造分析返回章节目录第13页/共340页14

(a)结构本身可变(b)缺少必要的约束条件(c)约束汇交于一点图2-1几何可变结构

第二章结构几何构造分析第14页/共340页152.2结构计算基本知识2.2.1结构计算简图

实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。结构计算所常用的结点和支座的简化形式:

（1）结点：①铰结点；②刚结点；③混合结点。（2）支座：①活动铰支座；②固定铰支座；③固定支座；④定向支座

第二章结构几何构造分析返回章节目录第15页/共340页162.2.2结构的分类与基本特征

按结构在空间的位置分结构可分为平面结构和空间结构两大类(2)按结构元件的几何特征分①杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等。②板壳结构③实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。④混合结构

第二章结构几何构造分析第16页/共340页17(3)按结构自由度分

①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征:a.静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。

b.静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形状）无关。

c.静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。

d.若静定结构在载荷作用下，结构中的某一部分能不依靠于其它部分，独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。

e.当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余部分都无内力产生。

f.当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余部分的内力不变。

g.当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内力不变。

第二章结构几何构造分析第17页/共340页18②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特性：

a.超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。

b.超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能和截面尺寸有关。

c.超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。

d.超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍有一定的承载能力，不致整个结构遭受破坏。

e.超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性，在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。

第二章结构几何构造分析第18页/共340页19

第二章结构几何构造分析(1)具有奇数跨的刚架

①正对称载荷作用2.2.3结构对称性的利用对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。

(a)对称刚架（b)变形状态分析(c)对称性利用图2-22对称性利用示意图

第19页/共340页20

②对称刚架承受反对称载荷作用

(a)对称刚架(b)变形状态分析(c)反对称性利用

图2-23反对称性利用示意图

第二章结构几何构造分析第20页/共340页21(a)变形状态分析(b)对称性利用图2-24对称性利用示意图(2)具有偶数跨的刚架①正对称载荷作用

第二章结构几何构造分析第21页/共340页22②反对称载荷作用(b)反对称性状态分析

第二章结构几何构造分析(a)变形状态分析

(c)反对称性受力分析(d)反对称性利用图2-25对称性利用示意图第22页/共340页232.3结构几何构造分析的自由度与约束

(1)自由度指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。(2)约束指减少结构自由度的装置，即限制结构结构运动的装置。

a.支座链杆的约束

b.铰的约束:①单铰；②复铰；③完全铰与不完全铰。

第二章结构几何构造分析返回章节目录第23页/共340页24

第二章结构几何构造分析(1)桁架自由度计算公式

一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：

a.W＞0表明结构缺少必要的约束，可运动，故结构必定是几何可变体系。

b.W=0表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。

c.W＜0表明结构具有多余约束。

2.4自由度计算公式平面桁架

空间桁架

桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z，则桁架的自由度W为(2)平面混合结构的自由度计算公式返回章节目录第24页/共340页252.5结构几何不变结构组成规律

结构的自由度W≤0是组成几何不变体系的必要条件，但不是充分条件。(1)二元体规则由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结构称为二元体。二元体规则是指在一个几何不变结构上，由增加二元体而发展的结构，是一个几何不变结构。铰接三角形是最简单的几何不变结构。

第二章结构几何构造分析图2-31铰接三角形

返回章节目录第25页/共340页26

(a)瞬变结构(b)分离体分析(c)平衡状态分析图2-32瞬变结构

结构的特征是：当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变结构在工程结构设计中应尽量避免。

第二章结构几何构造分析第26页/共340页27

第二章结构几何构造分析(a)铰与链杆连接两刚片(b)三链杆连接两刚片

图2-33两刚片连接规则(2)两刚片规则两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联，所得结构是几何不变结构。

