有限元与CAE技术

有限元与CAE技术第1页/共150页CH1绪论一、有限元的概念1、什么是有限元？有限元分析，英文说法：finiteelementanalysis，简称FEA，定义为：将一个连续系统（物体）分隔成有限个单元，对每一个单元给出一个近似解，再将所有单元按照一定的方式进行组合，来模拟或者逼近原来的系统或物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化成一个离散的有限自由度问题分析求解的一种数值分析方法。2.力学基础其主要力学基础是弹性力学，处理对象为任意变形体。第2页/共150页二、有限元的基本思路有限元分析的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。实例：等截面直杆第3页/共150页

受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。第4页/共150页第5页/共150页第6页/共150页第7页/共150页建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的接点位移。第8页/共150页三、有限元法的计算过程有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。1．网格划分（离散化：自然离散、逼近离散）有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格。第9页/共150页平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。第10页/共150页2.单元分析对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。单元分析的步骤可表示如下：第11页/共150页以平面问题的三角形3结点单元为例。如图1-15所示，单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。图1-15三角形3结点单元第12页/共150页建立结点位移与结点力之间的转换关系转换矩阵[K]称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。3.整体分析对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。例如在自重作用下的等截面直杆中，我们建立力学平衡方程，通过解方程组可以得到问题的求解。第13页/共150页第二章 弹性力学基础一、弹性力学与材料力学第二章弹性力学基础

1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。第14页/共150页第15页/共150页二、弹性力学关于材料的假设1.物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用坐标的连续函数来表示。2.物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。3.物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置坐标而变。4.物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。5.物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。第16页/共150页三、基本变量1.应力的概念1）外力：面力和体力作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号来表示。

体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号

X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。

第17页/共150页2）应力的概念（物体受力状态）弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素，PA=dx，PB=dy，PC=dz，每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。

第18页/共150页（1）正应力σ为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着X轴方向作用的。（2）剪应力τ加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力τxy是作用在垂直于X轴的面上而沿着y轴方向作用的。（3）应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。第19页/共150页4）剪应力互等定律作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。第20页/共150页2.应变的概念（物体的变形程度）变形体：在外力的作用下。若物体内任意两点之间发生相对位移，这样的物体叫做边形体，它与材料的物理性质密切相关。1.应变：体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。（1）线应变(或称正应变)：任一线素的长度的变化与原有长度的比值。用符号ε来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用εx、εy、εz来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。（2）角应变（或剪应变）：任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值。用符号γ来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用γxy、γyz、γzx来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的τxy引起正的γxy)。（3）应变分量六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：第21页/共150页3.位移（物体变形后的位置）弹性体内任意点的位移可由沿直接坐标轴方向的三个位移分量u,v,w

表示，用矩阵表示：四、位移、应变、应力的关系1.应变与位移的关系第22页/共150页2、应力与应变的关系1）线应力当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在X方向的单位伸长则可表以方程弹性体在X方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和Z方向的单位缩短可表示为：第23页/共150页只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。2）剪应力式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，波桑系数μ存在如下的关系：第24页/共150页将六个关系式写称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式。第25页/共150页第26页/共150页物理方程的第二种形式可用矩阵的形式表示如下：[D]称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和μ。第27页/共150页第28页/共150页五、应力与外力之间的平衡方程根据微元体受合力为零的条件可以得出三维平衡方程：第29页/共150页六、两种平面问题弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。第30页/共150页1、平面应力问题厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，所以称为平面应力问题。第31页/共150页1）应力分量2）物理方程

物理方程中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程的第三式可见：第32页/共150页

只需要考虑三个应变分量即可，于是应变矩阵简化为：第33页/共150页第34页/共150页2、平面应变问题

一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图所示。由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即w=0因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。1）几何方程w=0，而且u及v又只是x和y的函数第35页/共150页2）物理方程第36页/共150页3、平面应力问题与平面应变问题对于两种平面问题，几何方程都是一样的，物理方程都是几何方程平面应力弹性矩阵平面应变的弹性矩阵第37页/共150页七、边界条件（boundarycondition）

