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文档简介
基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。思考:这会标中含有怎样的几何图形?思考:你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系?探究1ab1、正方形的面积S=_____2、四个直角三角形的面积和S’
=__3、S与S’有什么样的不等关系?
探究1:正方形的面积与4个直角三角形的面积间的不等关系S_____S′ADBCEFGHbaABCDE(FGH)ab问题一问题一替换后得到:即:即:通常我们把上式写作:当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中,我们把叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数;文字叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围:a>0,b>0以上的不等式是我们从几何图形的面积关系得出的,能否利用不等式的性质推出呢?证明:要证只要证①要证①,只要证②要证②,只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式:你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB,ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD>≥如图,AB是圆的直径,O为圆心,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义:半径不小于弦长的一半ADBEOCab例1:设a>0,b>0,证明不等式
例2:(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?解:如图设BC=x
,CD=y
,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时,等号成立因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数,则当xy的值是常数P时,当且仅当x=y时,x+y有最小值_______.例2:(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解:如图,设BC=x
,CD=y
,则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xy
m2得
xy
≤81当且仅当x=y时,等号成立
因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积最大,最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数,则当x+y的值是常数S时,当且仅当x=y时,xy有最大值_______;①各项皆为正数;②和或积为定值;③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时,要注意已知
x,y
都是正数,P,S
是常数.(1)xy=P
x+y≥2P(当且仅当
x=y时,取“=”号).(2)x+y=S
xy≤S2(当且仅当
x=y时,取“=”号).14变式:如图,用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?解:如图,设BC=x
,CD=y
,则篱笆的长为矩形花园的面积为xy
m2ABDC得
144≥2xy当且仅当
时,等号成立因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时,花园面积最大,最大面积是72m2即
xy
≤
72即x=12,y=6x+2y=24x=2y变式:如图,用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?解:如图,设BC=x
,CD=y
,则篱笆的长为矩形花园的面积为xy
m2ABDCx+y不是
定值.2=24为
得
2xy≤
144当且仅当
时,等号成立因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时,花园面积最大,最大面积是72m2即
xy
≤
72即x=12,y=6x+2y=24x=2y小结:求最值时注意把握“一正,二定,三相等”已知
x,y
都是正数,P,S
是常数.(1)xy=P
x+y≥2P(当且仅当
x=y时,取“=”号).(2)x+y=S
xy≤S2(当且仅当
x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式作业课本P100习题3.4A组第2、3题
思考题1.求函数
f(x)=x
+
(x>-1)
的最小值.1x+12.若
0<x<,求函数
y=x(1-2x)
的最大值.12=(x
+1)+
-11x+1
f(x)=x
+
1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当
x=0
时,函数
f(x)
的最小值是
1.x+1=
,即
x=0
时,1x+1解:
∵
x>-1,∴x+1>0.∴1.求函数
f(x)=x
+
(x>-1)
的最小值.1x+1配凑系数分析:
x+(1-2x)
不是
常数.2=1为
解:
∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤
∙[]22x+(1-2x)21218=.
当且仅当
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