第27页/共340页28

第二章结构几何构造分析(a)瞬变结构(b)常变结构(c)瞬变结构图2-34两刚片连接可变结构第28页/共340页29(3)三刚片规则

三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构是几何不变结构。

图2-35基本三角形结构图2-36三刚片规则示意图

第二章结构几何构造分析第29页/共340页302.6平面结构几何构造分析示例(a)结构示例(b)错误分析(c)分析图2-37两刚片连接可变结构

解：此结构可采用平面桁架结构自由度计算公式，其中j=6，g=8，z=4

第二章结构几何构造分析返回章节目录第30页/共340页31

第二章结构几何构造分析结构组成分析如下，由于此结构有四根支座链杆，故不能简单的从结构本身内部组成分析入手，应按三刚片规则考虑。首先选择三个刚片。在此可将基础视为刚片Ⅲ。但应注意，不能如图2-37(b)所示那样将基本三角形ABD和BCE作为刚片Ⅰ和Ⅱ。这样的话无法找到两刚片两两相联接的对应关系。按图2-37(c)所示，可把基础及在基础上增加的由支座链杆①、②组成的二元体一起看成刚片Ш，并选基本三角形BCE为刚片Ⅱ，杆件DF为刚片Ⅰ，则三刚片间的相互联接关系如下:

刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位置在此二平行杆件延长线的无穷远处；

第31页/共340页322.7空间结构几何构造分析

空间几何不变结构的组成规律简述如下：

规律1

空间中一点与一刚体用三根链杆相连．且三链杆不在同一平面内，则组成几何不变的结构、且无多余约束。

第二章结构几何构造分析刚片Ⅰ和Ш间用杆件DA及支座链杆③相联，虚铰位置在F点；刚片Ⅱ和Ш用杆件BA、支座链杆④相联，虚铰位置在C点。三铰C、F、可看成位于同一条直线上，该结构不符合三刚片规则，故此结构为几何瞬变结构。返回章节目录第32页/共340页33(a)空间点与基础连接(b)瞬变结构(c)铰接四面体图2-38两刚片连接可变结构

图2-39简单空间桁架图2-40空间网状结构

规律2

一个几何不变结构（或刚体）与基础用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构，且无多余约束。

第二章结构几何构造分析第33页/共340页34(a)空间几何不变结构(b)瞬变结构(c)可变结构(d)常变结构图2-41空间结构几何构造分析

规律3

一个几何不变结构（或刚体）与另一个几何不变结构（或刚体）用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构，且无多余约束。

第二章结构几何构造分析第34页/共340页35

3.1结构离散与向量表示第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回全书目录3.2位移函数及单元的刚度矩阵3.3坐标变换及单元刚度矩阵3.4整体刚度矩阵3.5约束处理及求解3.6计算示例3.7ANSYS桁架结构计算示例3.8ANSYS刚架结构计算示例

第35页/共340页363.1结构离散与向量表示

工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。

(a)Liebherr塔式起重机(b)Liebherr履带式起重机(c)钢结构桥梁(d)埃菲尔铁塔

图3-1杆系结构第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录第36页/共340页373.1.1结构离散化

由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段(一根杆又分为几个单元)作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下：

a.杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。

b.结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。变换为作用在结点上的等效结点载荷。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第37页/共340页38c.变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。

d.对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。

e.在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其第三章杆系结构静力分析的有限单元法(a)结点载荷处理方式(b)等效结点载荷处理方式图3-2杆系结构离散化示意图

第38页/共340页393.1.2坐标系图3-3坐标系示意图

为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第39页/共340页403.1.3向量表示

在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。

刚架结构示意图(b)结点位移和结点力分向量图3-4平面刚架分析示意图第三章杆系结构静力分析的有限单元法第40页/共340页41结点位移列向量为

单元e结点位移列向量为

结点力向量为

单元e结点力列向量为

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第41页/共340页423.2位移函数及单元的刚度矩阵

3.2.1轴向拉压杆单元的位移的函数

有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:a.单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录第42页/共340页43

由单元结点位移，确定待定系数项当时，当时，所以

用结点位移表示其中、分别表示当，时；，时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。第三章杆系结构静力分析的有限单元法b.单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。

c.单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。第43页/共340页443.2.2梁单元平面弯曲的位移函数

梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量，，，，由材料力学知,各截面的转角:

故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数，，，的多项式单元结点位移条件当时，当时，第三章杆系结构静力分析的有限单元法第44页/共340页45称为形函数矩阵。

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第45页/共340页463.2.3单元的应力应变

在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。轴向应变为弯曲应变为

y为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴)的距离。得出平面刚架单元应变图3-5弯曲应变计算示意图