一般包括位移方面的和力平衡方面的边界条件，对于变形体的几何空间Ω，其外表面将被位移边界条件和力边界条件完全不重叠的包围，即有关系Su为给定的位移边界Sp为给定的力边界1、位移边界条件空间问题中，有关x方向、y方向和z方向的位移边界条件平面问题，有关x方向、y方向的位移边界条件2、力的边界条件1)平面问题第38页/共150页合力平衡同样，可建立y方向第39页/共150页2）空间问题第40页/共150页第二章杆系结构的有限元法§2.1连续梁问题的有限元法如图1所示为一个连续梁，在铰点处分别作用有力矩载荷M1、M2、M3，求连续梁的内力。第41页/共150页1.离散化在杆系结构中各杆具有自然划分，成为杆单元，记为e。图1所示的连续梁可划分为两个单元，分别称为单元①、②，各个铰接点称为节点，统一编号为1、2、3称为节点总码，而称为节点力矩载荷，如图2所示：第42页/共150页2.单元分析单元分析就是对已划分的单元进行力学分析，没有必要对每一个单元都进行分析，而只需要对一个典型单元进行分析即可。为此取任意单元e进行分析，首先对该单元的两个端点重新编码为i、j，称为局部码。在该单元的两个端点分别作用有两个力矩，称为杆端力矩。在这两个力矩的作用下杆发生变形，如图3所示，在节点处分别产生了转角，称为节点转角。第43页/共150页第44页/共150页两种情况的叠加第45页/共150页将上述两式写成矩阵形式为：第46页/共150页第47页/共150页3.整体分析整体分析的主要任务就是在单元分析的基础上得到整体刚度矩阵。第48页/共150页第49页/共150页第50页/共150页第51页/共150页1）暂时不引入支承条件和载荷情况，先建立整体刚度矩阵K，写出M与θ之间的转换关系2)在节点1和2引入载荷值，在固定端引入支承条件θ3=0，将上式修改为第52页/共150页为了求解未知转角θ1、θ2，将上式展开：为了便于编程，我们希望修改后的矩阵仍然保留原矩阵的阶数和排列顺序。为此扩大如下形式：矩阵形式刚度方程修改方法：1）把节点力向量M换成节点载荷向量。P2）在矩阵K与零转角对应的行列中，主对角线元素改为1，其它元素改为0。3）在载荷向量中，与零转角对应的元素改为0。第53页/共150页5.非节点载荷的引入1）求等效节点载荷图10所示的连续梁为例：Ⅰ、求单元1与2产生的固端力矩：（加角标0表示固端力矩，杆端采用单元局部编码）Ⅱ、各节点的约束力矩分别为该节点的相关单元固端力矩之和。第54页/共150页III、各节点的约束力矩的反作用力矩为原非节点载荷的等效节点载荷，即2）求各杆端弯矩连续梁在非节点载荷作用下的杆端弯矩由两部分组成：一部分是各杆的固端弯矩；另一部分是在等效节点载荷作用下的杆端弯矩。第55页/共150页二、例题计算步骤：1)整理原始数据，进行编码。2）求在非节点载荷作用下的固端力矩及等效节点载荷。3）形成单元刚度矩阵ke4）形成整体刚度矩阵k。5）引入支承条件。6）解方程，求节点转角。7）求各杆杆端弯矩。第56页/共150页解：1）原始数据及编号，如图所示。2）求固端弯据及等效节点载荷。I、求3个单元的固端弯矩分别为：第57页/共150页II、等效节点载荷向量：3）求单元刚度矩阵4）求整体刚度矩阵第58页/共150页5）引入支承条件支承条件6）解方程第59页/共150页7）求各杆杆端弯矩：做出弯矩图：第60页/共150页§3.2杆和桁架结构问题的有限元法一、局部坐标下的单元刚度矩阵先研究水平直杆ij，如图2所示,杆的受力情况可以分解为两种状态。1、状态一：单元应变：单元应力：第61页/共150页规定以右为坐标轴的正方向，即节点力以向右为正。单元左端节点力：单元右端节点力：2、状态二：单元应变：单元应力：单元左端节点力：单元右端节点力：第62页/共150页将以上两种状态的结果叠加得到：写成矩阵形式得到：在节点和i，除水平位移外，还产生垂直位移（在小变形的情况下对内力无影响），第63页/共150页二、坐标变换（倾斜杆单元刚度矩阵）图3所示，局部坐标x、y与整体坐标x、y之间的位移变换关系如下：第64页/共150页1、节点力转换第65页/共150页2、节点位移转换3、单元刚度矩阵第66页/共150页令i点节点力j点节点力i点节点位移j点节点位移三、整体刚度矩阵桁架刚度集成法，与梁的刚度集成法相同，桁架的刚度集成是子块叠加。桁架整体刚度集成法计算步骤如下：（1）将单元刚度矩阵扩大承单元贡献矩阵Ke

