高中数学-1.1.2导数的概念数学高中教学设计学情分析教材分析课后反思

《导数的概念》教学设计（教材：高中新课程人教A版选修2-2第一章1.1.2）教学环节内容师生活动设计意图复习引入提出问题【回顾1】当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？【回顾2】已知曲线C是函数的图象,求曲线上点P处的切线斜率.【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？学生相互交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.类比探索形成概念①归纳共性揭示本质研究对象求解问题求解方法本质思想具体例子物体运动规律H=h(t)物体在时的瞬时速度求时间增量求位移增量求平均速度求瞬时速度平均速度的极限极限思想曲线y=f(x)曲线上P点处切线的斜率求横坐标增量求纵坐标增量求割线的斜率求切线的斜率割线斜率的极限极限思想一般情形函数y=f(x)函数在处的变化率？？？？？？【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限.【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道.教学环节内容师生活动设计意图类比探索形成概念②类比迁移形成概念【思考】考虑求一般函数y=f(x)在点到+之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数在点处的变化率？引出导数定义后，回归问题情景，反思概念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质.引导学生利用求瞬时速度的方法和思想类比探究，猜想得出函数在点处的变化率=,并对猜想的合理性进行分析后，引出定义1：（函数在一点处可导及其导数）用具体到抽象，特殊到一般的思维方式，利用瞬时速度进行类比迁移，自然引出函数在一点处可导和导数的概念.由具体到抽象再回到具体的过程，感知上升到了理性，强化了对概念的理解.类比探索形成概念=3\*GB3③剖析概念加深理解【探讨1】怎样判断函数在一点是否可导？判断函数在点处是否可导转化判断极限是否存在转化【探讨2】导数是什么？描述角度本质文字语言瞬时变化率符号语言图形语言（切线斜率）组织学生阅读“导数”定义，抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义.分析导数的本质后，同时简单提及导数产生的时代背景.引导学生以数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的理解、把握、运用为切入点去揭示概念的内涵与外延，提高学生数学阅读和自主学习的能力.让学生感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值.教学环节内容师生活动设计意图类比探索形成概念【探讨3】求导数的方法是什么？【例1】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求函数在点处导数的方法步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数.学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如忘写括号的现象加以纠正.用定义法求导数是本课的重点之一.有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用.让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握.本题是教材上的一道例题.在学生建立起导数概念，明确用定义求导数的方法之后,进行强化训练,渗透算法思想，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固.引申拓展发展概念利用例1继续设问，函数在处可导，那么，，这些点也可导吗？从而引申拓展出定义2：（函数在开区间内可导）【探讨1】函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗？【探讨2】存在的这个映射是否构成一个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则分别是什么呢？师生互动，共同探讨归纳函数在开区间的每一点可导，每一点就有确定的唯一的导数.这样在开区间内构成一个特殊的映射，这里的映射是数集到数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做在开区间内的导函数。它的定义域是通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的相关知识相联系，自然引入导函数概念，从而完成从函数在一点可导函数在开区间内可导函数在开区间内的导函数的两次拓展.教学环节内容师生活动设计意图引申拓展发展概念【探讨3】怎样求新函数的解析式？探讨后引出定义3：（函数在开区间内的导函数）【例2】意图：导数的实质解释开区间，对应法则是对开区间内每一点求导.运用函数思想，只要把求一点处的导数替换成，就可以求出导函数的解析式.分学习小组让学生动脑思考，动手“操作”，相互交流。书面总结出两小问的区别与联系，选出代表作品用投影仪全班交流.完善后，屏幕显示形成共识：【区别】（1）函数在点处的导数，是在点处的变化率，是一个常数；（2）函数的导数是对开区间内任意点而言，是在开区间内任意点的变化率，是一个函数.