则——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第46页/共340页473.2.4平面刚架梁单元的刚度矩阵

梁单元的i，j结点发生虚位移为

单元内相应的虚应变应为

由虚功原理有

由于结点虚位移的任意性，故上式可写成

上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第47页/共340页48

横截面积A

横截面对形心轴z的静矩S

横截面对主惯性轴z的惯性矩I

得到四个33子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵。

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第48页/共340页49

平面桁架的单元刚度矩阵为

空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移列向量

空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是6×6的

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第49页/共340页50

空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量

空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的。

(a)杆单元i端产生单位位移(b)杆单元j端产生单位位移图3-6平面桁架单元刚度系数的物理意义(a)梁单元i端产生单位位移(b)梁单元j端产生单位位移

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第50页/共340页51(c)梁单元i端产生单位角位移(d)梁单元j端产生单位角位移图3-7平面刚架单元刚度系数的物理意义3.2.5单元的刚度矩阵的性质

a.单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。

b.单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。

c.单元刚度矩阵是一个奇异阵。

d.单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第51页/共340页523.3坐标变换及单元刚度矩阵

3.3.1坐标变换在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成

(a)向量转换分析(b)向量转换图3-8向量转换示意图第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录第52页/共340页53对于梁单元如图3-8(b)所示，则有可简写为

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第53页/共340页54

同理式中——平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。

3.3.2整体坐标系下的单元刚度矩阵

式中——整体坐标下的单元刚度矩阵。

和一样，为对称阵、奇异阵。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第54页/共340页553.4整体刚度矩阵

3.4.1整体刚度矩阵的建立

整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度矩阵，简称总刚。整体刚度矩阵的求解是建立在结构平衡条件的基础之上，因此研究对象以整体坐标系为依据。图3-9载荷向量示意图

如右图所示刚架结构，其结点载荷列向量分别为

第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录第55页/共340页56结构载荷列向量

结点位移列向量

对于结点1对于结点2对于结点3对于结点4建立结点平衡条件方程式如右表。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第56页/共340页57用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。对于单元1有

简写为其中单元1的刚度矩阵关系式展开为

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第57页/共340页58对于单元2有简写为其中单元2的刚度矩阵关系式展开为第三章杆系结构静力分析的有限单元法第58页/共340页59对于单元3有简写为其中单元3的刚度矩阵关系式展开为第三章杆系结构静力分析的有限单元法第59页/共340页60

单元刚度矩阵由2×2的子矩阵组成，每个子矩阵是3×3的方阵。的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力。将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得：

简写为称之为结构原始平衡方程。其中

为整体刚度矩阵。

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第60页/共340页613.4.2整体刚度矩阵的集成

整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成n×n方阵后对号入座叠加得到。

对于单元1对于单元2

对于单元3

单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第61页/共340页623.4.3整体刚度矩阵的性质

整体刚度矩阵中位于主对角线上的子块，称为主子块，其余为副子块。

a.中主子块由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即

b.当结点i、

j为单元e的相关结点时，中副子块为该单元e相应的副子块，即。

c.当结点i、

j为非相关结点时，中副子块为零子块，即。

d.仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。

e.为对称方阵，

f.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第62页/共340页63g.为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图3-10(a)。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加1与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图3-10(b)。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。

图3-10整体刚度矩阵存储方法

h.整体刚度矩阵稀疏阵。故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。

(a)带状分布规律

(b)带状存储

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第63页/共340页643.5约束处理及求解3.5.1约束处理的必要性建立结构原始平衡方程式时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第2章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式做约束处理。约束处理后的方程称为基本平衡方程。统一记为3.5.2约束处理方法

约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。

第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录第64页/共340页65

下面以图3-11所示刚架结构为例，解释如何进行约束处理。对于下图所示刚架结构设结点位移列向量为设结点载荷列向量为固定支座(b)支座强迫位移已知图3-11结构约束第三章杆系结构静力分析的有限单元法第65页/共340页66其原始平衡方程式为

按照每个结点的位移分量将上式展开为第三章杆系结构静力分析的有限单元法第66页/共340页67

对于如图3-11(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填0置1法比较适宜。对于如图3-11(b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜。