（2）将各单元贡献矩阵Ke叠加，得出整体刚度矩阵K

第67页/共150页1、图4所示桁架结构的整体刚度矩阵1）、单元刚度矩阵由4×4扩展到6×6阶单元1：单元2：单元3：2）、整体刚度矩阵：第68页/共150页四、支撑条件的引入1、未引入支撑前：2、引入支撑刚度方程修改方法：I）把节点力向量F换成节点载荷向量P

。II）在矩阵K与零位移对应的行列中，主对角线元素改为1，其它元素改为0。III）在载荷向量中，与零位移对应的元素改为0。第69页/共150页第一步：第二步：第三步：刚度方程修改方法：I）把节点力向量F换成节点载荷向量P

。II）在矩阵K与零位移对应的行列中，主对角线元素改为1，其它元素改为0。III）在载荷向量中，与零位移对应的元素改为0。计算单元节点力：第70页/共150页例1：要求：1）用两个单元描述。2）计算节点位移和节点1的支反力。解答：1、离散化：采用两个单元描述该结构，其单元划分和节点编号如图，注意每个单元的截面宽度才用各自的平均宽度。2、整体刚度矩阵：1）单元刚度矩阵单元1：单元2：第71页/共150页2）整体刚度矩阵3、节点力1）重力引起的等效节点载荷单元1：单元2：重力引起的等效节点载荷第72页/共150页2）其他节点外力R1为作用在节点上的支反力，F为作用在节点2的外力节点力F

4、边界条件引入：1）未引入边界条件：第73页/共150页2）引入边界条件：刚度矩阵转化5、求解方程：第74页/共150页例2：如图所示，已知结构参数E=2*106kg/cm2，A1=2A2=2cm2，P=

求节点位移和支反力。解：1、离散化2、整体刚度矩阵：1）单元刚度矩阵单元1单元2第75页/共150页2）整体刚度矩阵3、节点力4、边界条件引入1）未引入边界条件第76页/共150页2）引入边界条件修改刚度方程5、解方程组支反力第77页/共150页第四章平面问题的有限元法一、平面问题的物理方程平面应力问题弹性矩阵平面应变问题弹性矩阵第78页/共150页二、位移模式于某一闭域内的函数总可以用一个多项式来逼近，因此位移函数常取为多项式。1．选用位移函数2．求形函数第79页/共150页整理后得：则称为位移函数得形函数反映了单元的位移形态第80页/共150页单元中任意一点得位移可用节点位移表示为下列矩阵形式：Ν为单元形函数矩阵，写成分快形式形函数性质第81页/共150页三、单元应变和应力1.单元应变第82页/共150页B称为几何矩阵与x，y无关，因此矩阵也是常量。任一点的应变分量是矩阵B与节点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元，这是由于采用线性位移函数的结果。第83页/共150页2.单元应力S称为单元应力矩阵，可以写成分快形式：对于平面应力问题：对于平面应变问题：同一单元中的矩阵D、B都是常数矩阵，所以S也是常数矩阵，也就是说三角形节点单元内的应力分量也是常数。相邻单元具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象，随着网格的细分，这种突变将迅速减小，有限元法的解答将收敛于正确解答。第84页/共150页四、单元刚度矩阵（由虚功原理推导）设作用在单元节点上的力单元发生了虚位移相应的虚应变则节点力所做的虚功为单元内存储的应变能为由虚功原理：又因为所以单元刚度矩阵第85页/共150页例1、如图所示三角形单元，厚度为t，弹性模量为E，泊松比μ