【联系】一般而言，在处的导数就是导函数在=处的函数值，表示为，这也是求的一种方法.本例共两个小问，第(1)小问是教材上的一道例题,第(2)小问是补充题.两问都是求导数，但它们有本质上的区别！学生容易产生混淆.通过此题让学生辨清“函数在一点处的导数”、“函数在开区间内的导数”与“导数”三者的关系.教学环节内容设计意图练习反馈巩固概念练习：1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.2．设函数f(x)在x0处可导，则等于A.f′(x0) B.0C.2f′(x0)D.－2f′(x0)3．已知一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；（2）求物体在t时刻的瞬时速度；（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？设计练习1，巩固求导方法；设计练习2，通过适当的变式训练，揭示概念的内涵，提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性；设计练习3，体验实际应用，展示概念的外延，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活.通过练习，反馈学生对知识技能的掌握情况，以便及时调节教学，更好的达成教学目标.小结整理形成系统①知识层面：=2\*GB3②方法层面：用定义求导数的三个步骤=3\*GB3③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化思想=4\*GB3④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变化率问题的问题可以考虑用导数解决）.引导学生从知识、方法、思想和应用四个层面进行小结，理清知识结构，提炼数学方法和领悟数学思想，培养应用意识.分层作业深化概念必做题：1.教材习题3.11、2、3、4、52.已知f(3)=2，则的值为（）（A）0 （B）－4（C）8 （D）不存在3.已知曲线C是函数的图象（1）求点A(1,3)处的切线的斜率（2）求函数在x=1处的导数选做题：1.有条件的同学上网查阅有关微积分产生的时代背景和历史意义的资料并交流讨论.2.函数=|x|在x=0处是否可导？3.函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条D.既不充分也不必要条件弹性的分层作业，照顾到各种层次的学生.补充的必做3，为下节课研究导数的几何意义打下伏笔.可导与连续的关系，设计成选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展.利用网络，便于学生开展自主学习，拓展学习方式和平台.（三）板书设计（板书附后）【设计意图】本课使用了电脑投影屏幕，黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索，呈现完整的知识结构体系，用彩色粉笔突出重点，强化学生对新信息的纳入，同时对新学的符号语言的规范使用进行示范.板书设计：辨析：f′(x0)与f′(x辨析：f′(x0)与f′(x)课堂小结函数在开区间内的导函数导数定义1定义2定义3函数在点x可导及导数函数在开区间内可导例1．。。。。。。。电子屏幕例2.。。。。。。。。。。课堂练习导数的概念（第三课时）布置作业布置作业《导数的概念》学情分析（教材：高中新课程人教A版选修2-2第一章1.1.2）学生已较好地掌握了函数的平均变化率及高一物理学中的平均速度、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度，这为本课的学习奠定了基础．由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力，这是本节学习必备的认知基础．从平均速度、瞬时速度到平均变化率、瞬时变化率，是将实例抽象为数学模型，是本节认识的第一次飞跃；由平均变化率用极限的思想方法刻划瞬时变化率是本节思维与认识的第二次飞跃．第一次飞跃学生可完成，第二次飞跃借助几何画板的动态演示学生能初步感悟，但是对“是无限趋近于0，但始终不能为0”，学生不能自主或合作顺利完成，需要教师在此充分发挥主导作用进行点拨．综上分析确定本节的难点是：对极限思想的感悟及用平均变化率的极限刻划瞬时变化率的科学性．突破策略为：用几何画板动态直观演示以降低思维难度；多利用实例以降低抽象程度，强化对过程的感悟；给足时间让学生充分合作交流；教师恰当精讲点拨，用“动”来看“静”．《导数的概念》效果分析（教材：高中新课程人教A版选修2-2第一章1.1.2）教学中充分发挥学生的主体和教师的主导作用。用新课程理念处理传统教材，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念，引导学生经历数学知识再发现的过程。因此采用了引导发现式教学法。（1）教学设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从两个反应概念现实原型的具体问题出发，让学生像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，体现了以学生的发展为本，不是教教材而是用教材教。（2）在概念的教学过程中，与一般设想不同。如一般设想是“重结果，轻过程”，常常是直接给出一个定义，几项注意后，就是大量变式训练。本课的设计上注重过程教学，提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程，引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学。