(1)填0置1法如右图所示结点1、3处为固定支座，可知将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1，相应行和列上的其它元素均改为0。同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有第三章杆系结构静力分析的有限单元法第67页/共340页68则第三章杆系结构静力分析的有限单元法

也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为0的行和列划掉，包括相关的所在行的位移和载荷向量。第68页/共340页69

处理后得基本平衡方程

(2)乘大数法右图所示刚架，结点1为固定支座，结点3处在方向的约束为已知强迫位移。即

将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取。同时，将相应同一行上的载荷分量替换成N乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第69页/共340页70得到由于N足够大，可以近似认为,则得出

同时得到求出位移之后，即可以求出结构的应力场。

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第70页/共340页71第三章杆系结构静力分析的有限单元法

用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导过程与计算平面刚架结构相同。在此不再重复。但应注意到，由于空间的每一结点一般具有六个自由度，故计算较之复杂些。3.6计算示例

设两杆的杆长和截面尺寸相同，

杆件长m。返回章节目录图3-12刚架受力简图第71页/共340页72结构离散化后将结构划分为4个结点、3个单元截面积

，惯性矩

(2)求结点载荷首先须求局部坐标系中固定端内力

(a)单元1作为两端固定梁反力示意图(b)单元2作为两端固定梁反力示意图图3-13内力示意图第三章杆系结构静力分析的有限单元法第72页/共340页73单元1单元2在局部坐标系下单元载荷列向量

单元1单元2单元3第三章杆系结构静力分析的有限单元法第73页/共340页74

为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐标转换矩阵单元1、2单元3

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第74页/共340页75

求各单元在整体坐标下的等效结点载荷

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第75页/共340页76

求刚架的等效结点载荷第三章杆系结构静力分析的有限单元法第76页/共340页77因为无结点载荷作用，总结点载荷即为等效结点载荷。

(3)求单元刚度矩阵由于单元1、2、3的尺寸相同，材料弹性模量相同，故梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第77页/共340页78则（4）求整体坐标系中的单元1单元2单元3第三章杆系结构静力分析的有限单元法第78页/共340页79（5）求结构整体刚度矩阵利用刚度集成法

（6）建立原始平衡方程式第三章杆系结构静力分析的有限单元法第79页/共340页80（7）引入约束条件解方程组

由于1、3、4为固定端，修改整体刚度矩阵中的1~3，6~12行与列，以及载荷列向量中的相应的行，既约束处理。建立基本平衡方程

即得到

（8）求各杆的杆端力

单元3结点位移列向量第三章杆系结构静力分析的有限单元法第80页/共340页81单元1杆端内力计算

单元2杆端内力计算单元3杆端力计算第三章杆系结构静力分析的有限单元法第81页/共340页82（9）作内力图

（a）刚架轴力图（b）刚架剪力图（c）刚架轴弯矩图图3-14刚架内力图第三章杆系结构静力分析的有限单元法第82页/共340页833.7ANSYS桁架结构计算示例=1m;

=1m;材料为Q235;（1）选择单元类型

运行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete

在结点8上施加竖直向下的集中载荷F＝60000N，约束为结点1处约束X,Y方向自由度，结点5处约束Y方向自由度。图3-15桁架结构示意图图3-16桁架各单元横截面图

第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录图3-17单元类型对话框第83页/共340页84图3-18单元类型库对话框

（2）设置材料属性

运行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels

图3-19选择材料属性对话框图3-20设置材料1属性对话（3）设置单元截面形式

选择菜单Preprocessor>Sections>Beam>CommonSections

图3-21梁截面设置对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法第84页/共340页85

（4）定义实常数运行RealConstants>Add/Edit/Delete图3-22设置LINK1单元的实常数

（5）建立模型

首先生成结点，运行主菜单Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>InActiveCS;

再生成单元，运行主菜单Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes穿越结点命令。图3-23创建结点对话框

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第85页/共340页86图3-24通过结点建立单元图3-25桁架的有限元模型（6）施加约束

运行主菜单Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnNodes

图3-26结点施加约束对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法第86页/共340页87

（7）施加载荷运行主菜单Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Force/Moment>OnNodes。图3-27结点施加载荷对话框