=

3.0求单元刚度矩阵。解：1）求B。单元面积：2）求D第86页/共150页3）求S4）求ke第87页/共150页五、整体刚度矩阵刚度集成法1、对单元刚度矩阵写成分快形式每个子块均为2×2阶方阵2、将单元矩阵扩展成单元贡献矩阵单元1：节点号码1，2，3单元2：节点号码2，5，3单元3：节点号码5，6，3单元4：节点号码2，4，5分别写出各个单元的分块矩阵单元1：单元2：单元3：单元4：第88页/共150页扩展单元，以单元2为例：节点为2，5，3，扩展1，4，63、整体刚度矩阵为单元贡献刚度矩阵的叠加第89页/共150页六、等效节点载荷体积力的等效节点力p单位体积力表面力的等效节点力q单位面力1、单元自重图示三角形单元的厚度为t，重度为γ受自重作用载荷情形得等效节点力为单元重量的1/3第90页/共150页2、均布面力表面力按静力等效平均分布导该边两端得节点上第91页/共150页3、线性分布面力i点得表面力集度：相当于将总载荷的2/3分配给i点，1/3分配给j点第92页/共150页七、约束条件得引入1）把节点力向量F换成节点载荷向量P。2）在矩阵K与零位移对应的行列中，主对角线元素改为1，其它元素改为0。3）在载荷向量P中，与零位移对应的元素改为0八、解题步骤与例题1、将结构进行离散化，包括对单元划分、节点编号、节点坐标计算、位移约束条件的确定。2、等效节点力计算。分两步：第一步、计算每一个单元得非节点力的等效节点载荷。第二步、每一节点的节点力计算应对所有环绕该节点的单元求和，得到整个结构的等效节点力载荷矩阵。刚度方程F=Kδ，F为等效节点力与作用与节点的节点力叠加3、刚度矩阵得计算分三步：第一步、计算所有单元得刚度矩阵。第二步、将单元刚度矩阵扩展成单元贡献刚度矩阵。第三步、将所有单元贡献刚度矩阵叠加得到整体刚度矩阵。4、建立整体刚度方程，引入约束条件，修改刚度方程。第一步、把节点力向量F换成节点载荷向量P。第二步、在矩阵K与零位移对应的行列中，主对角线元素改为1，其它元素改为0。第三步、在载荷向量P中，与零位移对应的元素改为0。第93页/共150页例2、如图所示，两端固支得矩形深梁，跨度为2a，厚度为t，已知E，μ＝0，承受均布压力q，用有限元法分析此平面的应力问题。解：利用对称性，可取梁的一半分析，例如取右半，共分两个单元，4个节点如图所示。整体节点力向量为：计算单元刚度矩阵和单元贡献刚度矩阵：单元1：节点码：2，3，1第94页/共150页单元1的单元贡献矩阵：单元2：单元2可以看作单元1旋转180度，因此k保持不变。但对应节点不同，单元2节点码为3，2，4单元2的单元贡献矩阵：第95页/共150页整体刚度矩阵引入约束条件：未引入约束条件：第96页/共150页引入约束条件：修改刚度方程：即：解得：第97页/共150页九、4节点矩形单元（自学）1．单元几何的和节点描述4节点矩形单元如图所示，边长分别为2a和2b，厚度为t，坐标原点O设在矩形中心。采用无良纲坐标ξ，η：则节点坐标：i（-1，-1），j（1，-1），m（1，1），p（1，-1）。单元节点位移向量：2．位移模式代入节点条件：确定待定系数，再代入位移多项式第98页/共150页3．单元的应变与应力将u，v代入得4．单元刚度矩阵虚功原理：第99页/共150页第100页/共150页第101页/共150页例4、求等效节点载荷第102页/共150页第五章空间问题的有限元法