（3）教学过程中，以三种不同数学语言的识别、理解、组织、转换为切入点，组织学生进行数学阅读，培养自主学习的能力。借助于多媒体，直观显示而引起平均速度的系列变化，让学生从“数”的角度领悟极限思想，通过割线变切线的动态过程，让学生从“形”的角度领悟极限思想。从而，更好地揭示导数的本质。（4）教学中，对不同层次的学生，提出不同的教学要求，采取不同的教学方法进行情感激励。对学有困难的学生更多地给予帮助和肯定，以激发他们学习数学的兴趣和信心。根据不同学情，把可导与连续的关系，设计成弹性化的选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展，尊重了学生的个体差异，让每位学生的数学才能都能获得较好的发展。（5）教学中，努力以数学文化滋养课堂。让学生了解导数的科学价值、文化价值和基本思想，体会到数学的理性与严谨，激发起对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。同时，培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观。以上的教学设计，符合学生认知规律，促进了个性化学习，有利于教学目标的落实。《导数的概念》教学反思（教材：高中新课程人教A版选修2-2第一章1.1.2）本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的抽象不仅是对结果的抽象，更是对方法和过程的抽象.本课设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从两个反应概念现实原型的具体问题出发，引出函数在一点处的导数再到开区间内的导函数，引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程.提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程，教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，培养能力.把可导与连续的关系，设计成弹性化的选作题，既不影响主体知识建构,《导数的概念》教材分析（教材：高中新课程人教A版选修2-2第一章1.1.2）1.本节内容：《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成.2.导数在高中数学中的地位与作用：“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.3.导数学习的必要性导数是微积分学的核心概念之一，导数是导函数的简称，本质仍是函数，其实也就是微商．导数不仅是数学知识，也是一种数学思想，也蕴含着函数思想和极限的思想方法，本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率，从课标要求与教材的编写看，淡化了极限的形式化定义，不把导数作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过实例来反映导数的思想和本质，因此，让学生充分体验“极限的过程及研究的思想方法”为本节课的重点．导数属于事实型知识——函数的瞬时变化率是客观存在的，用平均变化率的极限来刻划，并用形式化的极限符号表示只是我们研究导数的方法．导数为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力，不仅是研究初等函数最有效的工具，还是研究微积分学的必备基础，也是研究各种科学的工具，黎曼曾说过“只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学”．变量和函数在自然界和社会中有着几乎地处不在的实际背景，所以高中学生不论他将来是否进入高校学习，都应学习导数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的变化．毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的水平，从某种意义上看，对导数所蕴含的数学思想方法的研究价值，远高于对其知识的学习．通过本课导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟“逼近”思想、数形结合思想和函数思想，进一步体会数学的本质．《导数的概念》评测练习（教材：高中新课程人教A版选修2-2第一章1.1.2）1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为A．Δx＋＋2B．Δx－－2C．Δx＋2D．2＋Δx－2．物体自由落体运动方程为s(t)＝gt2，g＝9．8m/s2，若＝g＝9．8m/s，那么下面说法正确的是A．9．8m/s是0～1s这段时间内的平均速度B．9．8m/s是从1s到1＋Δs这段时间内的速度C．9．8m/s是物体在t＝1这一时刻的速度D．9．8m/s是物体从1s到1＋Δs这段时间内的平均速度3．已知曲线y＝x＋，则y′|x＝1＝________．4．已知函数f(x)在x＝a处可导，且f′(a)＝A，求．思考：请你根据对导数概念的理解，命制2-3道类似题目。5．动点沿x轴运动，运动规律由x＝10t＋5t2给出，式中t表示时间(单位s)，x表示距离(单位m)，(1)当Δt＝1，Δt＝0．1，Δt＝0．01时，分别求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度．(2)当t＝20时，运动的瞬时