（8）求解运行主菜单Solution>Solve>CurrentLS，分析当前的负载步骤命令，弹出如图3-28所示对话框，单击OK，开始运行分析。分析完毕后，在信息窗口中提示计算完成，单击Close将其关闭。

（9）后处理运行主菜单GeneralPostproc>PlotResults>ContourPlot>NodalSolu命令，运行DOFSolution>Displacementvectorsum，出现桁架轴向应力云图。图3-29云图显示对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法图3-28求解对话框

第87页/共340页88图3-30位移云图选择Stress>vonMisesstress，则出现桁架位移云图图3-31云图显示对话框图3-32轴向应力云图

桁架的位移云图可知，最大位移发生在桁架的中部，最大位移为

m。桁架的轴向应力云图可知，最大应力发生在2单元。最大应力45.9MPa。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第88页/共340页893.8ANSYS刚架结构计算示例

图3-33刚架示意图

约束形式为：A、D点施加全约束。在BC梁中点处受到竖直向下集中载荷的作用F1=20000N，AB柱的中点处受水平向右的集中载荷F2=10000N；AB＝2m，BC＝2m，材料为钢材，弹性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3。（1）选择分析范畴图3-34选择分析范畴对话框在主菜单中单击Preferences菜单，弹出PreferencesforGUIFiltering窗口，选择Structural，然后单击OK按钮。第三章杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录第89页/共340页90

（2）选择单元类型运行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框，选择BEAM188单元。图3-35单元类型对话框图3-36单元类型库对话框

（3）设置单元截面形式运行Preprocessor>Section>Beam>CommonSections，弹出BeamTool对话框，W1选项栏中填写0.1，W2选项栏中填写0.2，t1~t4中填写0.008。设置完毕单击OK按钮。图3-37梁截面设置对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法第90页/共340页91

（4）设置材料属性运行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，弹出DefineMaterialModelBehavior对话框。双击Isotropic选项，弹出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1对话框，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。图3-38选择材料属性对话框图3-39设置材料属性对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法第91页/共340页92

（5）建立模型设置材料属性对话框运行Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS。创建关键点1，在NPT选项栏中设置数值1，表示设置的关键点号为1，在X,Y,Z栏中设置数值0，0，0，表示关键点1的坐标为：（0,0,0）。同理设置关键点2，3，4。坐标分别为（0,2,0），（2,2,0），（2,0,0）。运行Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>StraightLine，弹出CreateStraightLine对话框。分别拾取点1-2,3-4,2-3。并经过布尔运算将两直线相加。图3-40创建关键点对话框图3-41创建直线对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法第92页/共340页93图3-42刚架模型

（6）划分网格选择刚架的单元属性，运行Preprocessor>Meshing>MeshAttributes>Pickedlines，弹出LineAttributes对话框。拾取刚架后弹出MeshingAttributes对话框，采取默认设置。点击OK。

图3-43划分网格拾取线对话框图3-44设置网格单元属性第三章杆系结构静力分析的有限单元法第93页/共340页94

选择Preprocessor>Meshing>SizeCntrls>ManualSize>Lines>PickedLines，选择刚架，弹出对话框。在NDIV一栏中输入30，单击OK。最后在MeshTool中自由划分网格。图3-45定义单元尺寸拾取线对话框图3-46设置线上单元尺寸对话框（7）施加约束运行Solution>defineLoads>Apply>Structure>Displacement>OnKeypoints，选择关键点1，选择ALLDOF。同理对关键点4进行全约束。第三章杆系结构静力分析的有限单元法第94页/共340页95图3-47对关键点施加全约束

（8）施加载荷。将图形结点显示，运行PlotCtrls>Numbering，激活NodeNumbers后面的选框，使它变成on形式。选择菜单Solution>DefineLoads>Apply>Structure>Force/Moment>OnNodes。拾取结点17，施加集中载荷Fy=-20000N。同理，在结点7上施加集中载荷Fx=10000N。图3-48编号显示设置对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法第95页/共340页96

图3-49拾取点对话框图3-50施加约束、载荷后的刚架有限元模型（9）求解

选择Solution>Solve>CurrentLS，弹出如右图所示对话框，单击OK按钮，开始计算。计算结束会弹出计算完毕对话框，单击Close关闭对话框，计算完毕。图3-51求解对话框第三章杆系结构静力分析的有限单元法第96页/共340页97