一、离散化空间模型离散化常采用的单元有四面体、长方体单元、直边六面体单元等。四节点四面体单元是空间问题最简单的单元，也是常应变、常应力单元。二、四节点四面体单元1、位移模式典型四面体单元e，单元节点编码为i，j，m，p，每个节点的位移为第103页/共150页单元体内各点的位移是x，y，z的函数，其位移模式代入节点坐标求解出待定系数ai第104页/共150页四面体体积V不为负值，则i，j，m，p排列必须符合右手螺旋法则矩阵形式3、单元刚度矩阵由虚功原理推导：设作用在单元节点上的力为：单元发生了虚位移：虚应变：第105页/共150页节点力在虚位移上所做的虚功单元内存储的应变能由虚功原理：单元刚度矩阵第106页/共150页4、整体刚度矩阵刚度集成法1）求单元刚度矩阵，划块2）扩展单元刚度矩阵为单元贡献刚度矩阵例如：共5各节点3）所有单元贡献刚度矩阵叠加，得到整体刚度矩阵。第107页/共150页5、等效节点载荷单元e边界上作用得表面力，引起得等效载荷列阵：节点i上得节点力q：单位面力。单元e受体积力，引起得等效载荷列阵节点i上得节点力p：单位体积力。1）均质单元自重分配到i，j，m，p得等效力，其数值都等于γV/4，其中γ为重度，V是该单元得体积。2）设单元的某一边界面，例如ijm，受到线性分布载荷，它在i，j，m三个节点处的强度分别为qi，qj，qm，则分配到节点i的等效节点力的数值为6、引入约束条件修改刚度方程第108页/共150页三、六面体1、八节点六面体单元8节点六面体单元如图所示，原心为单元型心，x，y，z方向的分别为2a,2b,2c，若采用无量纲坐标表示：则：单元节点坐标分别为：（1，－1，－1），（1，1，－1），（－1，1，－1），（－1，－1，－1），（1，－1，1），（1，1，1），（－1，1，1），（－1，－1，1）位移模式：形函数矩阵：第109页/共150页2、二十节点六面体单元（自学）第110页/共150页第六章等参单元的有限元法§6.1平面问题等参单元一、概述1、三节点三角单元优点：适应性强，较容易划分和逼近边界形状，应用比较灵活。缺点：单元应力和应变都是常数，精度不够理想。特别是应力集中部位容易产生较大误差，不能很好的反映实际应力变化的情况。2、四节点矩形单元优点：单元应力、应变是线性变化的，具有精度高、形状规整、便于实现计算机自动划分等优点，反映实际应力分布的能力比三角形单元强。缺点：单元不能适应曲线边界和斜边界，也不能随意改变大小，适应性是非常有限的。两种单元给出了低级的逼近形式，精度受到的限制。增加节点可以改善单元的精度，但是计算费用也增大。第111页/共150页3、等参单元等参单元的概念：在整体坐标系（x，y）中的单元，变换为局部坐标系（ξ，η）中的规则单元，在建立位移模式、进行有限元法分析，其坐标转化式和位移模式采用相同的形函数和相同的参数。基本思路：首先导出规则单元（称为母单元）的形函数，然后采用坐标变换方法，导出对应的不规则单元的形函数和单元刚度矩阵。由易到难，由规则单元的特殊情况推广到不规则单元的一般情况，这就是等参单元方法的精髓所在。优点：1）应用范围广。2）将不规则单元变换为规则母单元后，易于构造位移模式。3）在原结构中采用不规则单元，易于适应边界面的形状和改变单元的大小。4）可以灵活地增加或者减少节点，容易构造各种过渡单元。实践证明采用等参单元可以达到更高的计算精度，结构离散和数据准备工作量相对减少。第112页/共150页二、四节点四变形等参单元四节点任意四边形：假定位移模式边线方程：

在任意四边形上的位移模式不再是线性变化的。在该边上的各点位移将不再由边线两节点的函数值确定，从而相邻单元的公共边不能保证一致，利用坐标变换，就可以将矩形的位移模式推广到任意四边形中去。第113页/共150页如图b的正方形单元替代a的任意四边形，就要找出两种单元之间每点一一对应的关系，可以利用插值公式表示为：节点1，，代入得到：。把四边形的形心坐标，局部坐标相对于整体坐标是线性变化得到的，单元上每一点的两种坐标值都是一一对应的。第114页/共150页母单元为四点矩形单元，有：位移模式和坐标变换模式采用了相同的形函数，对于这种单元称为等参单元。

