河南省焦作市普通高中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷及参考答案

焦作市普通高中2022—2023学年(下)高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|log₃(3x−2)<1},B={x|−1<x≤4 A.{x|23<x≤4} C.{x|23<x<52. 已知函数f(x)=alnx+3x且f'(1)=4(其中f'(x)是f(x)的导函数),则实数A.-2B.-1C.1D.23. 已知随机变量X的数学期望EX=1，方差DX=43,若随机变量YA.EY=3,DY=12B.EY=1,DY=12C.EY=3,DY=4D.EY=1,DY=44. 已知双曲线y2a2−x2A.y=±2xC.y=±3x5. 记Sn为等比数列{aₙ}的前n项和.若S₂=3,S₆=9,则A.12B.15C.18D.216. 若曲线fx=lnx+2xA.12B.147. 已知在数列aₙ中,a₁=1,a₂=2,aₙ+aₙ₊₂=aₙ₊₁,则2A.-2B.1C.3D.28. 已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ=3ⁿ+kn−2,则“k>-1”是“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件9. “保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念.小红早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，还可以步行.已知小红骑单车的概率为0.5，乘坐公共汽车的概率为0.4，步行的概率为0.1，而且骑单车、乘坐公共汽车、步行时，小红准时到校的概率分别为0.9,0.9,0.8,则小红准时到校的概率是A.0.9B.0.89C.0.88D.0.8710.(x−1)²(1+x)⁶的展开式中x⁴A.20B.-20C.10D.-1011. 已知函数fx=alnx−1+e⁻ˣA.1e2B.2e12.设a=1A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lnx−2x³.若f'(x)为f(x)的导函数，则14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式:f(x)=.①定义域为R；②值域为(0，+∞)；③是单调递减函数.15.已知函数f(x)=x−2sinx,x∈[−π,π],则f(x)的极小值为16.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,若Sₙ−3aₙ=k(k为非零常数)，且a22+6三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知bcosC+ccosB=2acosB+2bcosA,且cosC=134,(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的外接圆面积为3π,求b.18.(12分)已知正项等比数列{aₙ}的前n项和为Sn，且S(Ⅰ)证明:数列Sₙ−2是等比数列；(Ⅱ)已知数列{bₙ}满足bn=2n−1an+1,求19. (12分)研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义.中国明确提出节能减排的目标与各项措施，工业和信息化部在2022年新能源汽车推广应用中提出了财政补贴政策后，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图是该新能源汽车公司在2022年1~5月份的销售量y(单位：万辆)与月份x的折线图.(Ⅰ)依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系；(若|r|>0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合)(Ⅱ)请建立y关于x的线性回归方程，并预测2022年8月份的销售量.参考数据及公式：i=15xi在线性回归方程y=b20. (12分)如图,在四棱锥D−ABCE中,AD=DE=CE=BC=2,BD=6,AB⊥BC，BC⊥CE(Ⅰ)求证:BE⊥平面ADE.(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点H(与端点A，B不重合)，使得二面角A−EH−D的余弦值为33?若存在，请确定21.(12分)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F，P(4，2)为该抛物线上一点.(Ⅰ)求|PF|(Ⅱ)若斜率为2的直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且满足PA⊥PB，求直线l22.(12分)已知函数f(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若函数gx=ex−1ex,a=−e,焦作市普通高中2022—2023学年(下)高二年级期中考试数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.C2.C3.B4.C5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.A12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-514.1215.π3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解析(Ⅰ)∵bcosC+ccosB=2acosB+2bcosA,∴由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB+2cosAsinB,………………(1分)即sin(B+C)=2sin(A+B),即sinA=2sinC……………………(3分)∵∴sinA=∵A为锐角,∴A=π3(Ⅱ)由于△ABC的外接圆面积为3π，故外接圆半径为R=3.∵sinB=sinA+C=∴由正弦定理可得b=2RsinB=218.解析(Ⅰ)设{aₙ}的公比为q(q>0).∵∴a1+a1q+a∴Sn=a11−∴∴∴数列Sₙ−2}是公比为-12(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,等比数列.aₙ的通项公式为an=∴bn=2n−1an+1∴2Tn两式相减得−=2+=−6−2n−3∴Tₙ=2n−3⋅2ⁿ⁺¹+6.19.解析(Ⅰ)由图中数据可得xy=i=15i=15xi−故可用线性回归模型拟合y与x的关系………………………(6分)（II）b=â=y−故y关于x的线性回归方程为：y=0.95x+1.65.当x=8时,,故可以预测2022年8月份的销售量为9.25万辆……………(12分)20.解析(Ⅰ)由题可知在Rt△ADE中,DA=DE=2,∴AE=2.∵BC=CE=∴BE=AE=2.又∵AB⊥BC,△EBC是等腰直角三角形,∴∠ABE=∠EAB=45°,∴AE⊥BE…………………(2分)又DE=∴DE²+BE²=BD²,……………………(3分)∴DE⊥BE…………………(4分)∵AE∩DE=E,AE⊂平面ADE,DE⊂平面ADE,∴BE⊥平面ADE…………………………(5分)(Ⅱ)以E为原点，直线EA，EB分别为x轴、y轴，过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,0,1),则EA=2易知平面AEH的一个法向量为n=(0,0,1).…………………(8分)设AH=λAB=−2λ设平面DEH的法向量为m=(x,y,z),则m⋅………………(9分)令z=1,则x=−1,y=1−λλ由题意可知二面角A−EH−D为锐二面角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分)∴|解之得λ=∴H是线段AB的中点…………………………(12分)21.解析(Ⅰ)因为P(4,2)为该抛物线上一点,所以16=4p,p=4,………………………(1分)所以抛物线方程为x²=8y,所以|PF|=2+p2(Ⅱ)设直线l的方程为y=2x+m,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)联立y=2x+m,x2=8y,整理可得由Δ=(−16)²−4(−8m)=256+32m>0,可得m>−8,x₁+x₂=16,x₁x₂=−8m.………………(7分)因为PA⊥PB,所以PA⋅PB=0,(x₁−4)·(x₂−4)+(2x₁+m−2)·(2x₂+m−2)=0,5x₁x₂+(2m−8)(x₁+x₂)+16+(m−2)²=0,………(9分)5(−8m)+16(2m−8)+16+(m−2)²=0,解得m=18或m=−6.…………………(10分)又当m=−6时,直线l经过点P,所以m=−6不符合题意………………(11分)故直线l的方程为y=2x+18………………(12分)22.解析1∵fx∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴f'x≥0在[1,+∞)上恒成立,可得令tx=xeˣ,x∈1+∞当x∈[1,+∞)时,t'(x)>0,∴t(x)在∴txₘᵢₙ=t∴e即实数a的取值范围是(-∞,0)∪[1,+∞)………………(5分)(Ⅱ)若a=−e,则fx=eˣ+下面证明当x>0时，不等式eˣ≥ex成立：令ℎx=eˣ−ex,x∈0+∞令ℎ'x>0,得x