（10）后处理显示位移云图：运行GeneralPostproc>PlotResults>ContourPlot>NodalSolu。弹出如下图所示对话框，运行DOFSolution>Displacementvectorsum显示刚架位移云图。

图3-52云图显示对话框图3-53刚架的位移云图

第三章杆系结构静力分析的有限单元法第97页/共340页984.1平面应力问题第四章平面结构问题的有限单元法返回全书目录4.2平面应变问题4.3平面问题的离散化4.4平面三结点三角形单元4.5ANSYS平面结构计算示例

第98页/共340页99

严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问题都可以简化成平面问题。平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应变问题。图4-1平面问题应力状态第四章平面结构问题的有限单元法第99页/共340页1004.1平面应力问题图4-2(a)平面应力问题

如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其力学特点是：平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：。第四章平面结构问题的有限单元法返回章节目录第100页/共340页101图4-2(b)平面应变问题4.2平面应变问题

图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均匀分布。其力学特点是：但一般情况下平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成换成，即可。。第四章平面结构问题的有限单元法返回章节目录第101页/共340页102

无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力

与应变

之间的关系均为：

，其中：为初应变。式中4.3平面问题的离散化(a)三结点三角形单元(b)四结点正方形单元(c)四结点矩形单元(d)四结点四边形单元图4-3平面问题单元的主要类型第四章平面结构问题的有限单元法返回章节目录第102页/共340页103

图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。

(a)均匀受力板力学模型(b)力学模型离散化图4-4平面问题有限单元法的计算力学模型第四章平面结构问题的有限单元法第103页/共340页1044.4平面三结点三角形单元4.1.1位移函数图4-5三角形单元

如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。位移函数矩阵形式：第四章平面结构问题的有限单元法返回章节目录第104页/共340页105简写为：

由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为简写为：第四章平面结构问题的有限单元法第105页/共340页106

解出其中，

是三角形单元的面积，当三角形单元结点i、j、m按逆时针次序排列时，则有4.4.2形函数矩阵第四章平面结构问题的有限单元法第106页/共340页107其中记号

表示将i、j、m进行轮换后，可得出另外两组带脚标的a、b、c的公式。单元位移函数为结点位移的插值函数，即第四章平面结构问题的有限单元法(4-9)第107页/共340页108令

在式(4-10)中表示的称为形函数，于是位移函数表达式用形函数表示为：(4-10)(4-11)写成矩阵形式(4-12)第四章平面结构问题的有限单元法第108页/共340页109由几何方程知将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得(4-13)4.4.3单元的应力与应变第四章平面结构问题的有限单元法第109页/共340页110简写为：(4-14)

由于[B]是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。(4-15)第四章平面结构问题的有限单元法第110页/共340页111

由弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下关系：(4-16)

将式(4-14)代入式(4-16)，得(4-17)式中

(4-18)[S]称为应力转换矩阵，对平面应力问题，其子矩阵为(4-19)

由式(4-17)看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。第四章平面结构问题的有限单元法第111页/共340页112

用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。

(a)实际力系(b)虚设位移图4-6弹性体虚功原理的应用4.4.4三角形单元刚度矩阵第四章平面结构问题的有限单元法第112页/共340页113结点力列向量和应力列向量分别为结点虚位移列向量和虚应变列向量为用虚功原理建立三角形单元的虚功方程为

由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章平面结构问题的有限单元法第113页/共340页114

由于虚位移是任意的，等号两边可左乘，得

(4-21)三角形单元的刚度矩阵可写成

(4-22)用分块矩阵形式表示(4-23)第四章平面结构问题的有限单元法第114页/共340页115

结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：——i结点的结点力列向量

——围绕i结点所有单元的结点力的向量和

——i结点的载荷列向量。

4.4.5整体刚度矩阵第四章平面结构问题的有限单元法第115页/共340页116

每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件由式(4-24)求和得到，即：i＝1，2，……n

(4-26)(4-27)

其中，[K]为结构整体刚度矩阵；为结构的结点位移列向量。

(4-28)第四章平面结构问题的有限单元法第116页/共340页117将式(4-26)、式(4-27)代入式(4-25)中得(4-29)整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式：(4-30)