在坐标变换中采用的节点参数的个数低于位移模式中的节点参数的个数，称为亚参数单元。在坐标变换中采用的节点参数的个数多于位移模式中的节点参数的个数，称为超参数单元。1、局部坐标和整体坐标局部坐标中的正方形为母单元，实际单元看成由母单元映射而成的等参单元。1）坐标转换关系第115页/共150页

等参单元的观点：四边形单元是由正方形单元导出的。利用母单元的形函数得出整体坐标（x，y）和局部坐标（ξ，η）之间的坐标转换式如下。母单元和等参单元可以看作同一单元在两种坐标系下。2）局部坐标与整体坐标的特点I、直角坐标系（x，y）整个结构所有等参单元中共同采用，在整体分析中采用，称为整体坐标系。局部坐标系（ξ，η）则只使用于单个单元，在单元分析中采用。II、由（ξ，η）推算（x，y）时，它是ξ和η的双线性多项式，形式简单，反之要反解ξ，η，得出其逆变换式，形式比较复杂。III、局部坐标（ξ，η）下，等参单元的四条边线方程分别为ξ＝1，ξ＝－1，η＝1。η＝－1。形式简单，且不同单元具有相同的形式。第116页/共150页3）等参单元坐标变换两个坐标系中变量、偏导数各自之间的变换关系。复合函数求导法则，有：矩阵形式J为雅可比矩阵逆变换第117页/共150页2、位移模式局部坐标系下的位移模式3、应变与应力位移模式应变第118页/共150页应力第119页/共150页4、单元刚度矩阵单元刚度矩阵局部坐标中通常用高斯求解法由计算机完成5、等参单元变换的应用条件满足条件，雅可比行列式：（在单元内）四边形单元的四个内角均小于180°，则满足上式第120页/共150页6、等效节点载荷体积力：表面力：第121页/共150页§6.2三维等参单元（自学）1、位移模式2、坐标变换第122页/共150页3、应变位移模式代入得：第123页/共150页复合函数求导法则矩阵形式：第124页/共150页4、单元刚度矩阵第125页/共150页第七章有限元建模基础一、有限元软件分析过程有限元分析可划分三个阶段1、前处理建立有限元模型：将实际问题或者设计方案抽象为能为数值计算提供所有输入数据的有限元模型。主要任务：单结构形式处理、几何模型建立、单元类型和数量的选择、单元特性定义、模型边界条件定义等。2、计算求解设置计算方法、计算内容、计算参数和工况3、后处理计算输出的结果进行必要的处理，并安一定方式显示或者打印，以便对分析对象的性能或设计进行分析、评估，以做出相应的改进和优化，有限元分析的目的。第126页/共150页二、有限元建模过程第127页/共150页第128页/共150页第129页/共150页常见的结构分析通用有限元程序■1990前，SAP4、5（线性），ADINA（非线性分析）；■目前，MSC/NASTRAN系列（PATRAN、DYTRAN等）

—

基于美国NASA计划；

ABAQUS—

据称具有最强大的非线性求解功能；

MARC—

据称最适于求解耦合场问题（热力耦合），已被MSC公司收购；

ADINA—forWindows版第130页/共150页ANSYS程序的发展及功能简介■第一个通过ISO9001质量体系认证的分析设类软件；■首个在我国压力容器标准化技术委员会认证的分析软件；程序分析功能：■结构分析■热分析■高度非线性瞬态动力分析（LS－DYNAN）■流体静力学和动力学分析（FLOTRAN）■电磁场分析■声学分析■压电分析■多场耦合分析■设计灵敏度及优化分析第131页/共150页2.图形用户界面（GUI）简介图形用户界面的六个分区■UtilityMenu—

通用菜单■快捷工具栏■显示隐藏对话框■MainMenu—

主菜单■ToolBar—

工具条■InputWindow—

输入窗口■GraphicsWindow—

图形窗口■OutputWindow—

输出窗口■状态栏其中，1、4、6是最常用的。通常，主菜单是需要顺序操作的；而通用菜单则为非顺序操作，即：可以在任意时刻、任意状态下实施其中的某些命令。第132页/共150页启动