同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。第四章平面结构问题的有限单元法第117页/共340页1184.5ANSYS平面结构计算示例4.5.1问题描述

如图4-7所示长方形板ABCD，板厚0.04m，孔半径r=0.2m，E=210GPa，泊松比μ=0.3，约束条件：在长方形底边AD约束全部自由度,BC边施加垂直向下均布载荷g=10000000N/m。图4-7长方形板结构

4.5.2ANSYS求解操作过程

打开Ansys软件，在Ansys环境下做如下操作。第四章平面结构问题的有限单元法返回章节目录第118页/共340页119图4-8单元类型对话框

（1）选择单元类型运行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框，如图4-8所示。单击Add，弹出LibraryofElementTypes窗口，如图4-9所示，依次选择StructuralSolid，Quad8node82，单击OK。图4-9单元类型库对话框第四章平面结构问题的有限单元法第119页/共340页120

在ElementTypes对话框中，如图4-10所示，单击Options，弹出如图4-11所示对话框，设置K3选项栏为Planestrsw/thk，设置K5选项栏为Nodalstress，设置K6选项栏为Noextraoutput。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。图4-10单元类型对话框

图4-11PLANE82单元选项设置对话框第四章平面结构问题的有限单元法第120页/共340页121

（2）定义实常数运行Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，弹出如图4-12所示对话框，点击Add，弹出如图4-13所示对话框，点击OK，弹出如图4-14所示对话框，在THK选项栏中设置板厚度为0.04m。设置完毕单击OK按钮。图4-12实常数对话框

图4-13选择要设置实常数的单元类型

图4-14PLANE82实常数设置第四章平面结构问题的有限单元法第121页/共340页122

（3）设置材料属性运行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，弹出如图4-15所示对话框，依次双击Structural，Linear，Elastic，Isotropic，弹出图4-16所示对话框，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。图4-15选择材料属性对话框

图4-16设置材料属性对话框

第四章平面结构问题的有限单元法第122页/共340页123

（4）建立模型运行Preprocessor>Modeling>Create>Area>Rectangle>By2Corners，弹出如图4-17所示对话框，设置参数，WPX选项栏中填写0，WPY选项栏中填写0，Width选项栏中填写1.5，Height选项栏中填写1，单击OK。继续运行Preprocessor>Modeling>Create>Area>Circle>SolidCircle，得到如图4-18所示对话框，在WPX选项栏中填写0.75，WPY选项栏中填写0.5，在Radius选项栏中填写0.2，设置完毕点击OK按钮。图4-17建立矩形对话框图4-18创建实心圆对话框第四章平面结构问题的有限单元法第123页/共340页124

进行布尔运算：Preprocessor>Modeling>Operate>Booleans>Subtract>Areas，先选矩形面单击OK，再单击圆面，单击OK。得到如图4-19所示图形。

图4-19长方形板模型

（5）划分网格运行Meshing>SizeCntrls>ManualSize>Areas>AllAreas，弹出如图4-20所示对话框，在SIZE选项栏中填写0.05，点击OK按钮。图4-20设置网格尺寸对话框

第四章平面结构问题的有限单元法第124页/共340页125

运行Mesh>MeshTool，弹出如图4-21所示对话框，在Shape选项栏后面，选择Tri和Free，单击Mesh.划分网格，网格划分如图4-22所示。图4-21网格划分对话框

图4-22划分网格后的有限元模型

第四章平面结构问题的有限单元法第125页/共340页126图4-23施加全约束

（6）施加约束选择菜单Solution>DefineLoads>Apply>Structure>Displacement>OnLines，选择长方形底边，弹出图4-23所示对话框，选择AllDOF，单击OK。

（7）施加载荷选择菜单Solution>DefineLoads>Apply>Structure>Pressure>OnLines，弹出如图4-24所示对话框。拾取长方形上边，单击OK按钮。弹出如图4-25所示对话框。在VALUE选项栏中填写10000000。设置完毕点击OK完成设置。第四章平面结构问题的有限单元法第126页/共340页127图4-24拾取要施加载荷的边

图4-25施加载荷对话框

（8）求解运行Solution>Solve>CurrentLS，弹出如图4-26所示对话