ANSYS后出现以下窗口当显示出这六个窗口后，就可以使用ANSYS了.第133页/共150页ANSYSGUI中六个窗口的总体功能输入显示提示信息，输入ANSYS命令，所有输入的命令将在此窗口显示。主菜单包含ANSYS的主要功能，分为前处理、求解、后处理等。输出显示软件的文本输出。通常在其他窗口后面，需要查看时可提到前面。应用菜单包含例如文件管理、选择、显示控制、参数设置等功能.工具条将常用的命令制成工具条，方便调用.图形显示由ANSYS创建或传递到ANSYS的图形.第134页/共150页主菜单交互操作要在主菜单中选择子菜单，将鼠标移到带有“>“符号的项目上，并按鼠标左键.与下拉菜单不同，这些子菜单是相对独立的，迭加在主菜单上面.第135页/共150页主菜单交互操作(续)结尾带“...”的项目表示将产生

对话框.基本的主菜单交互操作结尾带“>”的项目表示将产生

子菜单.结尾没有任何符号的表示运行一条ANSYS

命令.第136页/共150页要显示thePan,Zoom,Rotate菜单:UtilityMenu:PlotCtrls>Pan,Zoom,RotatePan,Zoom,Rotate菜单用于模型的平移、缩放、旋转.应用菜单交互操作（之一）Pan,Zoom,andRotate第137页/共150页应用菜单交互操作（之二）

ANSYS的帮助系统ANSYS的帮助系统包括所有ANSYS命令解释及所有的GUI解释，还包括ANSYS系统分析指南.帮助系统可以通过下列三种方式进入:3. 在任何对话框中选取

Help。2. 在ANSYS程序组中选取HelpSystemWindowsNT:Start>Programs>ANSYS551. 在应用菜单中选取123第138页/共150页ANSYS的帮助系统(续)带矩形框的项目为

超连接.选取此超连接将得到更详细的帮助.

第139页/共150页输入窗口交互操作[注意:当ANSYS提示你输入信息时，输入窗口的颜色会发生改变.]在输入窗口输入任何信息以前，请先确认光标在窗口内闪动，否则，请在窗口内文字输入框按一下鼠标左键。在输入完信息以后，请按回车键执行.文字输入框例如:闪动的光标提示信息以前输入的信息第140页/共150页

主菜单■主菜单的每个命令都有一个子菜单（用“>”号指示），或者执行一项操作。■默认主菜单提供了12类菜单主题

2.图形用户界面（GUI）简介第141页/共150页默认的主菜单主题■Preferences（优选项）：弹出一个的话框，用户可以选择学科及某个学科的有限元方法。■Preprocessor（预处理器）：包含PREP7操作，如建模、分网和加载等■Solution（求解器）：包含SOLUTION操作，如分析类型选项、加载、载荷步选项、求解控制和求解等■GeneralPostproc（通用后处理器）：包含POSTl后处理操作，如结果的图形显示和列表■TimeHistPostproc（时间历程后处理器）：包含了POST26的操作，如对结果变量的定义、列表或者图形显示■TopologicalOpt（拓扑优化）：也就是用于对几何结构进行优化，这种优化通常是以最小质量或者最小柔度为目标函数主菜单第142页/共150页默认的主菜单主题（续）■ROMTool（缩阶建模工具）：基于模态分解法表达结构的响应■DesignOpt（设计优化）：包含了OPT操作，如定义优化变量、开始优化设计、查看设计结果等，这是传统的优化操作，是单步分析的反复迭代■ProbDesign（概率设计）：这是ANSYS6.0以后版本的新增功能，结合设计和生产等过程中的不确定因素，来进行设计■RadiationOpt（辐射选项）：如定义辐射率、完成热分析的其他设置、写辐射矩阵，计算视角因子等■Run-TimeStats（运行时间估计器）：包含了RUNSTAT操作，如估计运行时间、估计文件大小等■SessionEditor（记录编辑器）：用于查看在保存或者恢复之后的所有操作记录

■优选项选择分析任务涉及到的学科，以及在该学科中所用的方法。该步骤不是必须的，可以不选，但会导致在以后分析中，面临一大堆选择项目。所以，让该优选项过滤掉你不需要的选项是明智的办法。尽管默认的是所有